Презентація на урок алгебри у 11 класі з теми: " Найпростіші логарифмічні нерівності"

11 клас Алгебра і початки аналізу

Логарифмічні нерівності

Перевірка домашнього завданння:

Логарифмічні нерівності

Приклад 1. Розкрити нерівність log2(x-3)>5.

Обчислення: ОДЗ логарифма: x-3>0; x>3. Перейдемо до простої нерівності, основа 2>1, тому знак залишаємо x-3>25; x>32+3=35. Розв'язок x∈(35;+∞). Відповідь: (35;+∞).

Приклад 2. Знайти множину розв'язків log0.5(x-5)<√4.

Приклад 2. log0.5(x-5)<√4. Обчислення: ОДЗ логарифма: x-5>0; x>5. Основа 0,5<1, тому при спрощенні нерівності міняємо знак на протилежний x-5>0,5√4; x>0,52+5=0,25+5=5,25. Розв'язок x∈(5,25;+∞). Відповідь: (5,25;+∞).

Приклад 3. Скільки цілих коренів має нерівність log5(x+4)<-1.

Обчислення: ОДЗ логарифма: x+4>0; x>-4. Основа 5>1, тому знак нерівності зберігаємо. Формулу переходу до простої нерівності можна вивести, якщо скористатися властивістю, що логарифм основи рівний одиниці: log5(x+4)<-1·log55; log5(x+4)

відповіді ЗНО тестів.

Приклад 6 Знайти множину розв’язків нерівності log3(x-4)≤log38.

Розв'язування: Найпростішу логарифмічну нерівність розкриваємо шляхом опускання логарифмів та порівнянням виразів при рівних основах. Перша нерівність x-4>0 є областю допустимих значень (ОДЗ) логарифма, у другій нерівності порівнюємо вирази з логарифмів. Знак в 2 нерівності залишили без змін, оскільки основа  більша за одиницю 3>1 Позначимо результати 4

Приклад 7. Розв'язати нерівність logπx>logπ3+logπ5.

Розв'язування: За правилом суми логарифмів loga(b)+loga(c)=log(b•c) перетворимо праву сторону logπx>logπ(3•5), logπx>logπ15, Оскільки основа більша одиниці π>1, то знак нерівності залишимо без змін, з врахуванням ОДЗ (у І нерівності системи), отримаємо:  Будуємо множину розв'язків на числовій осі та записуємо в інтервальній формі x∈(15;+∞). Відповідь: (15;+∞) 

Приклад 8. Розв'язати нерівність log2(5-x)logх+11/8≥-6. У відповідь записати добуток усіх цілих розв'язків нерівності.

Розв'язування: Спростимо вираз  log2(5-x)logх+11/8:

Підставляємо в нерівність  

далі розкриваємо, враховуючи ОДЗ та знак нерівності для 1) випадок основ менших одиниці

Наносимо усі знайдені точки + з ОДЗ на числову вісь та знаходимо множину розв'язків x∈(-1;0).

2) випадок основи більшої за одиницю

x∈[1;5). Об'єднавши розв'язки останніх двох нерівностей, отримаємо x∈(-1;0)∪ [1;5). Випишемо усі цілі значення та знайдемо їх добуток: 1; 2; 3; 4, тоді 1•2•3•4=24. Відповідь: 24.

Приклад 9. Скільки цілих чисел є розв'язками нерівності log1/2(x+3)≥-1?

Розв'язування: За властивістю, що логарифм основи рівний одиниці, перетворимо праву сторону. Основа 1/2<1. З врахуванням ОДЗ лога- рифма  x+3>0, отримаємо:  Будуємо множину розв'язків на числовій осі: x∈(-3;1]. Нерівність нестрога, тому справа в відповіді квадратна скобка. Випишемо усі цілі розв'язки нерівності:-2; -1. Кількість дорівнює 2. Відповідь: два 

Рефлексія

Домашнє завдання: Повторити п. 7  Вказати найбільший цілий розв'язок нерівності log1/7(x+3)>-1? Установити відповідність між нерівностями (1–4) та множинами їх розв'язків (А–Д).

Розв'язування:  Основа логарифмів менша одиниці 1/7<1, тому знак при розкритті нерівності змінимо на протилежний. Враховуючи ОДЗ логарифма (в І нерівності системи), отримаємо звідси x∈(-3;4). x=3 - найбільший цілий розв'язок нерівності. Відповідь: 3 Розв'язування: Перетворимо праву сторону