Презентація за темою "Повна та неповна індукції"

Повна та неповна індукціїВиконала: вчитель математики Білюк К. А.

Мета Формувати в учнів поняття «неповної індукції», «повної індукції», навики застосування методу математичної індукції для розв’язування прикладів. Розвивати логічне мислення, культуру мате-матичного мовлення, вміння готувати пові-домлення , вміння вести конспект. Виховувати наполегливість, свідоме став-лення до навчання, пізнавальні інтереси учнів, розширювати кругозір .

Неповна індукція Якщо загальний висновок робиться на основі розгляду лише окремих можливих випадків, то такий метод міркувань називається неповною індукцією. Отже, сформульоване за допомогою індукції загальне твердження підлягає доведенню. У деяких випадках таке доведення можна провести, розглянувши скінченну кількість усіх можливих випадків.

Наприклад, щоб довести, що для будь-якого правильного багатогранника справедливе співвідношення В – Р + Г = 2, де В – кількість його вершин, Р – ребер, Г – граней, достатньо розглянути п’ять випадків: тетраедр, октаедр, гексаедр (куб), додекаедр, ікосаедр – інших правильних багатогранників не існує (рис.2).  1 – тетраедр, 2 – гексаедр (куб), 3 – октаедр, 4 – додекаедр, 5 - ікосаедр. Рис.2. Правильні багатогранники

{22838 BEF-8 BB2-4498-84 A7-C5851 F593 DF1}№ з/п. Багатогранник. Кількість вершин. Кількість ребер. Кількість граней1 Тетраедр4642 Октаедр61283 Гексаедр (куб)81264 Додекаедр2030125Ікосаедр123020 А для цих п’яти випадків твердження можна перевірити за допомогою наступної таблиці:

Повна індукція Метод доведення загального твердження, який полягає в розгляді скінченної кількості всіх можливих випадків, називається повною індукцією. З методом повної індукції ви вже зустрічалися раніше, розглядаючи, наприклад, доведення теореми про міру вписаного в коло кута. Доведення теореми зводиться до розгляду трьох випадків (рис.3). Рис.3. Три випадки розміщення вписаного кута в колі

Метод повної індукції має досить обмежену область застосування в математиці, бо, як правило, математичні твердження стосуються нескінченної множини об’єктів (наприклад, всіх натуральних чисел, всіх простих чисел, всіх багатогранників і т.д.) і перебрати всі ці об’єкти неможливо. Приклад 1. Довести, що для всіх дійсних і справедливе твердження: Розв’язання. Можливі чотири випадки: Розглянемо кожен з випадків. Повна індукція

Приклад 2. П’єр Ферма, припустив, що всі числа вигляду  22𝑛+1 – прості. При розгляді послідовності перших п’яти чисел виду 22𝑛+1, отримаємо, що числа 221+1=5,  222+1=17,  223+1=257 та  224+1=6553є простими. Проте петербурзький академік Леонард Ейлер довів, що вже при 𝑛=5 число 232+1 ділиться на 641, тобто не є простим. Слід зазначити, що скільки б багато чисел ми б не перевірили, завжди залишається можливість, що серед решти є таке число, для якого дана рівність не буде виконуватися.  

Приклад 3. Відомий німецький математик Готфрід Вільгельм Лейбніц довів, що при будь-якому цілому додатному 𝑛 число 𝑛3−𝑛 ділиться на 3, число 𝑛5−𝑛 ділиться на 5, число 𝑛7−𝑛 ділиться на 7. На основі цього він припустив, що при будь-якому непарному 𝑘 і при будь-якому натуральному 𝑛 число 𝑛𝑘−𝑛 ділиться на 𝑘, проте скоро зауважив, що 29−2=510 не ділиться на 9. 

Приклад 4. Підставляючи у вираз 991𝑛2+1 замість 𝑛 послідовні числа 1,2,3,…, скільки б днів чи навіть років ми не присвятили цим підрахункам, ми ніколи не отримаємо число, що є повним квадратом. Проте, якщо ми зробимо звідси висновок, що всі числа такого вигляду не є повними квадратами, то прийдемо до хибного висновку, оскільки серед чисел вигляду 991𝑛2+1 є також і повні квадрати. Але найменше значення 𝑛, при якому 991𝑛2+1 є повним квадратом, дуже велике. Ці приклади застерігають від висновків за аналогією.  

Висновок Індукція може привести як до правильних, так і неправильних висновків. Наявність неправильного висновку при індукції пов’язана з тим, що ми розглядаємо лише окремі випадки і хочемо зробити на основі цього загальний висновок. Метод неповної індукції можна використовувати лише для того, щоб висловити деяку гіпотезу, яку потім необхідно або довести або спростувати. Для індуктивного переходу від твердження перевіреного на скінченій підмножині до аналогічного твердження для всієї нескінченої множини необхідно доведення. Але як здійснити перевірку для нескінченого числа випадків? Такий спосіб запропонували Блез Паскаль та Якоб Бернуллі. Тепер він має назву – метод математичної індукції. А базується він на принципі математичної індукції.

Дякую за увагу!