Презентація "Квадратний тричлен"

Квадратний тричлен

Означення: Квадратним тричленом називають многочлен виду 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 ,  де x- змінна, а, в і с – деякі числа, причому а≠0.  

Приклади 2𝑥2−3𝑥+5;𝑥2+7𝑥;𝑥2−5;3𝑥2. 

Означення: Коренем квадратного тричлена називають значення змінної, при якому значення квадратного тричлена дорівнює нулю. Приклад: Число 2 є коренем х2−6х+8 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 D=𝑏2−4𝑎𝑐 D<0 коренів не маєD=0 має один корінь. D>0 має два корені

Приклад: розкласти на множники многочлен 𝑥2−3𝑥+2 𝑥2−3𝑥+2=𝑥2−𝑥−2𝑥+2=𝑥𝑥−1−2𝑥−1=(𝑥−1)(𝑥−2) 𝑥2−3𝑥+2 розклали на лінійні множники: х-1 і х-2 

Теорема (про розкладання квадратного тричлена на лінійні множники)Якщо дискримінант квадратного тричлена 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 додатний, то даний тричлен можна розкласти на лінійні множники: 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 = 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐), де 𝑥1 і 𝑥2 - корені квадратного тричлена  

Доведення теореми. Оскільки числа 𝑥1 і 𝑥2 є коренями квадратного рівняння 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 , то за теоремою Вієта:𝑥1 + 𝑥2=−𝑏𝑎𝑥1 ∙ 𝑥2 = 𝑐𝑎 Тоді 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐)= 𝑎 𝑥2−𝑥1+𝑥2𝑥+𝑥1𝑥2=𝑎𝑥2+𝑏𝑎𝑥+𝑐𝑎=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐. 

Якщо D=0𝑥1 = 𝑥2𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄=𝒂(𝒙−𝒙𝟏)𝟐 

Теорема. Якщо дискримінант квадратного тричлена від’ємний, то даний тричлен не можна розкласти на лінійні множники𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0Існують такі числа: k, m і n 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=𝑘𝑥−𝑚𝑥−𝑛.m і n – корені даного квадратного тричлена. 

Приклад: Розкладіть на множники квадратний тричлен 𝑥2−14𝑥−32 Розв’язання: 𝑥2−14𝑥−32=0𝑥1 =-2 , 𝑥2=16. Отже, 𝒂𝒙𝟐+𝒃𝒙+𝒄 = 𝒂(𝒙−𝒙𝟏)(𝒙−𝒙𝟐)𝑥2−14𝑥−32=(𝑥+2)(𝑥−16)  

Розкладіть на множники квадратний тричлен𝑥2+17𝑥−30;3𝑥2−7𝑥+2. 

Приклад: Скоротіть дріб 6𝑎2−𝑎−19𝑎2−1 6𝑎2−𝑎−1=0 Отримуємо: 𝑎1=−13,  𝑎2=12.6𝑎2−𝑎−1=6𝑎+13𝑎−12=3𝑎+13∙2𝑎−12=3𝑎+12𝑎−1. Тоді отримуємо: 6𝑎2−𝑎−19𝑎2−1=(3𝑎+1)(2𝑎−1)(3𝑎+1)(3𝑎−1) = 2𝑎−13𝑎−1. Відповідь: 2𝑎−13𝑎−1 

При якому значенні m розклад на множники тричлена 2х2+9х+𝑚 містить множник (х+5)? (х+5), тоді х=-5 Тоді маємо:2(−5)2+9−5+𝑚=050−45+𝑚=0𝑚=−5 Відповідь: 𝑚=−5 

Бажаю вам успіхів!