Презентація "Способи розв'язування тригонометричних рівнянь"

Способи розв'язування тригонометричних рівнянь. Підготувала вчитель математики. Бердянської гімназії №3 “Сузір’я” Щенкова Ю. Г.

1. Розвۥязування тригонометричних рівнянь,що зводяться до квадратних Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівнянь з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до алгебраїчного.

𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙+𝒔𝒊𝒏𝒙−𝟏=𝟎; sinx=t, tє[-1;1]2t2 + t – 1 = 0;b2 + b– 2 = 0;𝑏1+𝑏2=−1;𝑏1∙𝑏2=−2;b1 = - 2, b2 = 1;t1 = - 1, 𝑡2=12 ;𝑠𝑖𝑛𝑥=−1,𝑠𝑖𝑛𝑥=12; 𝑥=−𝜋2+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍,𝑥=(−1)𝑛𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛12+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍;  𝑥=−𝜋2+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍,𝑥=(−1)𝑛𝜋6+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍.  Відповідь: −𝜋2+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍; (−1)𝑛𝜋6+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. Приклад 1.

Приклад 2. ; cosx=t, tє[-1;1]𝑐𝑜𝑠𝑥=12,𝑐𝑜𝑠𝑥=72; 𝑥=±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠12+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍,коренів немає;𝑥=±𝜋3+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. Відповідь: ±𝜋3+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. 

tgx+3ctgx=4;tgx+3ctgx=4; tgx+ =4;Нехай tgx=t,тоді , t+ =4;𝑡2+3𝑡=4,𝑡≠0;𝑡2−4𝑡+3=0𝑡1=1,𝑡2=3. 𝑡𝑔𝑥=1,𝑡𝑔𝑥=3; 𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍,𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍;𝑥=𝜋4+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍,𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. Відповідь: 𝜋4+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍;𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔3+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. Приклад 3.

2 . Розвۥязування тригонометричних рівнянь способом розкладання на множники. Багато тригонометричних рівнянь,права частина яких дорівнює 0, розв'язуються розкладанням їхньої лівої і правої частини на множники, використовуючи необхідну і достатню умови рівності нулю добутку тригонометричних виразів:добуток двох або кількох співмножників дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли принаймні один із співмножників дорівнює нулю, а інші не втрачають смислу.

Приклад 4. ; sin x(sin x - 1)=0; sin x=0 або sin x – 1=0; х=πп, п є Ζ. sin x = 1; х= +2πn,nєΖ. Відповідь: πп,п є Ζ; +2πn,nєΖ.

Приклад 5. , Використаємо формулу різниці квадратів:tg x (tg x-1)(tg x+1)=0tg x=0, tg x=1, tg x=- 1x=πn,nЄΖ x= +π,nЄ Ζ x= + πn,nЄ ΖВідповідь: πn, пєΖ; + πn, nєΖ ; + πn,nЄ Ζ

Приклад 6. sin 2x =2 sin x cos x; - 2 sin x cos x=0;sin x (sin x – 2 cos x)=0;sin x=0, або sin x – 2 cos x=0,х=πп,п є Z. sin x= 2 cos x |: cos x, tgx=2, x= arctg2 + πn, nєZ. Відповідь: πп,пєZ ; arctg2 + πn, nєZ.

Приклад 7.2cosx · cos2x = cosx;2cosx · cos2x – cosx=0;cosx(2cos2x - 1) =0; cosx=0 або 2cos2x - 1 =0;x= +πn ,nєZ 2cos2x =1; cos2x= ;         2𝑥=±𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠12+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍; 2𝑥=±𝜋3+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍; 𝑥=±𝜋6+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. Відповідь: +πn,nєZ; ±𝜋6+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍.  

Приклад 8.sin x -1 = sin x cos x - cos x Розв'язанняsin x -1 - sin x cos x + cos x = 0 (sin x - sin x cos x) - (1- cos x) = 0 sin x(1- cos x) - (1- cos x) = 0 (1- cos x)(sin x – 1) = 01- cos x = 0 або sin x – 1 = 0cos x =1 sin x = 1x= 2πn, nєZ x= + 2πn,nєZ Відповідь: 2πn, nєZ ; + 2πn, nєZ

3. Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою тригонометричних формул 9)sin2x+sin4x+sin6x=0 (sin2x+sin6x)+sin 4x=0 ; sin x+sin y= 2sin cos 2sin 4x cos 2x +sin 4x=0;sin 4x(2 cos 2x +1)=0;sin 4x=0 або 2 cos 2x +1=0;4x=πn,nєZ; 2cos2x= -1 ;x= , nєZ . cos 2x = ;     2𝑥=±arccos−12+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍;  2𝑥=±2𝜋3+2𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍; 𝑥=±𝜋3+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍. Відповідь: , nєZ; ±𝜋3+𝜋𝑛,𝑛𝜖𝑍.  

Дякую за увагу!