Розробка уроку з алгебри і початків аналізу на тему «Застосування інтегралу до розв’язування задач»

Про матеріал

У багатьох сферах людської діяльності з давнини виникала необхідність обчислювати метричні характеристики різних геометричних фігур. Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення пов'язана з розв'язуванням практичних задач для обчислення площ фігур, а також поверхонь і об'ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.).

Тема уроку «Застосування інтегралу до розв'язування задач» комплексно-комбінована за характером, спрямована на узагальнення знань, набутих учнями під час вивчення програмової теми «Інтеграл та його застосування», та на формування стійких умінь і навичок розв'язувати задачі практичного змісту.

Урок націлений на поглиблення й розширення знань учнів про визначений інтеграл; міжпредметні зв'язки; майбутню професію; вибір ЗНО з математики; вміння виступати перед аудиторією; чітко формулювати і відстоювати свою думку; вміння раціонально використовувати робочий час.


Перегляд файлу

 

План-конспект уроку

Тема: Застосування  інтегралу до розв’язування задач

Мета:  - удосконалювати навички обчислювати інтеграл, розглянути приклади застосування інтеграла до розв’язування задач в різних галузях та сприяти формуванню в учнів стійких умінь і навичок розв’язувати їх;

  •    сприяти розширенню світогляду та знань учнів щодо сфери застосування інтегралу, розвитку логічного мислення;
  •      формувати активну життєву позицію, виховувати колективістську спрямованість особистості, почуття власної відповідальності, етичних компетентностей спілкування, бачення цілісності світу.

Тип уроку:  урок формування стійких умінь та навичок

Методична мета уроку:  Формування в учнів навчальних і освітніх умінь як умова соціалізації учня

Методи проведення:

  •                 словесний бесіда з елементами дискусії, інтерв’ю
  •                 наочний – супроводжуюча презентація до ходу уроку, опорний конспект з теми «Інтеграл та його застосування», картки-завдання, відеозвязок  з учасниками навчально-виховного процесу
  •                 практичний – розв’язування задач, виконання вправ на картках-завданнях, перегляд презентації,  опрацювання додаткової літератури, довідкових джерел, Internet-ресурсів, встановлення відео контактів та спілкування з учасниками навчально-виховного процесу

Форми роботи:   колективна, індивідуальна, в малих групах, в парах

Обладнання:   наявність підключення до мережі Інтернет, комп’ютер, ноутбуки, планшети, смартфони з програмними додатками FaceTime, Skype, Viber, телевізійна панель, опорний конспект теми «Інтеграл та його застосування», картки-завдання, набір смайлів (емодзі) різного настрою

Міжпредметні зв’язки:  фізика, хімія, біологія, економіка, електротехніка, геометрія.


ТЕХНОЛОГІЧНА КАРТКА УРОКУ

з/п

Етап уроку

Час

(хв)

Дидактичне завдання етапу

Методи

та прийоми

Зміст

1

Організаційний

1

Підготовка учнів до роботи на  уроці

Усна бесіда

Привітання учнів, психологічне налаштування на активну творчу практичну діяльність,  створення позитивного настрою  

2

Перевірка Д/З

2

Пошук контактів і співпраця учнів з іншими учасниками навчально-виховного процесу

Експрес-повідомлення

Інформація учнів про встановлені контакти з питань  практичного застосування  інтегралу

3

Повідомлення теми та задач уроку

1

Повідомлення теми та мети уроку

Слово викладача

Зв'язок з результатами  експрес-повідомлення; запис теми учнями в зошити

4

Актуалізація знань, умінь, навичок

8

Виявлення вже набутих знань, встановлення типових помилок та їх усунення

Рубрика «Я вже знаю» 1.Фронтальне опитування - вправа  «Продовжіть речення»;

2. Самостійна робота на два варіанти – вставити пропущені символи

Повторити відомі знання, уміння і  навички щодо первісної та інтегралу;

учні обмінюються зошитами - взаємоперевірка в парах за запропонованими відповідями

5

Мотивація навчальної діяльності

1

Спрямувати та активізувати навчально-пізнавальну діяльність учнів до досягнення мети та практичну значимість теми

Бесіда  за проблемним питанням про потребу вивчення  інтегралу.

Усвідомлення потреби вивчати, знати й застосовувати знання до практичного розв’язування задач

6

Сприймання і усвідомлення сфери та значущість застосування інтеграла

8

Представити учням сферу практичного застосування інтегралу

Повідомлення учасників навчально-виховного процесу у режимі відеозвязків

Формування комунікативних компетентностей, систематизація знань щодо застосування інтегралу до практичних задач; уміння сприймати текст на слух і виконувати поставлені завдання

7

Виконання практичних завдань на закріплення

 основних умінь і навичок

15

Формувати вміння та навички обчислення інтегралу при розв’язуванні практичних задач

Колективна робота - задача

Робота в малих групах - задачі

Індивідуальна робота - самоперевірка

Розв’язування задач на  відпрацювання практичних навичок, вмінь визначатися із законом, що описує процес; виховання працездатності, самостійності, національно-патріотичної свідомості, логічного мислення, зосередженості

8

 

Підсумок уроку.

Рефлексія

4

Узагальнити та усвідомити

 засвоєні знання, оцінити рівень засвоєння, 

порівняти отримані результати з очікуваними; аналіз, чому так сталося; висновки

  • Запитання + Слово викладача
  • Обґрунтування оцінювання
  • Вираження учнями результативності роботи мовою емодзі

Бесіда

Оцінювання навчальних досягнень учнів відповідно до критеріїв

Самостійне усвідомлення та вираження учнями результативності вивченої теми мовою емодзі

9

Домашнє завдання

5

Повідомити зміст д/з,  інструктаж щодо його виконання

Пояснення викладача, задача від учасника навчально-виховного процесу;

 

Заключне слово викладача

Диференційовані завдання: із тестів ЗНО – початковий, середній рівні, із збірника ДПА – середній, достатній, задача від учасника навчально-виховного процесу – достатній, високий;

Емоційне закінчення уроку


 

Хід уроку

  1.                Організаційний момент уроку

Привітання учнів, психологічне налаштування на активну та творчу практичну діяльність,  створення позитивного настрою.  

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Експрес-повідомлення учнів щодо встановлення відеозвязку з учасниками навчально-виховного процесу з питань застосування інтегралу.

Викладач: Як добре, що ви так відповідально та активно попрацювали над завданням. Сподіваюся, що урок буде цікавим, насиченим.  

ІІІ. Повідомлення теми та задач уроку

Викладач: Світ, що нас оточує – це світ інтегрального та диференціального числення. Тож давайте пізнавати його! Доречним буде організувати нашу співпрацю на уроці під девізом «Не досить оволодіти премудрістю, потрібно також уміти користуватися нею» (давньоримський оратор Цицерон). Саме сьогодні ми і розглянемо тему «Застосування інтегралу до розв’язування задач», яка сприятиме розширенню вашого світогляду та знань щодо сфери застосування інтегралу, формуванню стійких вмінь і навичок застосування інтегралу, визнанню значущості даного поняття в різних галузях науково-практичної діяльності людини, тобто доведенню нерозривного зв'язку теорії з практикою.

  1.         Актуалізація знань, умінь, навичок

Викладач: Перед тим, як дізнаватись щось нове, треба повторити відомі знання, тому я об’являю рубрику «Я вже знаю».

  1.               Фронтальне опитування  Продовжіть речення
  1.               Криволінійною трапецією називається …
  2.               Первісні для однієї і тієї ж функції відрізняються тільки …
  3.               Визначений інтеграл відрізняється від невизначеного тільки …
  4.               Функція, записана під знаком інтегралу, закінчується знаком …
  5.               Функція називається первісною функції на деякому проміжку, якщо …
  6.               Поняття визначеного інтегралу нерозривно пов’язано з поняттям …
  7.               Обчислити значення визначеного інтегралу можна за формулою …

 

  1. Самостійна робота із взаємоперевіркою в парах за запропонованими відповідями. Вставте пропущені символи, щоб рівність була правильною

І варіант

ІІ варіант

 

  1. = ........... + ...
  2. = + ...
  3. = – + ...
  4. = + С
  5. = – sin х + С
  6. = 4х + С
  7. = + ...
  8. = = ...

 

  1. = ........... + ...
  2. = + ...
  3. = – + ...
  4. = + С
  5. = соs х + С
  6. = 8х + С
  7. = + ...
  8. = = ...
  1.  Мотивація навчальної діяльності

Викладач: Часто, вивчаючи якесь питання, учні запитують: ,,А навіщо ми це вивчаємо? Яке практичне застосування цього матеріалу?“  Дехто з вас вже дізнався із контактів з учасниками навчально-виховного процесу про зв'язок тих чи інших процесів, що описуються та обчислюються за допомогою інтегралу.

  1.         Сприймання і усвідомлення матеріалу про застосування інтеграла

Викладач: Поняття інтеграла – важливе  як у шкільному курсі математики, так і в курсі вищої математики, що розгалужується на низку цікавих, хоч і складних, математичних дисциплін. Назву вам лише кілька з них:

  •          математичний аналіз,
  •          функціональний аналіз,
  •          теорія функції комплексної змінної,
  •          диференціальні рівняння,
  •          теорія ймовірностей,
  •          теорія оптимізації математичних процесів.

Окрім математичних, є науки, що широко використовують математичний апарат і нині дуже популярні, оскільки необхідні для ведення різноманітних справ, для гармонійного розвитку галузей виробництва, тощо. У цих науках також використовується поняття інтеграла. Серед них такі як:

  •      економіка виробництва,
  •      фінансова справа,
  •      електроніка,
  •      програмування,
  •      фізика,
  •      хімія,
  •      радіофізика, тощо.

Це свідчить, що, дійсно ,,Будь-яка наука тільки тоді досягає досконалості, коли вона користується математикою”.

  •                   Давайте з'ясуємо, як саме ми можемо застосувати визначений інтеграл. Хто домовився про встановлення контактів, пробуйте виходити на відеозвязок.

А ми поки що згадаємо, де саме визначений інтеграл застосовується в геометрії?

  •              Обчислення площі криволінійної трапеції
  •              Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо вісі Ох:                                   V =  .
  • Описание: http://d.teknogaste.com/news/2181.jpg             Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо вісі Оу:                                      V =  .
  • Описание: https://nexusconsultancy.co.uk/wp-content/uploads/2013/06/WiFi-1024x850.jpg              

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Описание: https://nexusconsultancy.co.uk/wp-content/uploads/2013/06/WiFi-1024x850.jpg 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Викладач: Існують ще багато інших фізичних, біологічних, хімічних, соціологічних, технічних процесів, які не можливо розв’язати без інтегралів.  

 

  1.     Виконання практичних завдань на повторення і закріплення основних умінь і навичок
    1. Колективне розв’язування задачі з  обговоренням

Задача. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою , де t – робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі – 62.

Розв’язання:

Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому Протягом кварталу становитиме:

               Відповідь: 10 185 (од.)

2. Робота в малих групах

Кожна група отримує задачу, потім один із членів групи представляє з поясненням рішення на дошці для всіх, учні записують в зошити.

 

І група

ІІ група

ІІІ група

IV група

Знайдіть кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом I = 4t+1

Вода, що подається з площини основи у циліндричний бак через отвір у дні,заповнює весь бак. Визначити затрачену при цьому роботу. Висота бака h = 3м, радіус основи r = 1м.

Знайти середнє значення витрат K(x) = 3x2+4x+2, виражених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюється від 0 до 3 од. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають середнє значення.

Залежність швидкості від часу руху тіла, що виконує гармонійні коливання, має вигляд:

υ(t) = 24cos600t. Знайти зміщення цього тіла від положення рівноваги в момент часу t = 0,01c.

 

 

  1.               Виконання тесту „Перевір себе” Номера правильних відповідей закресліть у бланку відповідей. Із закреслених букв складіть найголовніше для всіх на сьогодні бажання.

 

 

  1. Знайдіть в яких записах є помилка

1.           2.           3.           4.

  1. За якою з наведених формул обчислюється робота змінної сили, заданої формулою F(x)= 3x2–4x+8, вздовж відрізка довжиною 2 м?

