Розробка уроку та наукові матеріали виступів учнів на тему: " Застосування визначеного інтегралу."
У цій розробці Ви зможете ознайомитися з гарно підібраними для виступу вчителя матеріалів та дуже цікаві та науково-глибокі матеріали груп учнів з підібраними домашніми завданнями.
Тема: «Застосування визначеного інтеграла до знаходження площі криволінійної трапеції.»
Мета: поглибити і розширити знання учнів про визначений інтеграл, продовжити формування навичок знаходити визначений інтеграл. Сприяти розвитку творчих здібностей учнів, формувати їх пізнавальний досвід, вміння виступати перед аудиторією. Розвивати логічне мислення, інтелектуальні здібності учнів.
Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок.
Обладнання : мультимедійний проектор.
Хід уроку
І. Організаційний момент
Уявіть, що у ваших долоньках - дрібка гарного настрою. Поділіться ним, щоб
зробити день приємнішим для всіх, хто зараз поряд з вами.Почнімо наш урок. Девіз нашого уроку(хором) : «Вигадуй, пробуй, твори! Розум, фантазію прояви!»
Розпочинаємо урок, який проводимо між представниками різних творчих груп «науковцями» , «фізиками», «практиками» та «істориками».
ІІ. Мотивація навчальної діяльності, повідомлення теми й мети уроку
ІІІ. Актуалізація й систематизація опорних знань , умінь та навичок
- Перевірка й повторення базових знань
|
Функція |
хⁿ |
k |
sinx |
cosx |
|
|
|
Загальний вигляд первісної |
|
|
|
|
|
|
- Продовжи речення:
- що таке первісна?
- чому дорівнює значення визначеного інтеграла на відрізку [a;b]?
- Розв’язужи завдання. Знайти визначений інтеграл.
|
|
IV. Поглиблення і розширення знань та їх застосування
А зараз давайте з ясуємо як саме ми можемо застосувати визначений інтеграл у геометрії при знаходженні площ фігур; у фізиці в задачах на рух, на роботу на знаходження маси тіла.
Слово надаю творчій групі «Науковців».
(Творча група підготувала презентацію, роздатковий матеріал, та домашнє завдання згідно з розглянутих задач)
Слова надається групі «Фізики».
(Творча група підготувала презентацію, роздатковий матеріал, та домашнє завдання згідно з розглянутих задач)
Слово надається групі «Практики».
(Творча група підготувала презентацію та домашнє завдання згідно з розглянутих задач)
Слово надається групі «Історики».
(Творча група підготувала презентацію та домашнє завдання згідно з розглянутих задач)
Самостійна робота(роздається кожній групі)
Хто швидше?
Обчислити інтеграли:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5)
; 6) 
;
Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями:
а) у = x2 - 2х + 3, x + у = 5;
б) у =
, у = 2 - x2, x = -1, у = 0;
в) у = -х2 + 6х – 2; y = х2 - 2х + 4.
V. Підсумок уроку.
VI. Домашнє завдання.
Виконати домашні завдання кожної групи.
1. Знайти площу фігури, обмеженою лініями
a) f( x ) = 2 х – х 2 і віссю абсцисс
Розв’язання: Графік функції f(x) = 2x - х2 парабола. Вершина: (1; 1).
Відповідь:
б) 
Розв’язання: Графік функції 
– пряма.
2.
|
x |
0 |
4 |
|
y |
0 |
2 |
Функція 
є оберненою функції y = х 2 на проміжку [0; +∞).
|
x |
0 |
1 |
4 |
|
y |
0 |
1 |
2 |
Межі інтегрування вказані в таблицях значень функцій.
Відповідь:
( кв . од .).
Знаходження площі криволінійної трапеції за допомогою інтегралів. Робота учнів 11-ФМ класу СЗШ №242 Ларіонова Єгора та Шліхти Владислава. Презентаціюпідготувала творча група“ НАУКОВЦІ ”
Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком невід'ємної і неперервної на відрізку [a;b] функції, віссю Ох і прямими x=а та x=b. Криволінійна трапеція та її площа
YXаby=f(x)BCSПлоща криволінійної трапеції
1)YXaby=f(x)SМожливі випадки:
2)YXy=f(x)ac. S1 S2b
3)YXaby=f(x)c. S1 S2y=g(x)
4)y=g(x)YXy=f(x)ab. S
аby= f(x)y= -f(x)yx05)
6)-ааyx
7)-ааyx0
Установити відповідність між визначеним інтегралом і криволінійною трапецією:
Відповідь на перше запитання:
Відповідь на друге запитання:
Відповідь на третє запитання:
Відповідь на четверте запитання:
Робота учнів 11-ФМ класу СЗШ №242 Ларіонова Єгора та Шліхти Владислава. Презентаціюпідготувала творча група“ НАУКОВЦІ ”Дякуємо за увагу!
Задача Знайти площу пелюстки ромашки, яка розміщена між дугами парабол та 0 1 1
Задана фігура обмежена графіками двох функцій та Шукана площа обчислюється за допомогою інтеграла: Відповідь: Кв. од.
Задача Будівельникам потрібно обладнати бруківкою зону відпочинку біля житлового будинку. За планом архітектора зона проходить побіля зеленої алеї та утворює криву у=3х – х 2. Який кошторис цієї зони відпочинку, якщо вважати , що лінія алеє збігається з віссю ОХ (див. рис.), а бруківка коштує 250 грн. за кв.м.? Одиниці вимірювання – 100 м. Зона відпочинку алея Розв’язання: Якщо алея збігається із віссю ОХ, а крива є параболою то спочатку потрібно знайти точки перетину параболи з віссю ОХ: 3х – х 2 = 0, х = 0, х = 3 – це межі інтегрування. S = S=4,5 100 = 450 м2, тоді кошторис складає 450 250 = 112500 грн Відповідь: 112500 грн.
Укажіть формулу для обчислення площі фігури, обмеженої графіками функцій у = х2 та у = -х2 + 4x.
Спершу знайдемо точки перетину графіків функцій. Для цього прирівняємо їх рівняння: х2=-х2 + 4x 2х2-4x=0 2x(x-2)=0 x=0; x=2
Графік функцій та затушована площа між кривими наведені нижче Потрібно знати, що верхня крива при "ікс" в квадраті має від'ємний знак. Тоді площа між кривими рівна інтегралу
Отримана формула площі відповідає варіанту Г тестових відповідей.
Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій у=х2 -2х+2 та у=2+4х-х2
Прирівнюємо функції і знаходимо точки перетину кривих 2x(x-3)=0 x=0; x=3
Обчислюємо площу фігури інтегруванням у визначених межах: Площа між кривими рівна 9.
Використання інтегралів у Фізиці Виконали Учні 11-ФМ класу СЗШ №242 м. Києва Каптур Максим і Макаркіна Юлія 2018р
На нашу думку, слова “Математика – цариця наук”, сказані не для того, щоб математики могли задирати носа, а тому що більшість наук не можуть уявити свого існування без застосування данного предмета. До наук, які б не були такими, як ми їх знаємо без математики, ми можемо віднести - Фізику. Але яким чином така тема, як інтеграли може допомогти науці про спостереження та досліди? Про це і буде наша презинтація. Геніальні відкриття – це 99% праці та 1 % таланту. Томас Едісон
Обчислення шляху по відомим законам зміни швидкості - шлях, пройдений тілом за одиницю часу t - неперервна функція - швидкість
Обчислення маси неоднорідного стержня m – маса p - Густота L - довжина
Обчислення кількості заряду q – заряд I – Сила струму
УРОК 30
Тема уроку. Інтеграл у фізиці та техніці.
Мета уроку. Познайомити учнів із застосуванням інтеграла у фізиці, техніці.
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Перевірте правильність виконання домашніх вправ.
№ 12 (розділ ІХ). 1) Рис. 120.
.
Відповідь: 10 
π.
2) Рис. 121.
.
Відповідь: 
.
3) Рис. 122.
Відповідь: 18
π.
2. Фронтальна бесіда за запитаннями № 16—17 із «Запитання і завдання для повторення» із розділу IX.
II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про застосування інтеграла у фізиці.
Інтеграл широко використовується у фізиці. Розглянемо таблицю 11.
Коментарі до таблиці
1. Припустимо, що точка рухається по прямій (по осі ОХ) і нам відома швидкість цієї точки. Як знайти переміщення точки за проміжок часу [t1; t2]?
Розглянемо відрізок часу [t; t + Δt] і будемо вважати швидкість на цьому відрізку постійною. Тоді одержимо Δs(t) = v(t)·Δt, звідси
2. Нехай тіло рухається по осі ОХ, в кожній точці якої прикладена деяка сила F = F(x). Обчислимо роботу, яку треба виконати при переміщенні із точки х1 в точку x2. На маленькому відрізку шляху від точки x до точки x + Δx можна вважати силу постійною, яка дорівнює F(x). Тоді ΔА(x) = F(x)Δx. Звідси одержуємо, що всю роботу на відрізку [x1; x2] можна записати у вигляді інтеграла:
3. Розглянемо задачу обчислення маси неоднорідного стержня, якщо нам відомо, як змінюється його лінійна густина р(х). Візьмемо відрізок [x; x+Δx]. Вважаючи, що на цьому відрізку густина постійна, матимемо Δm(x) = р(x)Δx; звідси
4. Поставимо задачу обчислити заряд q, що переноситься за проміжок часу [t1; t2] через переріз провідника. Нехай задано закон зміни струму І = I(t) в залежності від часу. Тоді на малому проміжку часу [t; t + Δt] можна вважати силу струму постійною, яка дорівнює I(t), a Δq(x) = I(t) · Δt і, отже
Виконання вправ № 13 (1; 3), № 15, 18, 19, 5, 7 із Вправ до розділу IX.
III. Підведення підсумків уроку.
IV. Домашнє завдання.
Розділ IX § 4 (6); Запитання і завдання для повторення розділу IX № 13.
Вправи № 13 (2; 4), 17, 6.
1
Роганін Алгебра 11 клас, урок 30
Задачі На тему: Застосування інтегралів у Фізиці
Умова: Тіло, рухається прямолінійно, зі швидкістю, яка змінюється по закону V= 2t +1 (м/с). Знайдыть шлях, який пройде тіло за відрізок часу від t1=1c до t2 = 3 c.? Виконаємо замі-ну t на x. Відповідь: 10 м. Задача №1 Розв’язання: Дано: t1=1 c. t2= 3 c. V= 2t +1 м/с Знайти : S-?
Умова: Тіло, рухається прямолінійно, зі швидкістю, яка змінюється по закону V= 2t +1 (м/с). Знайдыть шлях, який пройде тіло за відрізок часу від t1=1c до t2 = 3 c.? Відповідь: 210 Кл Виконаєм заміну ну t на x. Задача №2 Розв’язання: Дано: I(t)=(4t+1)(A) t= 10 c. Знайти: q-?
Дякую за увагу !!!
Формула Ньютона-Лейбніца
Неабиякий внесок у застосування інтегралу вклали Готфрід Вільгельм Лейбніц та Ісаак Ньютон. Лейбніц. Ньютон
У 1708 році спалахнув сумно відомий спір Лейбніца з Ньютоном про науковий пріоритет відкриття диференціального числення. Відомо, що Лейбніц і Ньютон працювали над диференціальним численням.
Відомо також, що Ньютон створив свою версію математичного аналізу, «методу флюксій», хоч і опублікував свої результати лише багато років потому. Лейбніц першим опублікував обчислення нескінченно малих частин і розробив символіку, яка виявилася настільки зручною, що її використовують і на сьогоднішній день .
Отже, формула Ньютона-Лейбніца – дає співвідношення між операціями обчислення визначеного інтеграла для обчислення первісної. Формула Ньютона-Лейбніца – основна формула інтегрального числення.
Інтеграл у давнину. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів був метод вичерпування Евдокса ( приблизно 370 до н.е.), який намагався знайти площі та об'єми і для цього розривав їх на величезнукількість частин, для яких площа і об'єм вже відомі. Цей метод розвинув Архімед і використав його для розрахунку площ парабол і наближених обчислень площ частин круга.
Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур. Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу Архімед повернувся з риболовлі і вирішив визначити найбільш точно площу поверхні риби.
Архімед розбив поверхню риби на прямокутники і знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.
Дякуємо за увагу!
1.Нещодавно археологи при розкопуванні стародавніх поселень знайшли жертовне місце, яке їх дуже зацікавило. Після досліджень було з’ясовано, що це тіло, утворене обертанням параболи у = – х2 + 2х + 3 навколо вісі Ох (х вчені вимірювали в метрах). Причому виготовлений він був з каменю густиною 2500 кг/м3. Яка масу каменя використали на виготовлення цього жертовника стародавні майстри?
2.Хто запропонував термін ,,Інтеграл,, і в якому році ？
про публікацію авторської розробки
Додати розробку