12 травня о 18:00Вебінар: Лайфхаки з використання сервісу LearningApps в освітньому процесі

Презентація "Перестановки, розміщення, комбінації"

Про матеріал
За допомогою даної презентації здобувачі освіти зможуть ознайомитися з новою темою «Елементи комбінаторики», усвідомити поняття «факторіал», «перестановки», «розміщення», « комбінації»; виробити вміння та навички з використання даних понять до розв’язування типових задач; розвивати просторову уяву, логічне мислення, комунікативні вміння; виховувати почуття відповідальності за якість отриманих знань; формувати математичну та ключові компетентності, уміння вчитися впродовж життя, ініціативність та підприємливість, соціальну та громадянську компетентності.
Зміст слайдів
Номер слайду 1

Презентація. Тема уроку “Елементи комбінаторики. Перестановки, розміщення, комбінації”Вчитель математики Тульчинської школи-ліцею. Кузик Тамари Іванівни

Номер слайду 2

Мета Уроку: Ознайомити ліцеїстів з новим розділом математики;дати означення факторіала, перестановки, розміщення, комбінації без повторень; розглянути задачі з використанням формул для обчислення кількості різних сполук; розглядання правил суми і добутку; сформувати вміння знаходити значення і перетворювати вирази з факторіалами, застосовувати правила комбінаторики при розв'язуванні задач;розвивати увагу і пам’ять;виховувати впевненість в своїх силах, колективізм і самостійність, зацікавленість предмету.

Номер слайду 3

*уміння вчитися впродовж життя;*математичну компетентність;*ініціативність та підприємливість;*соціально - громадянську компетентність. Формування компетентностей:

Номер слайду 4

Хід уроку.

Номер слайду 5

Організаційна частина*Описати психологічний стан особистостей

Номер слайду 6

Актуалізація опорних знань

Номер слайду 7

ПОВТОРЕННЯ матеріалу до ЗНО Множина може містити будь-яку кількість елементів. Якщо множина містить скінчене число елементів, то вона називається скінченною множиною. Якщо ж число елементів множини нескінчене, то і множина називається нескінченною. Якщо множина не містить жодного елемента, то таку множину називають порожньою і позначається Ø . Якщо множини складаються з одних і тих же елементів, то такі множини називаються рівними. Наприклад: {12; 13; 14; 15} = {15; 14; 13; 12}.

Номер слайду 8

Пояснення нового матеріалу

Номер слайду 9

ПЛАН: Комбінаторика: Зміст матеріалу Приклади Основні формули комбінаторики: Факторіал Виконання вправ. Перестановки, приклади Виконання вправ. Розміщення , приклад1, приклад2 Виконання вправ. Комбінації, приклад Виконання вправ Основні закони комбінаторики: Зміст матеріалу Приклади Виконання вправ Домашнє завдання Підсумок заняття. Схема (вибір сполук)Схема (два основні правила комбівнаторики)

Номер слайду 10

Історія виникнення поняття. Термін «комбінаторика» був введений в математичний ужиток Лейбніцем, який в 1666 році опублікував свою працю «Міркування про комбінаторне мистецтво». Готфрід Вільгельм Лейбніц (Gottfried Wilhelm von Leibniz)  - німецький філософ, математик, механік, юрист, дипломат.

Номер слайду 11

Комбінаторика – важливий розділ математики, знання якого необхідно представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодам та ін. Комбінаторні методи лежать в основі рішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосувань. Методи розв'язування таких задач вивчають у розділі математики, який називається комбінаторикою, а самі задачі — комбінаторними.

Номер слайду 12

Приклади комбінаторних задач: Дізнатися, скількома способами можна з 6 хлопчиків і 8 дівчаток вибрати команду для естафети, якщо в команду повинні увійти 3 хлопчика і 3 дівчинки. Скількома способами можуть бути розподілені золота і срібна медалі за підсумками олімпіади, якщо число команд 15?

Номер слайду 13

Факторіал. Означення 1. Факторіал — це добуток послідовних натуральних чисел. n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ n. Наприклад : 1! = 1; 2! = 1 ∙ 2 = 2; 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6; 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 3! ∙ 4 = 24. Приймають, що 0! = 1. Термін «факторіал» походить від англійського слова «фактор» — множник.

Номер слайду 14

ПРиклади1) Обчислити: 2) Спростити:

Номер слайду 15

Перестановки. Рn = n!

Номер слайду 16

Перестановки. Означення 2. Будь-яка впорядкована множина, що складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів. Перестановки відрізняються одна від одної лише порядком елементів. Приклад 1. Із елементів множини А = {2, 4, 5} можна утворити 6 перестановок: {2, 4, 5}, {2, 5, 4}, {4, 2, 5}, {4, 5, 2}, {5, 4, 2}, {5, 2, 4}. Кількість усіх можливих перестановок у множині з n елементів позначається Рn. Обчислюється за формулою: Рn = n!Приклад 2. 12 осіб можна розмістити за столом, біля якого поставлено 12 стільців, РІ2= 12! способами.

Номер слайду 17

Вправина закріплення формули числа перестановок. Обчисліть: Розв'язання. Обчисліть: Розв'язання. Скількома способами можна розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях? Розв'язання

Номер слайду 18

Розв'язання. Обчисліть:

Номер слайду 19

Розв'язання. Обчисліть:

Номер слайду 20

Розв'язання. Скількома способами можна розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях? Щоб обчислити скільки способів існує для того щоб розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях треба знайти число перестановок :

Номер слайду 21

Перестановки. Будь-яка впорядкована множина, яка складається з заданих n-елементів, називається перестановкою із n-елементів. Позначають через Р – перша буква французького слова «permutation» – «перестановки»   𝑷𝒏=𝒏!Приклад 9. Скількома способами можна розставити на полиці 6 книжок?Розв’язання. Шукана кількість способів дорівнює кількості перестановок з 6 елементів (книг): Р6 = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720. Приклад 10. Скільки різних чотирицифрових чисел можна скласти з цифр 0; 1; 2; 3, якщо в кожному числі жодна з цифр не повторюється?Розв’язання. З чотирьох цифр 0; 1; 2; 3 можна утворити Р4 перестановок. Але ті перестановки, які починаються з 0 не будуть записами чотирицифрових чисел, таких перестановок — Р3. Отже, шукана кількість чотирицифрових чисел дорівнює Р4 - Р3 = 4! - 3! = 3!(4 - 1) = 6 ∙ 3 = 18. 

Номер слайду 22

Розміщення

Номер слайду 23

розміщення. Означення 3. Упорядкована підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів, де m ≤ n, називається розміщенням з n елементів по m. Розміщення відрізняються один від одного або елементами, або їх порядком. Якщо m = n, маємо перестановку з n елементів, тобто перестановка є окремим випадком розміщення за умови, що m = n. Кількість усіх можливих розміщень з n елементів по m елементів позначається 𝐴𝑛𝑚. Обчислюється за формулою: Приклад 1: Скільки двоцифрових чисел можна скласти з цифр 3, 5, 7. Розглянемо множину цифр{3, 5, 7} і випишемо розміщення з еле­ментів даної множини по два: 35, 53, 57, 75, 37, 73. 

Номер слайду 24

Формула для обчислення кількості розміщень. Приклад 2. Студенту потрібно скласти 4 іспити на протязі 8 днів. Скількома способами це можна зробити Розв'язання:

Номер слайду 25

Розв’язування задач. Приклад 3. Скількома способами можна розсадити 4 учні на 25 стільцях? Відповідь: = 303 600.

Номер слайду 26

Приклад 4. Обчисліть:

Номер слайду 27

Приклад 5. Обчисліть:

Номер слайду 28

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння: Розв'язати рівняння означає знайти змінну x. Тобто тоді Отже враховуюче, що x – натуральне число, отримаємо x=1. Відповідь: 1

Номер слайду 29

Приклад 7. Кожен вибір трьох медалістів з 10 учасників відрізняється один від одного складом і порядком розташування учасників, тоді треба обчислити число розміщень з 10 по 3:

Номер слайду 30

Комбінації

Номер слайду 31

комбінаціїБудь-яка не упорядкована підмножина з m елементів даної множини М, що містить n елементів, де m ≤ n, називається комбінацією з n елементів по m. Порядок елементів у множині неістотний, комбінації відрізняються лише складом елементів. Кількість усіх можливих комбінацій з n елементів по m позначається символом Комбінація відрізняється від розміщення тим, що у цій підмножині неістотним є порядок елементів. У загальному випадку кількість комбінацій з n елементів по m елементів можна обчислити за формулою:

Номер слайду 32

Формула для обчислення кількості комбінацій

Номер слайду 33

Розв’язування задач. Приклад1: Скількома різними способами можна вибрати з 15 осіб делегацію в складі 3 осіб? Розв'язання: Різними вважатимемо ті делегації, які відрізняються хоча б однією особою. Отже, треба обчислити Відповідь. Існує 455 способів.

Номер слайду 34

Приклад 9. Обчисліть:

Номер слайду 35

Приклад 10. Обчисліть:

Номер слайду 36

Приклад 11. Скільки прямих можна провести через 7 точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій? Кожні дві точки визначають одну пряму, і при цьому не відіграє ролі в якому порядку вони взяті. Тому число прямих дорівнює числу комбінацій з 7 по 2, тобто

Номер слайду 37

*Приклад 12.. У вазі 6 червоних і 4 білих троянди. Скількома способами з вази можна вибрати: 1) три троянди; 2) дві червоні і одну білу троянду?Розв’язання. 1) Оскільки порядок вибору не має значення, то вибрати три троянди з 10 можна С310 способами.𝐶103=10!3!10−3!=7!∙8∙9∙103!∙7!=8∙9∙101∙2∙3=120 (способів)2) Дві червоні троянди можна вибрати С26 способами, а одну білу – C14 способами. Тому вибрати дві червоні і одну білу троянди можна способами. Маємо𝐶62∙𝐶41=6!2!6−2!∙4!1!4−1!=4!∙5∙62!∙4!∙3!∙43!=15∙4=60(способів) 

Номер слайду 38

Приклад 13. Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці “Спортлото”Розв'язання:

Номер слайду 39

Вибір формули 𝑨𝒏𝒌 чи 𝑪𝒏𝒌.  Якщо в комбінаторній задачі необхідно вибрати k елементів з n, то важливим є питання – необхідно враховувати порядок слідування елементів чи ні.{B301 B821-A1 FF-4177-AEE7-76 D212191 A09}В класі 20 учнів. Скількома способами з цього класу можна вибрати...старосту й його заступникадвох чергових. Обов’язки різні! Порядок має значення.𝐴202=20!18!=19∙20=380 Обов’язки однакові! Порядок не має значення. 𝐶202=20!2!∙18!=19∙202=190{B301 B821-A1 FF-4177-AEE7-76 D212191 A09}В класі 20 учнів. Скількома способами з цього класу можна вибрати...старосту й його заступникадвох чергових

Номер слайду 40

Правила суми і добутку. Комбінаторні задачі бувають різних видів. Але більшість із них розв'язують за допомогою двох основних правил: правила суми і правила добутку. Вибір правила. Правило суми: Або елемент a або елемент b. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a або b можна здійснити (m+n) способами. Правило добутку:І елемент a і елемент b. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a і b можна здійснити (m*n) способами.

Номер слайду 41

Приклад 14.7 книг різних авторів і трьохтомник одного автора розташо­вані на книжковій полиці. Скількома способами можна роз­ставити ці 10 книжок на полиці так, щоб книги автора трьохтомника стояли поруч?

Номер слайду 42

Приклад 16. Збори з 30 осіб обирають голову, секретаря та трьох членів редакційної комісії. Скількома способами це можна зробити?

Номер слайду 43

Приклад 17. У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами мож­на виділити наряд, який складається із трьох солдат і одно­го офіцера?

Номер слайду 44

Підведення підсумків.

Номер слайду 45

Приклади. Приклад 1: У групі 9 дівчаток і 11 хлопців. Скількома способами можна вибрати 1 студента для роботи біля дошки?Розв'язання: Для роботи біля дошки ми можемо вибрати дівчинку 9 способами або хлопця 11 способами.     Загальна кількість способів дорівнює 9 + 11 = 20. Приклад 2: На вершину гори ведуть 5 доріг. Скількома способами можна піднятися на гору і спуститися з неї?Розв'язання : Для кожного варіанту підйому на гору існує 5 варіантів спуску з гори. Значить всіх способів піднятися на гору і спуститися з неї 5 ∙ 5 = 25.

Номер слайду 46

Вибір формули. Чи враховується порядок розміщення елементів?такніЧи всі елементи входять в сполуку. КомбінаціїтакніПереставновки. Рn = n!Розміщення2) А також взнали і навчилися розрізняти види сполук (перестановки, розміщення, комбінації).

Номер слайду 47

3) взнали і навчилися розрізняти два основні правила комбінаторики. Вибір правила. Або a або bІ a і b. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a або b можна здійснити (m+n) способами. Якщо елемент a можна вибрати m способами, а елемент b – n способами, то вибір a і b можна здійснити (m*n) способами.

Номер слайду 48

Домашнє завдання Дедалі частіше в житті приходиться розв'язувати задачі, головним питанням у яких є: «Скількома способами це можна зробити?»Наприклад:• Скільки прямих можна провести через 7 точок, з яких ніякі три не лежать на одній прямій? • Скількома способами можуть бути присуджені золота, срібна або бронзова медалі трьом учасникам з 10?• Скількома способами можна розсадити 7 осіб на семи вільних стільцях? У цих задачах задано елементи для комбінування і вимагається знайти кількість можливих комбінацій.І саме такі задачі отримали назву: комбінаторні задачі. А розділ математики, в якому розглядаються подібні задачі, називають комбінаторикою?Прошу розв’язати дані задачі

Номер слайду 49

Рефлексія

Номер слайду 50

МОЛОДЦІ!

Номер слайду 51

pptx
Додано
28 лютого
Переглядів
512
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку