Розробка уроку на тему "Теорема Вієта"

Тема. Теорема Вієта

Мета: закріпити знання учнів щодо змісту теореми Вієта для зведе­ного квадратного рівняння та для квадратного рівняння загального виду; вдосконалити вміння відтворювати вивчені твердження, вико­ристовувати їх для розв'язування завдань, передбачених програмою з математики.

Тип уроку: застосування знань та вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект «Теорема Вієта».

Хід уроку

I. Організаційний етан

II. Перевірка домашнього завдання

На цьому етапі уроку проводимо гру «Вірю — не вірю».

III. Формулювання мети і завдань уроку

Формулюємо проблему: як знайти значення виразу

.

де х₁ і х₂ – корені даного квадратного рівняння (не розв'язуючи рівняння)? Пошук відповіді на це запитання і вивчення сфери застосу­вання теореми Вієта та теореми, оберненої до неї (вдосконалення вмінь), — основна мета уроку.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь
Виконання усних вправ

1. Замініть рівняння рівносильним йому зведеним квадратним рівняння:

а) 3х² – 6х – 9 = 0; б) 2у² + у – 7 = 0; в) х² – 3х + 1,5 = 0

та знайдіть суму і добуток його коренів.

2. Наведіть приклад квадратного рівняння, в якого:

а) один корінь дорівнює нулю, а другий — не дорівнює нулю;

б) обидва корені дорівнюють нулю;

в) немає дійсних коренів;

г) корені — протилежні ірраціональні числа.

3. Один із коренів квадратного рівняння х² + 4х – 21 = 0 дорівнює -7.
   Знайдіть другий корінь. (Розв'язати задачу різними способами).

V. Відпрацювання вмінь
Виконання письмових вправ

Зміст письмових завдань, пропонованих до розв'язування на уроці, може бути таким:

1. Знайти невідомий корінь та невідомий коефіцієнт квадратного
   (зведеного та загального виду) рівняння, якщо відомий другий
   корінь та два інші коефіцієнти.

1) Знайдіть коефіцієнти р і q зведеного квадратного рівняння
х² + рх + q = 0, якщо його коренями є числа 5 і - 2; 2 і -6.

2) Різниця коренів рівняння 3х² + bх + 10 = 0 дорівнює 4. Знайдіть b.

3) Один із коренів рівняння 5х² – 12х + с = 0 у 3 рази більше від дру­гого. Знайдіть с.

2. Не розв'язуючи рівняння, знайти значення виразу, що містить його
   корені х₁ і х₂.

1) Знайдіть значення виразу (х₁ + х₂)² – 3x₁x₂, якщо х₁ і х₂ — ко­рені рівняння:

а) х² – 7х + 9 = 0; б) 3х² – 7х + 2 = 0.

2) Знайдіть |x₁ – х₂|, якщо х₁ і х₂ — корені рівняння:
а) х² – 5х – 14 = 0; б) 2х² – х – 1 = 0.

3) Числа х₁ і х₂ — корені рівняння 10х² + 3х – 4 = 0. Не розв'язуючи рівняння, знайдіть суму квадратів його коренів.

4) Виразіть через р і q суму квадратів коренів рівняння х² + рх + q = 0.

3. Скласти квадратне рівняння, корені якого більші (менші) від ко­ренів даного рівняння в певну кількість разів.
4. Логічні вправи та завдання підвищеного рівня складності для учнів, які мають достатній та високий рівні знань.

1) Доведіть, що рівняння 5х² – 3х – а² – 2 = 0 при будь-якому зна­ченні а має корені різних знаків.

2) Один із коренів рівняння 4х² + bх + с = 0 дорівнює 0,5, а другий — вільному члену. Знайдіть b і с.

3) Відомо, що коефіцієнти b і с рівняння х² + bx + c = 0, де с ≠ 0, є його коренями. Знайдіть b і с.

5. На повторення: розв'язати квадратні рівняння, визначивши попе­редньо їх вид.

 Вправи, винесені на урок, мають на меті сприяти закріпленню змісту теореми Вієта та оберненої до неї теореми, відпрацюван­ня навичок використання вивченої теорії в стандартних та не­стандартних ситуаціях, повторенню матеріалу та поновленню вмінь розв'язувати квадратні рівняння різних видів відпо­відними способами.

VI. Підсумки уроку

Самостійна робота 12

VII. Домашнє завдання

1. Повторити зміст і схеми доведення теореми Вієта та оберненої теореми.
2. Розв'язати вправи на застосування вивчених теорем та способів дій.
3. На повторення: означення, класифікація та способи розв'язання квадратних рівнянь різного виду.