Презентація Логарифмічна функція

Логарифмічна функція

1. Логарифм числа. Рівняння ах =b,де а>0,а≠ 1,b>0,має єдиний корінь. Його називають логарифмом числа b з основою а і позначають logа𝑏. Логарифмом додатнього числа 𝑏 за основою а,де а>0,а≠ 1,називають показником степеня ,до якого треба піднести число а,щоб отримати число 𝑏. 

Десятковими логарифмами називають логарифми за основою 10,позначають lg 100=2, lg0,0001=-4 Натуральними логарифмами називають логарифми за основою е(е=2,718),позначають ln.lnе=1, ln е2=2 Дію знаходження логарифма числа називають логарифмування. Потенціювання-знаходження числа за його логарифмом. 

2. Основна логарифмічна тотожність. Означення логарифма можна коротко записати так: аlogа𝑏=𝑏. Ця рівність справедлива при 𝑏>0,а>0,а≠ 1 і називається основною логарифмічною тотожністю. Наприклад:2log25=5; 2−log25=(2log25)−1=5−1=15 

3. Властивості логарифма і логарифмічні рівності1)logа1=02)logаа=13)logаху=logах+logау4)logаху=logах−logау5)logахр=рlogах(р є R)6)logарх=1рlogах 7) logах =log𝑏𝑥log𝑏𝑎(b >0, b ≠ 1)- формула переходу до іншої основи. 

4. Означення логарифмічної функції Логарифмічною функцією називають функцію виду y= logах, де а >0,а≠ 1. 

5. Логарифмічна функція y= logах, де а >0,а≠ 1. Властивості лоарифмічної функції  {D03447 BB-5 D67-496 B-8 E87-E561075 AD55 C} а >1 0<а<1 Д(f)=(0;+∞) Д(f)=(0;+∞) Е(f)=R Е(f)=R Якщо х=1,то у=0 Якщо х=1,то у=0 Функція ні парна,ні непарна. Функція ні парна,ні непарна. Функція зростаюча. Функція спадна .

Графіки функції y= logах а) а >1 а) 0<а<1у ухх11

6. Логарифмічні рівняння, нерівності та системи. Логарифмічними називаються рівняння ,які містять змінну під знаком логарифма. lgx=1+𝑙𝑔2x ; log2(х+3)=9; Розв`язати логарифмічне рівняння – це означає знайти всі його корені або довести, що їх немає. Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння log𝑎𝑥=b х>0,х≠ 1,а>0.  

7. Основні методи розв`язування логарифмічних рівнянь:1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.log22х-3𝑙𝑜𝑔2х=4,Позначаємо log2х через y y2-3y=4 , y2-3y-4=0, y1=4; y2=-1 ,звідси𝑙𝑜𝑔2х =4  𝑙𝑜𝑔2х =-1 Х=24 Х=2−1 Х=16 Х=12 Перевірка:1) 𝑙𝑜𝑔2216-3𝑙𝑜𝑔216=16-12=42) 𝑙𝑜𝑔2212-3𝑙𝑜𝑔212=1+3=4 Відповідь:12;4; 

2. Метод потенціювання:log5(х−1)+log5(х−2)=log5(х+2).log5(х−1) (х−2)= log5(х+2); Пропотенціюємо дану рівність і одержимо :(х−1) (х−2)=х+2;х2-2х-х+2=х+2х2-4х=0 Х(х-4)=0 Х=0 х=4 Перевірка:1)х=0 не є коренем рівняння,тому що вираз log5(х−1)і log5(х−2) не мають змісту при х=0.2) log5(х−1)+log5(х−2)= log5(4−1)+log54−2= log53+log52=log5(2*3)=log56,х=4-корінь. Відповідь:4 

3. Метод зведення логарифмів до однієї основи:log3х-2log13х=3log3х-log3хlog313=3log3х-2log3х−1=3log3х+2 log3х=33 log3х=3log3х=1 Х=3 Перевірка:log33-2log133=1+2=3,х-корінь. Відповідь:3 

4. Метод логарифмування:хlg⁡𝑥=100х1. Пролагарифмуємо обидві частини рівності:lg⁡ хlg⁡𝑥= lg⁡(100х)lg⁡х lg⁡х= lg⁡100+ lg⁡х⁡lg⁡2х- lg⁡х-2=0,замінимо lg⁡х=у,то у2-у-2=0 у=2; у=-1;Тоді:1) lg⁡х=2,х=102,х=100, 2) lg⁡х=-1,х=10−1,х=0,1 Перевірка:1. хlg⁡𝑥=100lg⁡100=1002,х=100-корінь.2)хlg⁡𝑥=0,1lg⁡0,1=0,1−1=10,1=10,100х=100*0,1=10;0,1-корінь. Відповідь:100;0,1. 

5. Графічний метод:lgх=1-х. Будуємо у= lg⁡ хі у=1-х. Абциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1,то х=1-корінь рівняння. 110ух

7. Логарифмічні нерівностіПри а>1 нерівність logах1 > logах2, рівносильна системі х2 >х1,   х1 > 0, х2 > 0 При 0<а<1 logах1 > logах2, рівносильна системі х2<х1  х1 > 0, х2 > 0  

1)Розв`язати нерівність:log2х< 3 Оскільки 3= log223= log28, То log2х 0,то маємо х>0 отже, 0< х <8 Відповідь:х є(0;8) 80

92)Розв`зати нерівність:log13х≤-2 Запишемо  log13х ≤  log139, 0<13<1,оскільки функція у=  log13х спадна при х>0, маємо х≥9 х>0, то х≥9. Відповідь:х є[9;+∞) 0

3)Розв`язати нерівність графічно:log3х≤4-х. Будуємо графіки функцій у= log3х і у=4-х в одній системі координат. Графіки перетинаються в точці з абцисою х=3. Із рисунку видно,що множина розв`язків нерівності log3х≤4-х є проміжок (0;3]Відповідь:х є(0;3] ух3401

8. Системи логарифмічних рівняньlog4(х+у)=2 log4(х+у)=2log3х+log3у=2+ log37  log3(х∗у)=log39+log37log4(х+у)=2 х+у=16 log3ху=  log363; ху=63 ; тоді х1=9 х2=7 у1=7 або    у2=9 Відповідь: (9;7),(7;9). 

Дякуємо за увагу!style.colorfillcolorfill.typefill.on