Презентація "Логарифмічні рівняння з параметром"

Логарифмічні рівняння з параметром. Підготувала Алла Демидчик. Михнівська ЗОШ І-ІІІ ступенів

При розв’язуванні логарифмічних рівнянь потрібно вміло користуватись властивостями логарифма, виконувати операції логарифмування та потенціювання. Важливо пам’ятати, що властивості логарифмічної функції залежать від значень основи. Функція y=log𝑎𝑥 монотонно зростає на множині допустимих значень, якщо 𝑎>1 і спадає, якщо 0<𝑎<1. Треба пам’ятати:

1. Розв’язати рівняння: 𝐥𝐨𝐠𝟐(𝒙𝟐−𝟐𝒂𝒙)=𝐥𝐨𝐠𝟐(𝟐𝒙−𝟒𝒂) 𝐥𝐨𝐠𝒂𝒇(𝒙)=log𝒂𝒈(𝒙) f(𝒙)=𝒈(𝒙) ОДЗ: 𝑓(𝑥)>0,𝑔(𝑥)>0,𝑎≠1. Розв’язання: 𝑥2−2𝑎𝑥=2𝑥−4𝑎,2𝑥−4𝑎>0. 𝑥2−2𝑎+1𝑥+4𝑎=0,𝑥>2𝑎;  𝑥=2,𝑥=2𝑎,𝑥>2𝑎; 𝑥=2𝑥>2𝑎; Відповідь: якщо 𝑎<1, то 𝑥=2; якщо 𝑎≥1, то рівняння розв′язків немає;  

2. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння 𝐥𝐠𝟐𝟏+𝒙𝟐+𝟑𝒂−𝟐𝐥𝐠𝟏+𝒙𝟐+𝒂𝟐=𝟎 не має коренів.  Розв’язання: Позначимо lg1+𝑥2=𝑡  Отримаємо рівняння матиме вид: 𝑡2+3𝑎−2𝑡+𝑎2=0𝐷=3𝑎−22−4𝑎2=5𝑎2−12𝑎+4 5𝑎2−12𝑎+4<0𝑎1=0,4;  𝑎2=2 0,4<𝑎<2 Відповідь: (𝟎,𝟒;𝟐) 

3. Знайти всі значення параметра , при яких рівняння 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐(𝒂𝒙)=𝟐𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐(𝒙+𝟏) має тільки один корінь. Знайти цей корінь.  ОДЗ:𝑎𝑥>0,𝑥+1>0. Розв’язання: Тоді log12(𝑎𝑥)=2𝑙𝑜𝑔12(𝑥+1)         𝑎𝑥=(1+𝑥)2         𝑎𝑥=𝑥2+2𝑥+1 𝑥2−𝑎−2𝑥+1=0𝐷=𝑎𝑎−4𝑥1,2=𝑎−2±𝑎(𝑎−4)2 Для того, щоб корені квадратного рівняння були дійсними числами, необхідно і достатньо𝑎𝑎−4≥0,  тобто  𝑎≥4,  𝑎<0𝑎≠0. Розглянемо випадки:1) Якщо 𝑎>4, то обидва корені додатні і різні;2) Якщо 𝑎=4, то корені співпадають:𝑥1,2=1;3) Якщо 𝑎<0, то обидва корені від’ємні і різні, бо за теоремою оберненою до теореми Вієта:𝑥1+𝑥2=𝑎−2<0𝑥1𝑥2=1 

ОДЗ:𝑎𝑥>0,𝑥+1>0. ОДЗ задовольняє більший з них, тобто 𝑥1=𝑎−2+𝑎(𝑎−4)2. Так як 𝑥1𝑥2, то−1<𝑥1<0 і 𝑥2<−1  не задовольняє умову 𝑥+1>0 Відповідь: якщо 𝒂=𝟒,    𝒙=𝟏 Продовження: Знайти всі значення параметра , при яких рівняння 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟐(𝒂𝒙)=𝟐𝒍𝒐𝒈𝟏𝟐(𝒙+𝟏) має один і тільки один корінь. Знайти цей корінь.  

Завдання Рівняння з параметрами. Логарифмічні рівняння. Розв′яжіть рівнянняlog4𝑥−𝑎+log4𝑥=1, якщо параметр 𝑎=3 {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}АБВГД-1471-42. Розв′яжіть рівняння log2𝑎𝑥+1=3, якщо параметр 𝑎=2   {5940675 A-B579-460 E-94 D1-54222 C63 F5 DA}АБВГД3,55114-3,5

4. При яких значеннях параметра a рівняння (𝑥−𝑎)log2𝑥3𝑥−7=0 має єдиний розв’язок? 6. Розв’яжіть рівняння залежно від параметра 𝑎          𝑎log3𝑥−4𝑎−5log3𝑥+20=0 3. Визначте найбільше ціле значення a, за якого один із коренів рівняння log32𝑥−(𝑎−2)log3𝑥−2𝑎=0  належить проміжку (1;500) 5. Визначити найбільше ціле значення параметра 𝑎 , при якому рівняння має два різні розв’язки: (𝑥+𝑎)lg⁡(𝑥−5)=0. 

9. Задано систему рівнянь Розв'яжіть систему, якщо а = 0. Розв'яжіть систему залежно від значень а.7. Знайдіть значення параметра а, при якому корінь рівняння lg⁡(sin5𝜋𝑥) = 16 + 𝑎− 𝑥 належить проміжку (32; 2) 8. Нехай 𝑥1,𝑥2– корені рівняння alog22 𝑥+𝑏log2х+с=0 (a ≠0). Складіть рівняння такого самого типу, коренями якого є числа −𝑥12 та −𝑥22.