Презентація "Методи розв'язування тригонометричних рівнянь"

Методи розв’язування тригонометричних рівнянь

Тригонометричні рівняння, які зводяться до квадратних

Однорідні тригонометричні рівняння

     Розглянемо рівняння виду asin x+bcos x=0 (однорідне рівняння 1-го степеня), де а і b не дорівнюють нулю.     Значення х  при cos x дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді й sin x теж дорівнював би нулю, а cos x і sin x не можуть одночасно дорівнювати нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння почленно на cos x або на sinx.   

Однорідним рівняння 2-го степеня називається рівняння виду

Якщо числа a, b, c не дорівнюють нулю, то розв'язують рівняння шляхом ділення обох його частин на

Розв`язати рівняння1) sinx – cosx = 0 / cosx 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 - 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 tgx – 1 = 0 tgx = 1 x = arctg1 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 x = 𝜋4 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍Відповідь. 𝜋4 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 

2) 4cos2x – sin2x = 0 / cos2x 4cos2xcos2x  - sin2xcos2x  = 0 4 – tg2x = 0 tg2x = 4 2x = arctg4 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍 / 2 x = arctg42+ 𝜋𝑛2 , 𝑛∈𝑍. Відповідь. arctg42+ 𝜋𝑛2 , 𝑛∈𝑍. 

3) 9sinxcosx - 7𝑐𝑜𝑠2x = 2𝑠𝑖𝑛2x 9sinxcosx - 7𝑐𝑜𝑠2x - 2𝑠𝑖𝑛2x = 0 / 𝑐𝑜𝑠2x 9sinxcosx𝑐𝑜𝑠2x  − 7𝑐𝑜𝑠2x𝑐𝑜𝑠2x  − 2𝑠𝑖𝑛2x𝑐𝑜𝑠2x =0 9tgx – 7 - 2𝑡𝑔2x = 0 / ∙ (-1) 2𝑡𝑔2x – 9tgx + 7 = 0. Заміна tgx = t. 2𝑡2 - 9t + 7=0, D = 81 – 56 = 25, 𝑡1=72     ,      𝑡2=1.  tgx = 72 , tgx = 1 x = arctg 72 + 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍,   x = 𝜋4+ 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍. 

Рівняння, які розв`язують методом розкладання на множники

𝑐𝑜𝑠2x – 2cosxsinx = 0, cosx(cosx – 2sinx) = 0, cosx = 0, cosx – 2sinx = 0, / sinxx = 𝜋2+ 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍, 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥=0, ctgx = 2, x = arcctg2 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍. Відповідь. 𝜋2+ 𝜋𝑛, 𝑛∈𝑍; arcctg2 + 𝜋𝑘, 𝑘∈𝑍.