Рівняння з параметрами

Яцина Олександр Григорович учитель математики Монастирищенського навчально-виховного комплексу «Ліцей-ЗОШ І-ІІІ ступенів «Ерудит» старший учитель, спеціаліст вищої категорії Розв'язування рівнянь з параметрами

Ми розглянемо: Як розв'язувати рівняння з параметрами? Лінійні Дробові Квадрантні Графічні методи розв'язування задач з параметрами

Параметр — це величина, числові значення якої дають можливість виділити певний елемент з множини елементів того ж роду У рівнянні у = axІ + bx + c a, b і c є параметрами

Розв'язати рівняння з параметром - це знайти для кожного допустимого значення параметра (а ϵ А) множину розв'язків рівняння

На прикладі рівняння axІ+2x+1=0 Знайдемо критичні значення параметра a=1 a=0   Розв'яжемо рівняння з параметром

На прикладі рівняння axІ+2x+1=0 Знайдемо критичні значення параметра Визначимо розв'язки рівняння для критичних значень параметра a=1, x=-1 a=0, 2x+1=0, x=-0,5 Розв'яжемо рівняння з параметром

Розв'яжемо рівняння з параметром На прикладі рівняння axІ+2x+1=0 Знайдемо критичні значення параметра Визначимо розв'язки рівняння для критичних значень параметра Знайдемо множини розв'язків на інтервалах між критичними значеннями параметра a<1, x1,2= , a=1, x=-1 a=0, 2x+1=0, x=-0,5 a≠0, D=4-4a≥0; a≤1

На прикладі рівняння axІ+2x+1=0 Побудуємо графічну ілюстрацію а 0 1 х ϵ Ш х = -1 х = -0,5 Розв'яжемо рівняння з параметром

На прикладі рівняння axІ+2x+1=0 Запишемо відповідь якщо a>1, то розв'язків немає, якщо а=1, то х=-1, якщо а=0, то х=-0,5, якщо а<1, а≠0, то x1,2= Розв'яжемо рівняння з параметром

Лінійні рівняння з параметрами     Умови розв'язання:

Лінійні рівняння з параметрами Розв'яжемо рівняння допустимими є будь-які значення параметра    

Лінійні рівняння з параметрами Розв'яжемо рівняння допустимими є будь-які значення параметра     тоді

Лінійні рівняння з параметрами Розв'яжемо рівняння критичними значеннями параметра є a=0 і a=1 Якщо а = 0, то 0∙х =-2, Якщо а = 1, то 0∙х =0, Якщо а ≠ 0 і а≠1, то а(а - 1)х = 2(а - 1), х =     х ϵ Ш х ϵ R тоді

Лінійні рівняння з параметрами Розв'яжемо рівняння     а х ϵ Ш х ϵ R 0 1

Лінійні рівняння з параметрами Розв'яжемо рівняння Відповідь:    

Дробові рівняння з параметрами  Розв’язати рівняння: Допустимими є будь-які значення параметра Розв’яжемо спочатку перше рівняння системи. Критичними значеннями параметра є а = . Якщо a = , то Якщо a ≠ , то

Дробові рівняння з параметрами Розв’язати рівняння: Знайдемо ті значення параметра a, для яких знайдений розв’язок рівняння задовольняє нерівності системи. Самостійно побудуйте графічну ілюстрацію. Якщо a = або , то коренів немає Якщо a ≠ і , то Відповідь:

Квадратні рівняння з параметрами     Умови розв'язання:

Квадратні рівняння з параметрами Дано деяке число k. За яких умов обидва корені тричлена ax2+bx+c=0 більші від k, тобто x2 ≥ x1 ≥ k? Коефіцієнти квадратного тричлена задовольняють умови: тоді: Розв'язання:

Квадратні рівняння з параметрами Дано деяке число k. За яких умов обидва корені тричлена ax2+bx+c=0 більші від k, тобто x2 ≥ x1 ≥ k? Розв'язання: 1) a>0 2) a<0

Графічні методи розв'язування рівнянь з параметрами Побудова графічної моделі в системі координат хОа Параметр а розглядається як рівноправна змінна з аргументом х. Будуємо графічну модель задачі Використовуючи прямі а=const, отримуємо потрібну інформацію (кількість коренів рівняння, властивості розв'язків тощо).

Графічні методи розв'язування рівнянь з параметрами Побудова графічної моделі в системі координат хОy Параметр а нерівноправний зі змінною х. Зводимо рівняння f(x,a)=g(x,a) до вигляду f₁(x,a)=g₁(x). У системі координат xOy будуємо графік y=g₁(x) і сукупність графіків y=f₁(x,a). Аналізуючи графічну модель, отримуємо потрібну інформацію.

Графічні методи розв'язування рівнянь з параметрами Для кожного фіксованого а₀ параметра а коренями рівняння є абсциси точок перетину графіка з горизонтальною прямою а=а₀. Знайдіть усі значення параметра а, для яких рівняння |x+1|+a-2=0 має хоч один додатній корінь Розв'язання: -3 а х -1 1 О 1

Графічні методи розв'язування рівнянь з параметрами Кожна з точок перетину буде мати додатну абсцису лише тоді, коли a<1. Відповідь: а ϵ (-∞;1) Знайдіть усі значення параметра а, для яких рівняння |x+1|+a-2=0 має хоч один додатній корінь Розв'язання: -3 а х -1 1 О 1

Самостійна робота Розв'яжіть рівняння: xІ=a -1 Відповіді: х ϵ Ш, якщо а<1 x=0, якщо а=1 х=± , якщо а>1 x=1, якщо а=-1 x=-1, якщо а=1 х=-1;1, якщо а≠1, а≠-1 , якщо а≠3 х ϵ Ш, якщо а=3 х ϵ Ш, якщо а<0 x=aІ, якщо а≥0

Самостійна робота Розв'яжіть рівняння: |x - a|0 х ϵ Ш, якщо а ϵ (-1;1) x=-1ⁿarcsin(1/a)+Пn, n ϵ z, якщо а ϵ (-∞;-1]U[1;+∞) а=2 a=-2, a=0.

Домашнє завдання Розв'яжіть нерівність 3ax+2≥x+5a |xІ-4|x||=a Скільки матимемо коренів при різних значеннях а? Розв'яжіть рівняння 2cos x-a=0

Дякую за урок!