Презентація + Робочий зошит з теми + На допомогу учневі (підбірка матеріалу)

 

 

Зміст

1. Вступ__________________________________________2

 

2. Перестановки___________________________________3
3. Факторіал______________________________________ 3
4. Розміщення_____________________________________4

 

5. Комбінації______________________________________4

 

6. Біном Ньютона__________________________________5

 

7. Біноміальні коефіцієнти__________________________5

 

8. Трикутник Паскаля______________________________6

 

9. Властивості біноміальних коефіцієнтів_____________6

 

   10.   Тренувальні вправи____________________________9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 

   Представникам різних професій доводиться розв’язувати задачі, в яких з деякої множини об’єктів потрібно вибирати елементи, що мають ті або інші властивості, розміщувати ці елементи в певному порядку. Так керівнику цеху потрібно розподілити кілька видів робіт між працівниками, агроному – розмістити посіви сільськогосподарських культур на кількох полях, хіміку – розглянути можливі зв’язки між атомами і молекулами, тощо. Оскільки в таких задачах йде мова про комбінування об’єктів, їх називають комбінаторними задачами, а розділ математики, в якому вивчаються питання про те, скільки різних комбінацій, що відповідають тим чи іншим умовам можна скласти із заданих об’єктів, називають комбінаторикою.

   В наш час комбінаторні задачі приходиться розв’язувати фізикам, хімікам, біологам, економістам, спеціалістам самих різних професій.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Перестановки

 

   Візьмемо n різних елементів : а₁, а₂, а₃, … а_n. Будемо переставляти їх усіма можливими способами, зберігаючи їхню кількість і змінюючи лише порядок їх розташування. Кожна із отриманих таким чином комбінацій називається перестановкою. Загальна кількість перестановок із n елементів позначається Р_n. Це число дорівнює добутку всіх цих чисел від 1 до n :

Символ  n!  - називається факторіалом, - є скороченим  записом добуту : .

   Нижче наведено значення факторіала для значень n від 1 до 10.

_1!=1

 

_{Задача. Знайти число перестановок з трьох елементів: а, в ,с.}

Розв’язання.

 

Згідно наведеній формулі : Р₃=1 2 3=6, дійсно ми маємо 6 перестановок : авс, асв. вас, вса, сав, сва.

 

 

 

 

Розміщення

 

   Будемо складати групи із m різних елементів, взятих із множини, що складається із n елементів  в різноманітному порядку. Отримані  комбінації називаються розміщеннями із n елементів по m .

   Кількість розміщень з n елементів по m  позначають символом і дорівнює добутку:

.

 Тобто число розміщень з n елементів по m дорівнює добутку m послідовних натуральних чисел, найбільше з яких m .

   Якщо n= m, то маємо =Р_n, тобто перестановка – окремий випадок розміщення.

   Задача. Знайти число розміщень із чотирьох елементів : a, b, c, d по два.

Розв’язання.

   Згідно формули  . 

Отже, маємо такі розміщення : ab, ba, ac, ca, ad, da, dc, cd, bc, cb, bd, db.

 

 

Комбінації

 

   Будемо складати групи із m різних елементів, взятих із множини, що складається із n елементів, не приймаючи до уваги порядок розміщення цих m елементів.

   В цьому випадку ми отримаємо комбінацію з n елементів по m.

   Число комбінацій  з n елементів по m  позначають символом    і може бути обчислено по формулі :

             або            

 

 

   Відмітимо, що можна скласти тільки одну комбінацію із n елементів по n яка містить всі n елементів. Формула кількості комбінацій дає таке значення лише за умови, якщо вважати, що 0!=1, що є  означенням 0!

   Згідно цього означення :

,  

 

   Задача. Знайти число комбінацій з п’яти елементів : a, b, c, d, e по три .

Розв’язання

.

Маємо десять комбінацій : abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

 

 

Біном Ньютона

Біном Ньютона – це алгебраїчна формула, відкрита Ньютоном, яка дає змогу подати двочлен  (біном) в будь – якому степені, а саме :

Зауважимо, що сума показників степеня а і в  постійна і рівна n.

Задача. Піднесіть до шостого степеня 1+х.

Розв’язання.

Властивості формули бінома Ньютона

1. В правій частині формули міститься (n +1) членів, оскільки розклад включає всі степені b від 0 до n.
2. Позначимо k член розкладу через T_k

            T₁=C_n⁰aⁿb⁰=aⁿ,        T₂=C_n¹a^n-1b=na^n-1b,

            T_k=C_n^k-1a^n-k+1b^k-1,    T_k+1=C_n^ka^n-kb^k

3. Показник а послідовно зменшується на 1, а показник b- збільшується на 1.Внаслідок цього сума показників степенів а і b в кожному члені стала і дорівнює показнику степеня бінома n.
4. Коефіцієнти членів, рівновіддалених від початку і кінця розкладу, рівні між собою.
5. Сума біномінальних коефіцієнтів дорівнює 2ⁿ.
6. Щоб дістати біноміальний  коефіцієнт наступного члена, слід біноміальний коефіцієнт попереднього помножити на показник степеня а в цьому члені і розділити на число попередніх членів.