5. А=       6. А=       7. А=(3х2-4х+8)΄      8. А=

  1. За якою з формул обчислюється обсяг виготовленої за 4 години продукції, якщо продуктивність праці задається формулою f(x)= 4x3?

9.                         10.                           11. (4х3                      12.

4. В яких випадках невірно обчислено навантаження електростанції за 3 години, якщо її витрати визначаються функцією f(x) = ?

 13.            14.            15.            16.

5. В якому з наведених випадків вірно визначений середній час, витрачений на засвоєння одного виробу від 10 до 20 виробів, якщо функція t= 3х описує зміни витрат часу t на виготовлення виробів в залежності від степеня засвоєння виробництва.

17.     18.     19.     20.

Бланк відповідей

1 - о

2 -м

3 - а

4 - б

5 - в

6 - р

7 - ш

8 - л

9 - я

10 - е

11 - і

12 - с

13 - у

14 - и

15 - х

16 - є

17 - н

18 - ч

19 - з

20 - к

Описание: http://bodrumsanyapi.com/images/poliger/gokyuzu/103.jpg

Викладач: Якщо ви правильно все виконали, то отримали

 

 

  1. Підсумок уроку. Рефлексія
    1.     Викладач: Скажіть, будь ласка, що саме ми з вами робили сьогодні на уроці? (розв’язували задачі з геометрії, фізики, економіки, перекладали мовою математики проблеми, які стоять перед іншими науками). Тобто, ще раз переконалися в тому, що математичні теорії є надійним знаряддям в розкритті таємниць природи, законів економічних процесів.
    2.     Оцінювання навчальних досягнень учнів з обґрунтуванням відповідно до критеріїв
    3.     Викладач:  мовою емодзі виразіть, будь ласка, результативність вашої роботи. Чи досягли ви на уроці очікуваних результатів?

Описание: https://sc.mogicons.com/share/happy-emoticon-with-crossed-eyes-366.jpg

 

Настрій чудовий.  Я задоволений результатами роботи на уроці. Мені все вдалося!

Описание: https://3.bp.blogspot.com/-SBLwri1XPlE/VsCWD3uT1VI/AAAAAAAAAN0/B3uXVxoxSM8/s1600/EFTa1rPHTNg.jpg

 

Відчуваю почуття незадоволення, тому що не все зрозумів.

Описание: http://nalanibaskatti.com/wp-content/uploads/2013/12/smiley1.jpg

 

Я пригнічений! Нічого не запам'ятав і не зрозумів!

 

 

На уроці було нудно.  Ледве-ледве дочекався кінця уроку.

 

  1. 3d-model-domikaДомашнє завдання (диференційоване)

 

Описание: http://schkola1.ucoz.ua/_si/0/24169643.jpg     1І.  Знайдіть первісну функції , графік якої проходить через точку з координатами (1;4).

А

Б

В

Г

Д

Описание: http://schkola1.ucoz.ua/_si/0/24169643.jpg

    2І.  Знайдіть значення інтеграла  , якщо відомо, щоі

А

Б

В

Г

Д

3

1

0

-1

-3

Описание: http://www.kharkivosvita.net.ua/files/u15185/79047688.jpg1ІІ.Знайдіть первісну функції   f(x) =  , графік якої проходить через точку С (2; 0).

2ІІ. Обчисліть інтеграл  ;   

     3*.

Описание: https://nexusconsultancy.co.uk/wp-content/uploads/2013/06/WiFi-1024x850.jpg 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Викладач: Жив мудрець, який знав усе. Один чоловік захотів довести, що мудрець знає не все. Затиснувши в долонях метелика, він запитав: "Скажи, мудрець, який метелик у мене в руках: мертвий чи живий?" А сам думає: "Скаже живий – умертвлю, скаже мертвий – випущу". Мудрець, подумавши, відповів: "Усе в твоїх руках"… Усе людське життя — це не що інше, як постійне визначення мети та бажання до­сягти успіху під час розв’язування нових задач та проблем. Учіть свій розум та душу бачити добро, і тоді дорога до успіху буде для вас відкрита.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~ 1 ~

 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Чопик Ольга Леонтіївна
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додано
17 липня 2018
Переглядів
869
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку