Решение упражнений на нахождение первообразных.

11 класс. Математика

Тема урока: Решение упражнений на нахождение первообразных.

 

Цели урока:

1. Вспомнить правила нахождения первообразных;
2. Научиться распознавать ситуации применения соответствующего правила нахождения первообразных;
3. Из множества  первообразных научиться находить ту, график которой проходит через данную точку, и выявить трудности, которые возникли у учащихся при выполнении заданий;
4. Развивать грамотность устной и письменной математической речи, а также научного мировоззрения, воспитывать самостоятельность и взаимоуважение.

Дидактическое оснащение урока: учебник, таблицы производных, карточки для самостоятельной работы, рефераты, листок самооценки.

Тип  урока: комбинированный.

План урока:

1. Актуализация знаний о правилах вычисления первообразной через распознавание  правил по формуле заданной функции.
2. Самостоятельная работа по нахождению общего вида первообразных с предварительным обсуждением возможных затруднений учащихся.
3. Нахождение первообразной, график которой проходит через данную точку.
4. Постановка домашнего задания и подведение итогов урока.

 

Ход  урока:

Перед уроком каждый учащийся получил  «листок самооценки»

 Листок   самооценки

Класс           Ф.И.___________________

БАЛЛЫ     ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬ- НОСТИ	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
ПОДГОТОВКА К  УРОКУ
РАБОТА  В   ГРУППЕ
РЕШЕНИЕ УПРАЖНЕНИЙ
ПОДГОТОВКА ВЫСТУПЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

Итоговая оценка_____

 

 

 

1. Актуализация  знаний о правилах вычисления первообразной через распознавание этих правил по формуле заданной функции.

Учитель: На прошлом уроке мы рассматривали правила нахождения первообразных.

Обратите  внимание: на  доске записаны формулы некоторые  функции:

1) f(x) = ½ x – 2;     2) f(x) = 2cosx;                3) f(x) = 8 – 5x + 10х²;

4) f(x) = x + 3;            5) f(x) = (4 – 3х)⁹;      6) f(x) = -4sin3x;                            7) f(x) = 12 + 15x;     8) f(x) = 4x;                       9) f(x) = x – 2 + х²

Назовите  номера тех  примеров, первообразная  которых находится только по одному из правил:

а) по правилу суммы;

б) по правилу умножения на постоянный множитель;

в) по правилу сложной функции.

И почему? Поясните свой ответ. (Метод «Микрофон»).

Учащиеся: а) Только по первому правилу находятся первообразные функций № 4 и № 9, так как здесь  встречается  только сумма или разность табличных функций. (Учащиеся называют ответы).

б) Только по второму правилу находятся первообразные функций № 2 и № 8, так как табличные функции умножаются на некоторое число.           (Учащиеся называют ответы).

в) Только по третьему правилу находятся первообразные функций № 1 и      № 5, так как данные функции являются сложными, а внутренние функции – линейные. (Учащиеся называют ответы).

Учитель: А какие правила нужны для функции под номером три?

Учащиеся: Первообразная этой функции находится и по первому, и по второму правилу. (Учащиеся называют ответ).

Учитель: А какие правила нужны для функции под номером шесть?

Учащиеся: Первообразная этой функции находится и по второму, и по третьему правилу. (Учащиеся называют ответ).

Учитель: А какие правила нужны для функции под номером семь?

Учащиеся: Первообразная этой функции находится и по первому, и по второму правилу. (Учащиеся называют ответ).

Учитель: Итак, давайте ещё раз вспомним, в каких случаях решаем по первому правилу?

Учащиеся: Если встречаются сумма или разность функций.

Учитель: Попробуйте проговорить это правило словами.

Учащиеся: Первообразная суммы (разности) равна сумме (разности) первообразных.

Учитель: В каких случаях решаем по второму правилу?

Учащиеся: Когда функция умножается на некоторое число.

Учитель: Попробуйте проговорить это правило словами.

Учащиеся: Если функция умножается на некоторое число, то и её первообразная умножается на это число.

Учитель: В каких случаях решаем по третьему правилу?

Учащиеся: Когда дана сложная функция, а ее внутренняя функция является линейной.

Учитель: Попробуйте проговорить это правило словами.

Учащиеся: Первообразная сложной функции, внутренняя функция которой является линейной, равна первообразной внешней функции, делённой на коэффициент линейной функции (коэффициент перед аргументом х).

2.  Самостоятельная  работа по нахождению общего вида первообразных с предварительным обсуждением возможных затруднений учащихся.

Учитель: На доске записаны примеры.

1) f(x) = x² –cosx;  2) f(x) = -3;  3) f(x) = 10sinx;   4) f(x) = -2sin4x;

5) f(x) = 5x⁴ + x² – ;  6) f(x) = (3x – 1)²;   7) f(x) =.

Ваша задача самостоятельно найти общий вид первообразных данных функций и выявить для себя, где вы затрудняетесь, т.к. после этого будет самостоятельная работа.

Учащиеся:

1) F(x) = x³/3 – sinx + C;   2) F(x) = -3x + C;   3) F(x) = -10cosx + C; 

4) F(x) = ½ cos4x + C;   5) F(x) = x⁵ + x³/3 – 2;   6) F(x) = (3x – 1)³/9 + C;  

7) F(x) = /3 + C.

Обсуждаются  трудности, которые возникли у учащихся в ходе решения данного вида задания. Многие учащиеся не обратили внимание на формулировку задания: найти общий вид первообразных. Были ошибки и со знаками. В связи с этим повторялись способы самопроверки с помощью производной.

Творческие физкультминутки на координацию движений и психологическую разгрузку.

• Надо встать и одновременно отдать честь правой рукой, а левую вытянуть вдоль туловища. Затем, подняв большой палец ладони левой руки, сказать «Во!». Затем хлопнуть в ладоши и сделать то же, но другими руками.
• Сидя. Взяться правой рукой за левое ухо, а левой рукой взяться за кончик носа. Хлопнуть в ладоши и быстро поменять руки: левой рукой – правое ухо, правой - кончик носа.

 

Микропаузы при утомлении глаз:

• Крепко зажмурить глаза на 3-5 секунд, а затем открыть их на такое же время. Повторять 6-8 раз.
• Быстро моргать в течение 10-12 секунд  открыть глаза, отдыхать 10-12 секунд. Повторять 3 раза.
• Исходное положение: сидя, закрыть веки, массировать их с помощью легких круговых движений пальца. Повторять в течение 20-30 секунд.

 

Учитель: А теперь проведём небольшую самостоятельную работу на 10 минут по карточкам.

(Работа в группах).

Общее задание: Найдите общий вид первообразных для данных функций.

             Вариант-1: Вариант-2:

1. у = 2;     1) у = -3;
2. у = x – 2;    2) у = 2x – 4;
3. у = 3x³+4x³;    3) у =6x⁵ + 8x;
4. у = -5x + 3;    4) у = x + 9;
5. у =1/x² – 2x;   5) у = 1/x³ – 12x¹¹;
6. у = 8(11 – 3x)⁵;   6) у = 7(4 – 7x)⁶;
7. у = 3(1 – 4x);           7) у = 2(4x + 1);
8. у = cos(3x – 4);   8) у = sin(5x – 7);
9. у = 6/(5x – 7 )²;   9) у = 4/(9x + 3)⁴;

              10) у = 4/sin²(10 – 5x).  10) у = 3/cos²5x.

Проводится взаимопроверка работы по карточкам и выставление оценок.

Выступления о великом украинском математике М. В. Остроградском.

3. Нахождение первообразной, график, которой проходит через данную точку.

Учитель: Теперь наша задача разобраться, умеем ли мы решать более сложные задания. Откройте учебники и посмотрите № 466. Что требуется в этом задании?

Учащиеся:  Для функции  f   найти первообразную, график которой проходит через точку Р.

Учитель: Как  решаются  задания данного вида?

Учащиеся:

1. Находим общий вид первообразных;
2. Находим С, используя координаты заданной точки;
3. Записываем ответ: искомую первообразную.

Учитель: Чем отличаются сегодняшние задания от тех, которые мы выполняли раньше?

Учащиеся: В данных заданиях для нахождения первообразной надо применять правила.

Учитель: Поднимите руку, кто может выполнить эти задания самостоятельно. Проверьте потом себя, сверив свои решения с данными.

Итак, задание (а) №466 решаем у доски (один человек у доски), проговаривая каждый шаг.

Учащиеся: а) f(x) = 1+x², Р(-3; 9).

1) F(x) – ?

F(x) = x + + C.

2) C – ?

9 = -3 + + C, C = 21

3) Ответ: F(x) = = x + + 21.

Учитель: Далее выполняем №466(б) и №467(a) (двое учеников без комментариев выполняют задания у доски).

Учитель: Теперь давайте подведём итог. Какой вид задания выполняли?

Учащиеся: Задания, в которых требовалось найти первообразную, график которой проходит через заданную точку.

Учитель: Как выполняются задания данного вида?

Учащиеся:

1. Находим общий вид первообразных;
2. Находим С, используя координаты заданной точки;
3. Записываем ответ: искомую первообразную.

Учитель: Кто выполнял задания самостоятельно и не допустил ошибок? (учащиеся поднимают руки). У кого были ошибки при самостоятельной работе? В чем ошиблись? (учащиеся перечисляют). Что надо делать, чтобы избежать в будущем подобных ошибок? (учащиеся дают советы самим себе или друг другу). Кто не смог без помощи доски выполнить задание? В чем были трудности? Что делать, чтобы их преодолеть?

Учащиеся сдают «листок самооценки».

4. Постановка  домашнего  задания и подведение  итогов  урока.

Учитель: Посмотрите № 455, № 462. Есть ли вопросы по их выполнению? (пауза). Вы видите, что данные функции не такие простые. Как будете себя контролировать при нахождении первообразных? (Учащиеся: с помощью производных). Есть ли функции, которые надо перед нахождением первообразной каким-то образом преобразовать? (учащиеся выделяют случаи, когда требуется использовать определение степени с отрицательным целым показателем, некоторые называют и те случаи, когда используется определение степени с дробным показателем).

Учитель: Просмотрите задания сегодняшнего урока, с какими видами заданий работали?

Учащиеся: Когда требуется применение нескольких правил для нахождения  первообразных; когда требуется найти первообразную, график которой проходит через заданную точку.

Учитель: Продолжите фразу

• Сегодня на уроке я узнал…..
• Сегодня на уроке я научился…..
• Сегодня на уроке я познакомился…
• Сегодня на уроке я повторил……
• Сегодня на уроке я закрепил…….