           Оскільки , то     

Дана формула дає змогу обчислювати будь-який член натурального степеня бінома.

Наприклад. Знайти восьмий член розкладу(x-a)¹².

Розв’язання.

(x-a)¹²=(x+(-a))¹².

За формулою загального члена розкладу бінома маємо:

T₈ = T₇₊₁ = C₁₂⁷x^12-7(-a)⁷ = -C₁₂⁷x⁵a⁷ = -C₁₂⁷x⁵a⁷ = -1584a⁷x⁵.

Біноміальні коефіцієнти

   Числа називаються біноміальними коефіцієнтами.

Їх можна обчислити, застосувавши тільки додавання, якщо користуватись при цьому наступною схемою. В верхньому рядку пишемо дві одиниці. Всі наступні рядки починаються і закінчуються одиницею. Проміжні числа в цих рядках одержують в результаті додавання сусідніх чисел із попереднього рядка. Така схема називається  трикутником Паскаля:

 

Перший рядок в цій таблиці містить біноміальні коефіцієнти для n=1, другий – для n=2, третій – для n=3 і т. д. Тому, якщо необхідно, наприклад, розкласти вираз (а + в)⁷ , ми можемо скористатися таблицею і швидко отримати результат:

(а + в)⁷=а⁷+7а⁶в+21а⁵в²+35а⁴в³+35а³в⁴+21а²в⁵+7ав⁶+в⁷.

Властивості біномінальних коефіцієнтів:

1.Сума коефіцієнтів розкладу (а + в)ⁿ дорівнює 2 ⁿ.

2.Коефіцієнти членів, рівновіддалених від кінців розкладу, рівні.

3.Сума коефіцієнтів парних членів розкладу дорівнює сумі коефіцієнтів непарних членів розкладу; кожна з них дорівнює   2 ^n-1

 

 (а+в)⁰  =  1                                                            1

 (а+в)¹ = а+в                                                     1       1

 (а+в)² = а²+2ав+в²                                      1      2      1

 (а+в)³ = а³+3а²в+3ав²+а³                       1      3      3      1                                

 (а+в)⁴ = а⁴+4а³в+6а²в²+4ав³+в⁴         1     4      6      4      1

 (а+в)⁵ = …                                         1    5      10    10     5     1

 (а+в)⁶ = …                                      1     6   15     20     15    6     1                                     

 

 

 

 

 

Т Р Е Н У В А Л Ь Н І        В П Р А В И

 

ПЕРЕСТАНОВКИ

1.Обчислити:

         а);                  г)  ;                      є) ;

 

         б); 

         в)5! – 4!;  д) ;                       ж).

         

2.Скільки чотирицифрових чисел можна утворити з цифр 0,1,2,3 не повторюючи їх?

 

3.В групі  35 студентів. Вони обмінялись один з одним фотокартками. Скільки всього фотокарток було роздано?  

 

4.Скільки різних прямих можна провести через 10 точок площини, з яких жодні три не лежать на одній прямій?

 

5.Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви  слова «училище».

 

6.Спростити:

      а);   б);     в).

 

КОМБІНАЦІЇ

1.Обчислити:

       а);  б) ; в);  г) .      

 

2.Довести, що:

 а);  б).

 

3.Спростити вираз:

          а);                       б) ).

 

4.Обчислити:

           а) ;  б) ;            в). 

5.Довести,  що:

 а) ;

 б).

 

6^*.Шістнадцять екскурсантів розділилися на дві рівні групи для розшуку товариша, який заблукав. Серед них є лише 4, хто знає місцевість. Скількома способами вони можуть розділитись так, щоб до кожної групи ввійшли дві особи, які знають місцевість?

 

7.У групі 32 студенти. Скількома способами можна сформувати команду з 4 чоловік для участі у конкурсі професійної майстерності?

 

8. Скількома способами можна бригаду з 17 робітників, можна розділити на дві групи так, щоб у одній групі було 5 чоловік, а у другій – 12 чоловік?

 

9.На одній паралельній прямій позначено 7 точок, на другій – 12. Скільки існує чотирикутників з вершинами в цих точках?

 

Р О З М І Щ Е Н Н Я

 

1.Знайти значення виразу:

 а);    б) .

