Презентація : „Застосування визначеного інтеграла“. 11 клас.

Застосування визначеного інтеграла11 клас

Виконуємо завдання ЗНО (НМТ)

ЗНО 2019

НМТ 2023

ЗНО 2008 А)Б)В)Г)Д)

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: 𝑦=4−𝑥;     𝑦=4𝑥−𝑥2 𝒚=𝟒−𝒙 №1𝑺=𝟏𝟒𝟒𝒙−𝒙𝟐−(𝟒−𝒙)𝒅𝒙= =𝟏𝟒𝟒𝒙−𝒙𝟐−𝟒+𝒙𝒅𝒙= 𝟏𝟒𝟓𝒙−𝒙𝟐−𝟒𝒅𝒙= =𝟓𝒙𝟐 𝟐− 𝒙𝟑𝟑−𝟒𝒙  = 𝟏 𝟒 =𝟕−𝟐,𝟓= 𝟐𝟖−𝟔𝟒𝟑+𝟏𝟑−𝟓𝟐= 𝟒𝟎−𝟔𝟒𝟑−𝟏𝟔−𝟓𝟐−𝟏𝟑−𝟒= 𝟒,𝟓. Знайдемо межі інтегрування:  𝒚=𝟒−𝒙;𝒚=𝟒𝒙−𝒙𝟐. 𝟒−𝒙=𝟒𝒙−𝒙𝟐; 𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝒙+𝟒=𝟎; 𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟒=𝟎; 𝒙𝟏=𝟏,  𝒙𝟐=𝟒. 𝒚=𝟒𝒙−𝒙𝟐 =𝟐𝟖−𝟐𝟏−𝟐,𝟓 

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: 𝑦=4−𝑥;     𝑦=4𝑥−𝑥2;   𝑦=0. 𝒚=𝟒𝒙−𝒙𝟐 𝒚=𝟒−𝒙 𝑺=𝟎𝟏(𝟒𝒙−𝒙𝟐)𝒅𝒙+ 𝟐−𝟏𝟑−𝟎+𝟏𝟔−𝟖−𝟒−𝟏𝟐= =𝟐−𝟏𝟑+𝟖−𝟒+𝟏𝟐= 𝟔+𝟏𝟐−𝟏𝟑= 𝟔𝟏𝟔; 𝟏𝟒𝟒−𝒙𝒅𝒙= =𝟐𝒙𝟐−𝒙𝟑𝟑 𝟎 𝟏 +𝟒𝒙−𝒙𝟐𝟐 = 𝟏 𝟒 𝑺=𝟎𝟏(𝟒𝒙−𝒙𝟐)𝒅𝒙+𝟏𝟐∙𝟑∙𝟑= 𝟔𝟏𝟔. 𝒚=𝟎 Другий доданок можна обчислити без інтегралу, як площу прямокутного трикутника. Тоді  𝟔+𝟏𝟐−𝟏𝟑= 𝟐−𝟏𝟑+𝟒𝟏𝟐= №2𝐈𝐈 спосіб. Знайдемо межі інтегрування:  𝒚=𝟒−𝒙;𝒚=𝟒𝒙−𝒙𝟐. 𝟒−𝒙=𝟒𝒙−𝒙𝟐; 𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟒=𝟎; 𝒙𝟏=𝟏,  𝒙𝟐=𝟒. 

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: 𝑦=4−𝑥;     𝑦=4𝑥−𝑥2;   𝑥=0. 𝑦=4𝑥−𝑥2 𝑦=4−𝑥 𝑺=𝟎𝟏𝟒−𝒙−𝟒𝒙−𝒙𝟐𝒅𝒙= =𝟎𝟏𝟒−𝒙−𝟒𝒙+𝒙𝟐𝒅𝒙= 𝟎𝟏𝟒−𝟓𝒙+𝒙𝟐𝒅𝒙= =𝟒𝒙−𝟓𝒙𝟐𝟐+𝒙𝟑𝟑 = 𝟎 𝟏 𝟒−𝟓𝟐+𝟏𝟑−0= 𝟒−𝟓𝟐+𝟏𝟑= 𝟐𝟒−𝟏𝟓+𝟐𝟔= 𝟏𝟏𝟔= 𝟏𝟓𝟔. 𝒙=𝟎 №3 Знайдемо межі інтегрування:  𝒚=𝟒−𝒙;𝒚=𝟒𝒙−𝒙𝟐. 𝟒−𝒙=𝟒𝒙−𝒙𝟐; 𝒙𝟐−𝟒𝒙−𝒙+𝟒=𝟎; 𝒙𝟐−𝟓𝒙+𝟒=𝟎; 𝒙𝟏=𝟏,  𝒙𝟐=𝟒. 

Виконайте Завдання самостійно.№4𝑺=𝟏𝟐𝒙𝟐−𝟏𝒅𝒙= 𝟏 𝟐 = 𝒙𝟑𝟑−𝒙 Зробіть Перевірку:𝟐𝟑𝟑−𝟐−𝟏𝟑𝟑−𝟏= =𝟖𝟑−𝟐−𝟏𝟑+𝟏= 𝟏𝟏𝟑. 𝟒𝟑= 𝟕𝟑−𝟏= 

𝒙 𝒚 𝟐 𝟐 −𝟐 −𝟐 𝟎 𝟎𝟐𝟒−𝒙𝟐𝒅𝒙 Обчисліть інтеграл:𝒚=𝟒−𝒙𝟐; 𝒚𝟐=𝟒−𝒙𝟐; 𝒚𝟐+𝒙𝟐=𝟒; 𝒚𝟐+𝒙𝟐=𝟐𝟐 −це коло з центром в початку    координат і  радіусом 𝒓=𝟐.     Верхнє півколо задається рівнянням : 𝒚=𝟒−𝒙𝟐; 𝒚=𝟒−𝒙𝟐 Отже, інтеграл можна обчислити, якщо знайти площу чверті круга, обмеженого колом, яке задано рівнянням  𝒚𝟐+𝒙𝟐=𝟒; r = 2 . 𝑺=𝟎𝟐𝟒−𝒙𝟐𝒅𝒙= 14∙𝜋∙22=𝜋. 14𝑆кр= Нижнє півколо задається рівнянням: 𝒚=−𝟒−𝒙𝟐.  Відповідь: 𝝅 Використаємо геометричний зміст інтеграла.𝒚=−𝟒−𝒙𝟐 Звернемо увагу на межі інтегрування:  від 0 до 2. №5

− − − Виконайте завдання самостійно :

Перевіряємо відповіді :=4𝑥5 −𝝅𝟐𝝅𝟐𝒔𝒊𝒏𝒙𝒅𝒙 𝟎𝟏(𝒙−𝟏)𝟐𝒅𝒙 −𝟐𝟐𝒙𝒅𝒙 −𝟏𝟏𝒙𝟐𝒅𝒙 𝟎𝟐(𝒙𝟑−𝟏)𝒅𝒙 𝟏𝟐𝒅𝒙𝒙𝟐 02(𝑥−1)𝑑𝑥 𝑺=𝟎𝟏𝒙𝟐𝒅𝒙 𝑺=𝟎𝟏(𝒙𝟐−𝟏)𝒅𝒙 𝑺=𝟎𝟏(𝒙𝟐−𝒙)𝒅𝒙 𝑺=𝟎𝟏𝒙𝟐𝒅𝒙 𝑺=𝟎𝟏(𝒙−𝒙𝟐)𝒅𝒙 𝑺=𝟎𝟏𝒙𝒅𝒙 𝒎=𝒂𝒃𝒇(𝒙)𝒅𝒙 𝒏=𝒂𝒃𝒈(𝒙)𝒅𝒙 

Домашнє завдання 1. Знайти площу фігури, обмеженої кривими а)  y=2x, y=2, x=0. б)  𝒚=𝒙𝟐, 𝐲=𝒙. №𝟐 №𝟏 №𝟑 №𝟒 Опрацювати презентацію та §15(1)