Урок на тему: "Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми та добутку. Перестановки, розміщення, комбінації."

Про матеріал

Мета заняття: ознайомити студентів з тим, що вивчає комбінаторика, і комбінаторними правилами суми та добутку, ознайомити студентів з формулами для обчислення числа перестановок, розміщень і комбінацій; учити використовувати ці формули під час розв'язування задач; дати схему розв'язування комбінаторних задач; розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу; виховувати математичну грамотність, наполегливість, акуратність.

Тип заняття: засвоєння нових знань.

Перегляд файлу

Розділ 5. Елементи теорії ймовірності та математичної статистики.

Т.5.1. Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми та добутку. Перестановки, розміщення, комбінації.

Мета заняття: ознайомити студентів з тим, що вивчає комбінаторика, і комбінаторними правилами суми та добутку, ознайомити студентів з формулами для обчислення числа перестановок, розміщень і комбінацій; учити використовувати ці формули під час розв’язування задач; дати схему розв’язування комбінаторних задач; розвивати логічне мислення, пам’ять, увагу; виховувати математичну грамотність, наполегливість, акуратність.

Тип заняття: засвоєння нових знань.

Обладнання:  роздатковий матеріал

Хід заняття І. Організаційний етап.

ІІ. Формулювання теми, мети й завдань уроку, мотивація навчальної діяльності.

У житті часто доводиться що-небудь обирати з великої кількості всіляких варіантів. Наприклад, 

ü    скількома способами можна розташовувати в турнірній таблиці 10 футбольних команд, якщо жодні дві з них не набрали порівну очок?

ü    скількома способами можна скласти розклад на день із 4 навчальних предметів для однієї групи, якщо в групі вивчається 9 предметів?

ü    Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5, якщо цифри в числі не повторюються?

Для таких задач існують загальні методи розв’язування, що вивчає комбінаторика як розділ математики.

ІІІ. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу.

Шкільна лекція:

1. Елементи комбінаторики. Комбінаторні правила суми й добутку.

(Згадати поняття множини, елементів множини)

Скінченна упорядкована множина – така множина, для якої визначений порядок розміщення її елементів.

Комбінаторика – розділ математики присвячений розв’язанню задач про вибір і розміщення елементів скінченої множини, відповідно до заданих правил.

Ці правила визначають спосіб побудови деякої конструкції – комбінаторної сполуки.

В основі класичної комбінаторики лежать комбінаторні правила суми та добутку.

Наприклад (правило суми) – на тарілці лежать 5 яблук і 9 груш. Один плід можна обрати 5+9=14 (способами).

 

Наприклад (правило добутку) – із 6 видів конвертів без марок і 5 марок один конверт і одну марку можна вибрати 6(способами).

Вправа 1.У групі 15 хлопців і 12 дівчат. Скількома способами можна вибрати : 1) хлопця;

2)      дівчину;

3)      одного студента цієї групи; 4) двох студентів – хлопця й дівчину.

Розв’язання

1)                  Хлопця можна вибрати 15 способами;

2)                  дівчину можна вибрати 12 способами;

3)                  за правилом суми або дівчину або хлопця можна вибрати 15+12 =27 способами;

4)                  за правилом добутку вибрати двох студентів  - хлопця й дівчину – можна 15·12=180 способами. Відповідь: 1)15; 2)12; 3) 27;4) 180 способами.

 

Вправа 2. Скількома способами можна пошити триколірний прапор, якщо є тканини 5 різних кольорів?

Розв’язання

Перший колір можна вибрати п’ятьма способами, другий – чотирма, третій – трьома. За правилом добутку триколірний прапор можна зшити 5·4·3=60 способами. Відповідь: 60.

2. Перестановки, розміщення ,комбінації.

Означення. Факторіалом називають добуток n послідовних натуральних чисел (n – факторіал). 0!=1, 1!=1.

Наприклад, 5!=1·2·3·4·5=120,  2!=1·2=2, 4!=1·2·3·4=24.

 - формула числа перестановок без повторень

Означення. Перестановкою з n елементів називають будь-яку впорядковану множину з n елементів.

 

 

В даній формулі кожен елемент, що входить у комбінацію поданий у єдиному екземплярі.

Повернемося до задачі, яку ми розглядали на початку заняття. 

ü Скільки п’ятицифрових чисел можна скласти із цифр 1,2,3,4,5, якщо цифри в числі не повторюються?

Отже, кількість таких чисел дорівнює  

Означення. Розміщенням з n елементів по k називають будь-яку впорядковану множину з  елементів n- елементної множини.

 

Розглянемо задачу. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1,2,3,4,5 за умови, що цифри не повторюються. 

Отже, маємо розміщення з 5 по 3 елементи:  

Означення. Комбінацією без повторень з n елементів по k називають будь-яку k- елементну підмножину  n – елементної множини.

Розглянемо задачу. Скількома способами  можна вибрати дві різні цифри із цифр 1,2,3,4,5?

У цій задачі не має значення порядок розміщення двох цифр, які вибираємо із даних п’яти цифр, тобто способів вибору цифр буде .

Під час розв’язування комбінаторних задач зручно користуватися схемою:

 ІV. Осмислення нового матеріалу. 

Колективне розв’язування вправ.

 

 

 

 

Вправа 1Скількома способами можна скласти список із 6 учнів?

Оскільки порядок розміщення елементів враховується і всі елементи входять до сполуки, то

.

Відповідь: 720 способами.

Вправа 2.   Скількома способами можна розмістити 8 осіб за столом, біля якого стоїть 8 стільців?

Розв’язання

Оскільки порядок розміщення елементів враховується і всі елементи входять до сполуки, то  (способами) 

Відповідь: способами.

Вправа 3.   Скільки існує трицифрових чисел, у яких всі цифри непарні й різні.

Розв’язання

Усього непарних цифр 5. Оскільки порядок враховується й до сполуки входять не всі цифри, а тільки три, то таких чисел буде. .

Відповідь: 60.

Вправа 4.   Скільки існує трицифрових чисел, у яких всі цифри парні й різні.

Розв’язання

Усього парних цифр 5. Тоді можна скласти трицифрових чисел усього  , але серед них будуть і ті ,що мають нуль на першому місці. Таких «неправильних чисел» буде . Отже, чисел, що нас

цікавлять, буде  

Відповідь: 48.

Вправа 5.   Із 3 яблук і 7 бананів треба приготувати десерт із 5 фруктів, у який входило б хоча б  одне яблуко. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання

1)  Скількома способами можна приготувати десерт із 1 яблука і 4 бананів? Яке правило слід застосувати? (Правило добутку)

 

2)  Скількома способами можна приготувати десерт із 2 яблук і 3 бананів?

.

3)  Скількома способами можна приготувати десерт із 3 яблук і 2 бананів?

 

4)  Скількома способами можна приготувати даний десерт? Яке правило при цьому слід застосувати?

105+105+21=231 (сп.) Відповідь: 231 спосіб.

V. Підбиття підсумків заняття

VІ. Домашнє завдання.

Опрацювати конспект, вивчити означення та формули.

Виконати вправи:

1.            У підрозділі 60 солдат і 5 офіцерів. Скількома способами можна виділити наряд, який складається із трьох солдат і одного офіцера?

2.            4. Із 10 троянд і 8 жоржин треба скласти букет так, щоб в ньому були 2 троянди і 3 жоржини. Скількома способами можна скласти букет?

3.            5. Із семи бігунів і трьох стрибунів треба скласти команду із 5 чоловік, в яку б входив хоч би один стрибун. Скількома способами це можна зробити?

4.            До складу експедиції входять 5 юнаків і 3 дівчини. Для участі у розкопках прийшло три запрошення. Скількома способами можна розподілити ці запрошення, щоб туди потрапила хоча б 1 дівчина?

 

 

 

 

             

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 3
Оцінки та відгуки
  1. Іванів Ольга
    Дякую за структурований, змістовний матеріал. Успіхів Вам!
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
  2. Ігнатів Руслана
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
  3. Новомлинська Дар'я Сергіївна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
pdf
Додано
14 січня 2019
Переглядів
12214
Оцінка розробки
5.0 (3 відгука)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку