Презентація "Рівносильні рівняння. Рівняння-наслідок. Раціональні рівняння" 8 клас

Тема : Рівносильні рівняння. Рівняння наслідок. Раціональні рівняння

Сьогодні на уроці:

Область визначення рівняння. Нехай задано дві функції y = f (x) та y = g (x) і поставлено задачу знайти множину значень аргументу x, при яких значення функцій f і g рівні. У такому випадку кажуть, що треба розв’язати рівняння f (x) = g (x).

Означення. Областю визначення рівняння f (x) = g (x) називають множину значень змінної x, при яких мають зміст обидві частини рівняння. З означення випливає, що областю визначення рівняння f (x) = g (x) є множина D (f)  D (g).

Приклади Розглянемо декілька прикладів: Областю визначення лінійного рівняння, тобто рівняння виду ах = b, є множина всіх чисел;Областю визначення рівняння є множина {x| x ≠ - 2 };

Незважаючи на те що рівняння x2 = – 2 не має коренів, його областю визначення є множина дійсних чисел. Зрозуміло, що кожний корінь рівняння обов’язково належить його області визначення.

Цей факт ілюструє діаграма Ейлера (див.рисунок). Область визначення рівняння. Множина коренів рівняння

Розглянемо два рівняння: Очевидно, що кожне з них має одні й ті самі корені: –2 і 2. У таких випадках кажуть, що рівняння x2 = 4 і |x| = 2 рівносильні.

Означення. Рівняння f1 (x) = g1 (x) і f2 (x) = g2 (x) називають рівносильними, якщо множини їх коренів рівні. Розглянемо приклади рівносильних рівнянь:3х = 0 і 12х = 0,

Рівносильність рівнянь. Теорема 7.1. Якщо до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Теорема 7.2. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Теорема 7.3. Якщо обидві частини рівняння помножити (поділити) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному. Означення. Якщо множина коренів рівняння f2 (x) = g2 (x) містить множину коренів рівняння f1 (x) = g1 (x), то рівняння f2 (x) = g2 (x) називають наслідком рівняння f1 (x) = g1 (x).

З рівняння випливає рівняння x2 = 25. Множина коренів рівняння-наслідку. Множина коренів рівняння

На рисунку означення рівняння-наслідку проілюстровано за допомогою діаграми Ейлера. Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множини, то, наприклад, наслідком рівняння x2 = – 5 є будь-яке рівняння з однією змінною x. Зауважимо, що коли два рівняння рівносильні, то кожне з них можна вважати наслідком іншого. Ті корені рівняння-наслідку, які не є коренями даного рівняння, називають сторонніми коренями даного рівняння.

Приклад

Розглянуте рівняння є рівнянням виду де f(x) і g(x) – многочлени. Ви знаєте, що дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля.

Дане рівняння рівносильно системі

Означення. Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональним. Як відомо, будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу. Тому будь-яке раціональне рівняння можна звести до рівняння видуде f(x) і g(x) – многочлени.

Приклад

Турист проплив на човні 3 км за течією річки та 2 км проти течії за 30 хв. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2 км/год. Розв'язування. Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює х км/год. Тоді його швидкість за течією річки становить (х + 2) км/год, а поти течії – (х - 2) км/год.

Турист проплив 3 км за течією річки за , а 2 км проти течії - за . Оскільки весь шлях було пройдено за 30 хв. = 0,5 год, то маємо рівняння:

Фізкультхвилинка для очей

Домашнє завдання. Читати § 4 п. 20 Виконати вправи №№ 20.2(непарні), 20.7,20,11(1, 3), 20.16

Дякую за увагу!

Презентація створена вчителем математики. Житомирського міського ліцею при ЖДТУПанським Володимиром Анатолійовичем2019