Роз'яснення теми "Модуль в математиці"для учнів 6-10 класів.

 

 

Тема: «Модуль в математиці»

 

 

 Означення і основні властивості модуля

Абсолютним значенням числа (позначається ) називається відстань від точки. Яка зображує дане число на координатній прямій, до початку відліку. З означення випливає, що

Властивості:

1)    7)  

2)   8) і

3)    9)

4)   10)

5) 5) 11)

6)  12)

 

Завдання для 6 класу

 

Модуль числа

1.  а) Знайти число , якщо

  б) Розв’язати рівняння

  Відповідь: -3;5.

 За означенням модуля або або

 Перевірка

Прямокутна система координат

2. а) Де на координатній площині лежать точки, координати яких задовольняють умову:

 *) і **) і ***) і

 Розв’язання: (мал. 1).

 

 

Додавання і віднімання раціональних чисел

3. а) Виконати дії

 

 Розв’язання: 

 

 

 б) Розв’язати рівняння і зробити перевірку

 Розв’язання:    

    

Ділення і множення раціональних чисел

4.  а) Обчислити якщо

Розв’язання:   

 Два інших – аналогічно.

 б) При яких натуральних значеннях справджується нерівність

  при всіх

  при 

 

Завдання для 7 класу

Вирази зі змінами

1.  а) Записати вираз без знака модуля

 Розв’язання:  За означенням модуля маємо:

  або

 б) При яких значеннях правильна рівність?

  при

  при

  при

Лінійні рівняння з однією змінною

2.  а) Чи мають коріння рівняння?

  – так, – так, – ні, – так, – так, – так.

б) Чи рівносильні рівняння?

  і – так.

і – так.

і – ні.

 в) Яке з рівнянь рівносильне рівнянню : а) (Вірно), б) в)

Лінійна функція та її графік

3.  Побудувати графік функції:

 

  (Мал. 2).

 

1)

2) (мал. 3).

Завдання для 8 класу

Розв’язування квадратних рівнянь

1. Розв’язати рівняння

I спосіб:

Відповідь: –2; –3; 2; 3.

II спосіб:

Відповідь: –3; –2; 2; 3.

 

 

Розв’язування лінійних нерівностей з однією змінною

2.  Або за властивістю модуля: тоді

Розв’язування систем нерівностей з однією змінною

3.      (мал. 4).

 

Завдання для 9 класу

Функція та її властивості

1. Розглянути графік і властивості функції

Побудова графіка квадратичної функції

2. Побудувати графік функції

  (мал. 5).

 

Розв’язування лінійних рівнянь та нерівностей, що містять модуль

3.  а) Розв’язати рівняння б) Розв’язати нерівність

 Розв’язання: а) (мал. 6)

 

  Відповідь: –2; 8.

б) (мал. 7).

 

Відповідь:

 

Побудуємо графіки функцій

(мал. 8).

 

 

Розв’язування нерівностей другого ступеня з однією змінною

4. На основі властивості модуля а)

б) в) На основі означення модуля

 Розв’язування:

 а)   (мал. 9).

 

 

 

  б)

 

 

 в)

  

 Розв’язування рівнянь, що зводяться до квадратних

 1.  Розв’язати рівняння:

 Розв’язання:

  Відповідь: .

2. Розв’язати рівняння:

Розв’язання: заміна тоді

 

  Відповідь: –4; –2; –1; 1; 2; 4.

Завдання 10 клас

Співвідношення між тригонометричними функціями

1. Довести тотожність

 

   

    Доведено.

 

Тригонометричні рівняння і нерівності

1.  Розв’язати рівняння: а) б)

 Розв’язання:

а) Оскільки то рівняння рівносильне системі:

Відповідь:

б)
Відповідь:

 

Ірраціональні показникові тригонометричні рівняння і нерівності

1.  Розв’язати рівняння:

а) б)
в) г)

д)

Розв’язання:

 а)

Розглянемо три випадки:

1: коренів немає.

 2:

3: коренів немає.

Другий випадок: Відповідь: 1,25.

 

б)

в) Розглянемо два випадки:

1)

2) Оскільки для будь-якого то ці значення є коренями рівняння. Відповідь: 0; 4.

г) (мал. 10).

 

 

 

 

 

1)

2)

3)

4) Відповідь:

д)

2.  Розв’язати нерівності:

 а) б) в)

г)

Розв’язання:

а) в цьому випадку

Відповідь:

б)

в)

Відповідь:

г)

ОДЗ:

Якщо маємо систему.

Відповідь:

 

Завдання 11 клас

12.  Розв’язати рівняння:
а)
б)
в)

 

Розв’язання рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля

1. Розв’язання рівнянь виду

Оскільки якщо то 

Приклад 1. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Маємо або Корінь першого рівняння а другого Отже,

Приклад 2. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Дане рівняння розпадається на два: Розв’язання першого рівняння а другого Відповідь: і

Вправи

Розв’язати рівняння:
1.   4.
2.  5.
3.  6.

 

2. Розв’язання рівнянь виду

Вкажемо два прийоми розв’язання цих рівнянь.

1. Рівняння має корні, коли Отже, Тому достатньо розв’язати два рівняння і для знайдених значень перевірити справедливість нерівності

2. Оскільки якщо і якщо то рівняння рівносильне кожній із наступних систем: або У першій системі, розв’язав рівняння для знайдених коренів треба перевірити виконання умови Аналогічні міркування приводять і для другої системи.

Зауваження. Можна розв’язати рівняння і і корні кожного з них перевірити підстановкою в рівняння .

Приклад 3. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Тут скористаймося першим прийомом. Розв’яжемо рівняння і Перше з них має корні –2/3 і 0, а друге 0 і –3/2. Легко побачити, що умова виконується лише при і при Отже,  –2/3 і 0 – корні первинного рівняння.