 

2.Розвязати рівняння:

 а);  б) ; в) .

 

3.Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких прості числа, не більші за 20?

 

БІНОМ  НЬЮТОНА

     

1.Обчислити: а) 29⁵=(30 -1)⁵=…    б) 99⁵=(100 – 1)⁵.

 

 

2.За формулою бінома Ньютона знайти розклад степеня:

    а) (а + в)⁵;                                                   е) (а + 2b)⁵ ;                          

   б) (m + n)⁷;                                                   є) (x²-  2y² )⁴;

   в) (x – y)⁴; ж)(3x – 1)4;

   г)( )⁴; з)(а² – 1)⁵.

  д) (3x+4y)⁶ ;                                                       к)   (x-  )⁵.

3,Знайти шостий член в розкладі бінома .

 

4.Знайти четвертий член в розкладі бінома .

 

5.В розкладі бінома знайти номер члена, який не містить x.

 

7. В розкладі бінома знайти номер члена, який не містить x.

 

 

З А В Д А Н Н Я   З   З Б І Р Н И К А   Д Л Я   ДПА

 

 

В2.1.7.Скільки чотирицифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 0, 1, 2, 3?

      А) 24;            Б) 18; В) 20;  Г) 16

 

В5.1.10.З 4 студентів потрібно вибрати двох для поїздки за кордон. Скільки    варіантів вибору цих двох студентів існує?

  А) 6;  Б) 12;  В) 15;  Г) 18.

 

В9.1.12.Скількома способами можна сформувати комісію з 3 осіб, яких треба вибрати з 4 претендентів.

          А) 3;                 Б) 4;                 В) 6;                  Г) 12.

 

В11.1.11.Скільки існує звичайних дробів, чисельник і знаменник яких -  різні прості числа, не більші за 20?

          А) 14;               Б) 28;               В) 56;                 Г)70.

 

В13.1.12Скільки трицифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 1,2,3,4,5,6?

          А)120;               Б)720;             В)20;                   Г) 216.

 

В15.1.11.У меню їдальні є 3 перші страви, 6 других страв і 4 треті страви. Скількома способами можна вибрати обід, який містить по одній страві кожного виду?

          А) 13;               Б)36;                В)72;                   Г)54.

 

В17.1.12.На площині позначено 10 точок так, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує трикутників з вершинами у цих точках?

          А) 120;            Б) 720;              В) 240;                 Г) 360.

 

В18.1.11.Оркестру потрібні скрипаль, піаніст і флейтист. На місце скрипаля є 7 кандидатів, на місце піаніста – 5, а на місце флейтиста – 2. Скільки існує варіантів нового складу оркестру?       

          А) 14;             Б) 35;                  В) 50;                   Г) 70.

 

В19.1.11.Скільки існує трицифрових чисел, усі цифри яких непарні і різні?  

          А) 30;            Б) 60;                 В)120;                    Г) 150.

 

В21.10.З десяти учнів потрібно вибрати двох для прибирання класної кімнати.

   Скількома способами це можна зробити?

          А) 120;          Б) 90;                 В) 60;                      Г) 45.

 

В23.1.11.Скілько двоцифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 1;   2; 3?

          А) 4;               Б)5;                  В) 6;                         Г)8.

 

В24.1.12. Розклад одного дня містить 4 уроки з різних предметів. Скількома способами можна скласти цей розклад, маючи вибір з 10 предметів?        

          А) 210;            Б) 40;              В) 1280;                   Г) 5040.

 

В27.1.12.Скількома способами можна вибрати 2 кульки і 2 кубики з 6 різних кульок і 5 різних кубиків?

          А) 75;              Б) 150;             В) 480;                     Г) 120.

 

В29.1.11.Скількома способами можна розставити на полиці 5 різних книжок?

          А) 60;              Б) 120;             В) 25;               Г) 240.

 

В35.1.11.У магазині є 7 видів новорічних подарунків. Скількома способами можна вибрати з них три різні подарунки?

         А)35;                Б) 70;                В) 140;            Г) 210.

 

В36.1.12Скільки чотирицифрових чисел, кратних 5, усі цифри яких різні, можна записати, використовуючи лише цифри 1, 2, 3, 4, і 5?

          А) 16;              Б)24;                 В)28;               Г)32.

 

В40.1.12.У футбольній команді, яка складається з 11 гравців, потрібно вибрати капітана та його заступника. Скількома способами це можна зробити?

        А) 22;                Б) 220;             В) 55;               Г) 110.

 

В45.1.12.Розглядаються п’ятицифрові числа, у запису яких двічі присутня цифра 3 і по одному разу кожна з цифр 1,2 і 4. Скільки існує таких чисел?

       А) 60;                 Б) 80;               В) 120;             Г) 150.

 

В48.1.12.Скільки парних п’ятицифрових чисел, усі цифри яких різні, можна записати, використовуючи цифри 3,4,5,7, і 9?

       А) 24;                 Б) 12;                В) 120;            Г) 60.

 

В52.1.7.Скільки п’ятицифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 6,7,8,9,0?

       А) 120;               Б) 100;             В) 108;             Г) 96.

 

В55.1.10.З 4 учнів потрібно вибрати трьох для виступу в святковому концерті. Скільки варіантів вибору цих трьох учнів існує?     

       А)16;                  Б)12;                В)8;                   Г)4.

 

В57.1.12.У конкурсі ерудитів взяло участь 10 учнів. Скільки є варіантів розподілу перших трьох місць?

      А) 600;                Б) 720;              В) 820;              Г) 1000.

 

В59.1.12.Убригаді робітників з 8 осіб треба сформувати групу з 3 осіб, які мають їхати у відрядження. Скількома способами це можна зробити?

         А) 56;                Б) 48;                  В) 36;                Г) 28.

 

В61.1.11.Скільки існує на координатній площині точок, абсциса і ордината яких – різні складені числа, не більші за 18?

        А) 90;                 Б) 72;                  В) 54;                 Г) 36.

 

В63.1.12.Скільки двоцифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 1,2,3,4,5,6?

        А) 60;                Б) 30;                   В) 48;                  Г) 36.

 

В67.1.12.На площині позначено 10 точок так, що жодні три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує прямих, що проходять через ці точки?

       А) 45;                 Б) 90;                   В) 60;                 Г) 120.

 

В68.1.11.Маємо 8 різних конвертів і 4 різних марки. Скількома способами можна вибрати конверт і марку?

       А) 12;                  Б) 16;                    В) 32;                  Г) 64.

 

В69.1.11.Скільки існує трицифрових чисел, усі цифри яких різні, парні і відмінні від нуля?

      А) 12;                   Б) 24;                    В) 36;                   Г) 40.

 

В71.1.10.З 12 робітників треба сформувати ремонтну бригаду з 3 осіб. Скількома способами це можна зробити?

      А) 132;                 Б) 110;                  В) 220;                 Г) 440.

 

В73.1.11.Скільки двоцифрових чисел з різними цифрами можна записати, використовуючи цифри 1; 2; 3 і 4?

      А) 6;                      Б) 8;                       В) 12;                   Г) 18.

 

В74.1.12.З 12 спортсменів треба вибрати чотирьох для участі в легкоатлетичній естафеті і розставити їх по етапах естафети. Скількома способами можна це зробити?

     А) 495;                   Б) 11880;               В) 12800;             Г) 9600.

 

В77.1.12.Скількома способами можна вибрати 3 олівці та 2 ручки із 5 різних олівців і 4 різних ручок?

      А) 60;                     Б) 16;                    В) 80;                   Г) 32.

 

В79.1.11.Скількома способами можна доїхати з міста А через місто В у місто С, якщо з А до В веде 4 дороги, а з В до С – 6 доріг?

      А) 10;                      Б) 12;                    В) 18;                   Г) 24.

 

В85.1.11.Потрібно вибрати з 10 членів учнівської ради школи голову, його заступника і секретаря ради. Скільки є різних варіантів їх вибору?

      А) 720;                    Б)   810;                В) 900;                  Г) 1000.

 

В86.1.12.Скільки чотирицифрових чисел, кратних 2, усі цифри яких різні, можна записати, використовуючи лише цифри 5,6,7,8 і 9?

      А) 12;                        Б) 24;                   В) 36;                     Г) 48.

 

В90.1.12.Скількома способами у змаганнях, у яких бере участь 10 команд, можуть розподілитися три перші місця?

      А) 90;                        Б)180;                  В) 360;                    Г) 720.

 

В95.1.12.Розглядаються чотирицифрові числа, у запису яких двічі присутня цифра 5 і по одному разу кожна з цифр 6 і 7. Скільки існує таких чисел?

       А) 30;                        Б) 24;                    В) 18;                    Г) 12.

 

В98.1.12.Скільки шестицифрових чисел, які кратні числу 10 і всі цифри яких різні, можна записати, використовуючи цифри 0,1,2,3,4 і 5 ?

        А) 36;                        Б) 60;                   В) 24;                     Г) 120.

 

В100.1.12.У шкільній їдальні є 4 види соків та 4 види пиріжків. Скількома способами учень може взяти для підвечірку склянку соку та два різні пиріжки?

       А) 8;                            Б) 12;                  В) 16,                      Г) 24.