Презентація "Паралелограм"

ПАРАЛЕЛОГРАМВЛАСТИВОСТІ ПАРАЛЕЛОГРАМА

ADВСПаралелограмом називають чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні. АВ || CD BC || ADТермін «паралелограм» походить від грецьких слів «паралелос» – той, що йде поруч, паралельний, і «грамма» - лінія.

Ознаки паралелограма. Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються та діляться точкою перетину навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм. ABCDOДоведення. На рисунку зображено чотирикутник ABCD у якому діагоналі AC і BD перетинаються в точці О, причому AO=OC і BO=OD. Доведемо, що даний чотирикутник – паралелограм. Оскільки кути AOD і BOC рівні як вертикальні, AO=OC і BO=OD, то трикутники AOD і COB рівні за першою ознакою рівності трикутників. З рівності трикутників випливає, що кути BCO і DAO рівні. Ці кути є внутрішніми різносторонніми при прямих BC і AD і січній АС, отже, AD || BC. Аналогічно, з рівності трикутників AOB COD випливає рівність кутів. BAO і DCO, а отже, AB || DC. Протилежні сторони чотирикутника ABCD паралельні, отже, ABCD –паралелограм за означенням.

Теорема 2. Якщо в чотирикутнику кожні дві протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник – паралелограм. Теорема 3. Якщо дві протилежні сторони чотирикутника паралельні і рівні, то цей чотирикутник – паралелограм. Теорема 4. Якщо протилежні кути чотирикутника попарно рівні, то цей чотирикутник – паралелограм. Теорема 5. Якщо сума кутів, прилеглих до будь якої сторони чотирикутника, дорівнює 180о, то цей чотирикутник – паралелограм. Ознаки паралелограма

ABCD – паралелограм,AB || CD, АD || BC,АВ = СD, AD = DC. У паралелограма протилежні сторони попарно паралельні. У паралелограма протилежні сторони попарно рівні. Властивості паралелограма. ADВС

ABCD ABCD – паралелограм, B =D, A = C. У паралелограма протилежні кути рівні. Властивості паралелограма

ABCD – паралелограм, А +В = В +C == С +D = A +D = 180°. Cума кутів, прилеглих до однієї сторони паралелограма, дорівнює 180°. ABCDВластивості паралелограма

ABCDABCD – паралелограм,АО = ОС, ВО = ОD. OДіагоналі паралелограма при перетині діляться навпіл. Властивості паралелограма

ABCDКожна діагональ утворює з протилежними (паралельними) сторонами дві пари рівних («внутрішніх різносторонніх») кутів. АВСD - паралелограм,ABD =BDC,ADB = CBD. Властивості паралелограма

ABCD – паралелограм;∆ АВD = ∆CDB. Кожна діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутники. Доведення. Нехай ABCD – даний паралелограм, BD – діагональ паралелограма. Розглянемо трикутники ABD і CDB. У них AB=CD, AD=BC, як протилежні сторони паралелограма, BD – спільна сторона. Отже, ці трикутники рівні за третьою ознакою рівності трикутників. ABCDВластивості паралелограма

Довжина кожної з діагоналей менша за суму довжин його не паралельних сторін та більша за модуль різниці довжин зазначених сторін. ABCD – паралелограм,𝑩𝑪−𝑨𝑩<𝑨𝑪<𝑩𝑪+𝑨𝑩,𝑩𝑪−𝑪𝑫<𝑩𝑫<𝑩𝑪+𝑪𝑫. ABCDВластивості паралелограма. O

ABCDABCD – паралелограм,𝑨𝑪𝟐+𝑩𝑫𝟐=𝟐(𝑨𝑩𝟐+𝑩𝑪𝟐), 𝒅𝟏𝟐+𝒅𝟐𝟐=𝟐𝒂𝟐+𝒃𝟐. OСума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін паралелограма.ab𝒅𝟏 𝒅𝟐 Властивості паралелограма

ABCDABCD – паралелограм, О - точка перетину діагоналей АС і ВD,О - центр симетрії паралелограма,ОК = ОМ. Точка перетину діагоналей є центром симетрії паралелограма. Будь-який відрізок, який проходить через точку перетину діагоналей i кінці якого належать паралельним його сторонам, ділиться цією точкою навпіл. МКВластивості паралелограма. O

ABCDABCD – паралелограм. АB – бісектриса, то АВ = ВКК Бісектриса кута паралелограма перетинає більшу з його сторін і відтинає від паралелограма рівнобедрений трикутник, основою якого є ця бісектриса. Властивості паралелограма

ABCDABCD – паралелограм, АК, ВК – бісектриси, ВКА=90°, AK = KNКБісектриси внутрішніх (зовнішніх) кутівпаралелограма, прилеглих до однієї сторони, утворюють прямий кут. Бiсектриси внутрiшнiх кутiв, прилеглих до меншої сторони, точкою перетину дiляться навпiл. NВластивості паралелограма

ABCD ABCD – паралелограм, BN – бісектриса В,DK- бісектриса D, то ВN || DК. К Бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні або належать однiй прямiй. NВластивості паралелограма

О - будь-яка точка всередині ABCDOF,OK,ON,OL - відстані від точки О до сторін ABCDВН та ВМ – висоти паралелограма. OF+OK+ON+OL=ВН+ВМСума вiдстаней вiд будь-якої точки всерединi паралелограма до його сторiн є величиною сталою та дорiвнює сумi довжин його висот. Властивості паралелограма. ABCDOLNKFМН

Biдрiзки, якi сполучають протилежні вершини iз серединами паралельних сторiн, дiлять вiдповiдну дiагональ на три вiдрiзки однакової довжини ABCD – паралелограм,BT=TC, AP=PD,BM=MN=ND. Властивості паралелограма. ABCDNTPM

ABCD - паралелограм,BT=TC, CP=PD,BM=MN=ND. Biдрiзки, якi сполучають певну вершину iз серединами несумiжних сторiн, дiлять вiдповiдну дiагональ на три вiдрiзки однакової довжини. Властивості паралелограма. ABCDNTPM

ABCDKHВисотою паралелограма називають перпендикуляр, проведений із точки прямої,що містить сторону паралелограма до прямої, що містить протилежну сторону. СМ, ВК і ВН – висоти паралелограма. МВисота паралелограма

1. Якщо сусідні сторони паралелограма не рівні, то менша висота є відстанню між більшими сторонами, а більша висота – відстанню між меншими сторонами.2. Висоти, опущені на паралельні сторони (або ж їх продовження) рівні.3. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута паралелограма, дорівнює гострому куту паралелограма.4. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута паралелограма, дорівнює тупому куту паралелограма. Властивості висот паралелограма

Якщо сполучити відрізками середини сусідніх сторін довільного опуклого чотирикутника, отримаємо паралелограм. MNPKABCDMNPK – oпуклий чотирикутник,А – середина MN,B – середина NP,C – середина PK,D – середина KM. ABCD - паралелограм. Властивість довільного опуклого чотирикутника, яка пов’язана з паралелограмом

Дякую за увагу!