Тема. Теорема Вієта
Мета: закріпити знання учнів щодо змісту теореми Вієта для зведеного квадратного рівняння та використати їх для формулювання і доведення теореми Вієта для квадратного рівняння загального виду; вдосконалити вміння відтворювати вивчені твердження, використовувати їх для розв'язування завдань, передбачених програмою з математики.
Тип уроку: застосування та вдосконалення вмінь.
Наочність та обладнання: опорний конспект «Теорема Вієта».
Хід уроку
I. Організаційний етап
II. Перевірка домашнього завдання
Математичний диктант
Закінчіть речення:
III. Формулювання мети і завдань уроку
Після проведеної роботи з перевірки засвоєння матеріалу попереднього уроку (перевірка якості виконання математичного диктанту), що передбачає неодноразове відтворення теореми Вієта для квадратного рівняння загального вигляду, формулюємо проблему: чи існує відповідним чином записаний зв'язок між коренями і коефіцієнтами квадратного рівняння загального вигляду, а також чи можливе застосування виявлених закономірностей у ситуаціях, подібних до тих, що були розглянуті на попередньому уроці.
IV. Актуалізація опорних знань .та вмінь
З метою успішного сприйняття учнями навчального матеріалу уроку слід активізувати такі знання і вміння учнів: означення квадратного рівняння; види квадратних рівнянь; розв'язування квадратних рівнянь різних видів вивченими способами; формулювання теореми Вієта та оберненої до неї теореми для зведеного квадратного рівняння; виконання арифметичних дій з дійсними числами.
Виконання усних вправ
а) х2 – 9х + 14 = 0; х1 = 2; х2 = 7;
б) х2 + 2х – 3 = 0; х1 = -1; х2 = 3;
в) х2 + 3,5х – 2 = 0; х1 = 0,5; х2 = - 4;
г) 3х2 – 7х + 2 = 0; х1 = ; х2 = 2.
а) 2х2 – 7 = 1; б) х(х + 2,5) = 0; в) х2 – 3х = 0; г) х2 + 10х + 25 = 0;
д) 2х2 + 4 = 0; є) х2 – 6 = 0; ж) х2 – х – 2 = 0; з) х2 – х + 5 = 0.
V. Застосування знань
План вивчення нового матеріалу
Теорема Вієта для квадратного рівняння загального вигляду та обернена до неї теорема доводяться досить легко через теорему Вієта для зведеного квадратного рівняння.
Тому за умови високої інтелектуальної активності учнів можна запропонувати їм вивчення цієї частини нового матеріалу самостійно (або за підручником, або сформулювати твердження разом з учнями, а потім запропонувати їм виконати доведення самостійно).
Щодо прикладів застосування вивчених теорем (зазвичай у цьому розділі розглядаються тільки завдання на знаходження невідомого кореня та одного з коефіцієнтів за відомим другим коренем та двома відомими коефіцієнтами квадратного рівняння загального вигляду), то тут автор пропонує ознайомити учнів із деякими прийомами розв'язування квадратних рівнянь, що ґрунтуються на застосуванні теореми, оберненої до теореми Вієта (наприклад, для рівнянь виду
ах2 + bx + c = 0, де а + с = b, х1 = -1, х2 = ).
VI. Відпрацювання вмінь
Виконання усних вправ
а) 2х2 – 5х – 2 = 0; б) 3х2 – 2х – 1 = 0; в) 5х2 + 4х – 1 = 0; г) 7х2 – 8х + 1 = 0.
а) а + с = b; б) а + с = -b.
х2 – 2х + 1 = 0; 3х2 – 2х – 1 = 0; 5х2 + 4х – 1 = 0; 122х2 + 33x – 89 = 0.
а) 3х2 – 2х – 1 = 0; б) 3х2 + 2х – 1 = 0;
в) 199х2 – 100х – 99 = 0; г) 199х2 + 100х – 99 = 0.
Виконання письмових вправ
Для реалізації дидактичної мети на цьому уроці слід розв'язати завдання такого змісту:
1) Знайдіть корені рівняння за теоремою, оберненою до теореми Вієта:
а) х2 – 3x + 2 = 0; б) х2 – 5x + 6 = 0; в) х2 + 7x + 12 = 0;
г) х2 + 3x + 2 = 0; д) x2 – 5х + 4 = 0; є) х2 – 8x – 9 = 0;
ж) х2 + 4х + 3 = 0; з) х2 – 2х – 3 = 0; и) х2 + 2х – 15 = 0.
2) Знайдіть підбором корені рівняння:
а) х2 – 9х + 20 = 0; б) х2 + 11x – 12 = 0; в) х2 + х – 56 = 0; г) х2 – 19x + 88 = 0.
3) Розв'яжіть рівняння:
а) 4х2 + 7x + 3 = 0; б) х2 + х – 56 = 0; в) х2 – х – 56 = 0;
г) 5х2 – 18x + 16 = 0; д) 8х2 + х – 75 = 0; є) 3х2 – 11х – 14 = 0;
ж) 3х2 + 11х – 34 = 0; з) х2 – х – 1 = 0.
1) Числа х1 і х2 – корені зведеного квадратного рівняння. Запишіть це рівняння, якщо:
а) х1 + х2 = 4, х1 · х2 = 3; б) х1 + х2 = -7, х1 · х2 = 10.
2) Запишіть зведене квадратне рівняння, яке має корені:
а) 1 і 3; б) -4 і 1,5; в) -4 і -5; г) і
.
3) При якому значенні а один із коренів рівняння ах2 – 3х – 5 = 0 дорівнює 1?
1) Число – 9 є коренем рівняння х2 + 10x + q = 0. Знайдіть інший корінь рівняння і коефіцієнт q.
2) Якими можуть бути цілі корені рівняння х2 + px + q = 0, якщо:
a) q = 7; б) q = -5; в) q = 9; г) q = -8?
3) Один із коренів рівняння х2 – 13х + q = 0 дорівнює 12,5. Знайдіть другий корінь і коефіцієнт q.
1) Рівняння х2 + рх + 8 =0 має додатні корені, один із яких у 4 рази більше від іншого. Знайдіть корені рівняння та коефіцієнт р.
2) Доведіть, що рівняння 12х2 + 70х + a2 + 1 = 0 при будь-яких значеннях а не має додатних коренів.
3) Знайдіть пропущений вираз:
х2 – 5х + 6 = 0 |
|
х2 – 13х + 36 = 0 |
х2 – 4х – 5 = 0 |
|
х2 – 26х + 25 = 0 |
х2 – 5х + 4 = 0 |
|
? |
Вправи, винесені на урок, мають на меті сприяти закріпленню змісту теореми Вієта та оберненої до неї теореми, відпрацювання навичок використання вивченої теорії в стандартних ситуаціях.
VII. Підсумки уроку
В якому випадку правильно записані співвідношення для коренів?
а) х2 + 3х + 2 = 0, х1 + х2 = 3, х1 · х2 = 2;
б) 3х2 – 2х – 1 = 0, х1 + х2 = , х1 · х2 =
, х1 = 1;
в) 3х2 + 2х – 5 = 0, х1 + х2 = , х1 · х2 =
, х1 = - 1.
VIII. Домашнє завдання