У багатьох сферах людської діяльності з давнини виникала необхідність обчислювати метричні характеристики різних геометричних фігур. Історія розвитку понять інтеграла й інтегрального обчислення пов'язана з розв'язуванням практичних задач для обчислення площ фігур, а також поверхонь і об'ємів довільних тіл. Передісторія інтегрального обчислення сягає глибокої давнини: ідеї інтегрального обчислення можна знайти в роботах давньогрецьких учених Евдокса Кнідського (бл.408-355 до н.е.) і Архімеда (бл.287-212 до н.е.).
Тема уроку «Застосування інтегралу до розв'язування задач» комплексно-комбінована за характером, спрямована на узагальнення знань, набутих учнями під час вивчення програмової теми «Інтеграл та його застосування», та на формування стійких умінь і навичок розв'язувати задачі практичного змісту.
Урок націлений на поглиблення й розширення знань учнів про визначений інтеграл; міжпредметні зв'язки; майбутню професію; вибір ЗНО з математики; вміння виступати перед аудиторією; чітко формулювати і відстоювати свою думку; вміння раціонально використовувати робочий час.
План-конспект уроку
Тема: Застосування інтегралу до розв’язування задач
Мета: - удосконалювати навички обчислювати інтеграл, розглянути приклади застосування інтеграла до розв’язування задач в різних галузях та сприяти формуванню в учнів стійких умінь і навичок розв’язувати їх;
Тип уроку: урок формування стійких умінь та навичок
Методична мета уроку: Формування в учнів навчальних і освітніх умінь як умова соціалізації учня
Методи проведення:
Форми роботи: колективна, індивідуальна, в малих групах, в парах
Обладнання: наявність підключення до мережі Інтернет, комп’ютер, ноутбуки, планшети, смартфони з програмними додатками FaceTime, Skype, Viber, телевізійна панель, опорний конспект теми «Інтеграл та його застосування», картки-завдання, набір смайлів (емодзі) різного настрою
Міжпредметні зв’язки: фізика, хімія, біологія, економіка, електротехніка, геометрія.
ТЕХНОЛОГІЧНА КАРТКА УРОКУ |
|||||
№ з/п |
Етап уроку |
Час (хв) |
Дидактичне завдання етапу |
Методи та прийоми |
Зміст |
1 |
Організаційний |
1 |
Підготовка учнів до роботи на уроці |
Усна бесіда |
Привітання учнів, психологічне налаштування на активну творчу практичну діяльність, створення позитивного настрою |
2 |
Перевірка Д/З |
2 |
Пошук контактів і співпраця учнів з іншими учасниками навчально-виховного процесу |
Експрес-повідомлення |
Інформація учнів про встановлені контакти з питань практичного застосування інтегралу |
3 |
Повідомлення теми та задач уроку |
1 |
Повідомлення теми та мети уроку |
Слово викладача |
Зв'язок з результатами експрес-повідомлення; запис теми учнями в зошити |
4 |
Актуалізація знань, умінь, навичок |
8 |
Виявлення вже набутих знань, встановлення типових помилок та їх усунення |
Рубрика «Я вже знаю» 1.Фронтальне опитування - вправа «Продовжіть речення»; 2. Самостійна робота на два варіанти – вставити пропущені символи |
Повторити відомі знання, уміння і навички щодо первісної та інтегралу; учні обмінюються зошитами - взаємоперевірка в парах за запропонованими відповідями |
5 |
Мотивація навчальної діяльності |
1 |
Спрямувати та активізувати навчально-пізнавальну діяльність учнів до досягнення мети та практичну значимість теми |
Бесіда за проблемним питанням про потребу вивчення інтегралу. |
Усвідомлення потреби вивчати, знати й застосовувати знання до практичного розв’язування задач |
6 |
Сприймання і усвідомлення сфери та значущість застосування інтеграла |
8 |
Представити учням сферу практичного застосування інтегралу |
Повідомлення учасників навчально-виховного процесу у режимі відеозв’язків |
Формування комунікативних компетентностей, систематизація знань щодо застосування інтегралу до практичних задач; уміння сприймати текст на слух і виконувати поставлені завдання |
7 |
Виконання практичних завдань на закріплення основних умінь і навичок |
15 |
Формувати вміння та навички обчислення інтегралу при розв’язуванні практичних задач |
Колективна робота - задача Робота в малих групах - задачі Індивідуальна робота - самоперевірка |
Розв’язування задач на відпрацювання практичних навичок, вмінь визначатися із законом, що описує процес; виховання працездатності, самостійності, національно-патріотичної свідомості, логічного мислення, зосередженості |
8
|
Підсумок уроку. Рефлексія |
4 |
Узагальнити та усвідомити засвоєні знання, оцінити рівень засвоєння, порівняти отримані результати з очікуваними; аналіз, чому так сталося; висновки |
|
Бесіда Оцінювання навчальних досягнень учнів відповідно до критеріїв Самостійне усвідомлення та вираження учнями результативності вивченої теми мовою емодзі |
9 |
Домашнє завдання |
5 |
Повідомити зміст д/з, інструктаж щодо його виконання |
Пояснення викладача, задача від учасника навчально-виховного процесу;
Заключне слово викладача |
Диференційовані завдання: із тестів ЗНО – початковий, середній рівні, із збірника ДПА – середній, достатній, задача від учасника навчально-виховного процесу – достатній, високий; Емоційне закінчення уроку |
Хід уроку
Привітання учнів, психологічне налаштування на активну та творчу практичну діяльність, створення позитивного настрою.
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Експрес-повідомлення учнів щодо встановлення відеозв’язку з учасниками навчально-виховного процесу з питань застосування інтегралу.
Викладач: Як добре, що ви так відповідально та активно попрацювали над завданням. Сподіваюся, що урок буде цікавим, насиченим.
ІІІ. Повідомлення теми та задач уроку
Викладач: Світ, що нас оточує – це світ інтегрального та диференціального числення. Тож давайте пізнавати його! Доречним буде організувати нашу співпрацю на уроці під девізом «Не досить оволодіти премудрістю, потрібно також уміти користуватися нею» (давньоримський оратор Цицерон). Саме сьогодні ми і розглянемо тему «Застосування інтегралу до розв’язування задач», яка сприятиме розширенню вашого світогляду та знань щодо сфери застосування інтегралу, формуванню стійких вмінь і навичок застосування інтегралу, визнанню значущості даного поняття в різних галузях науково-практичної діяльності людини, тобто доведенню нерозривного зв'язку теорії з практикою.
Викладач: Перед тим, як дізнаватись щось нове, треба повторити відомі знання, тому я об’являю рубрику «Я вже знаю».
І варіант |
ІІ варіант |
|
|
Викладач: Часто, вивчаючи якесь питання, учні запитують: ,,А навіщо ми це вивчаємо? Яке практичне застосування цього матеріалу?“ Дехто з вас вже дізнався із контактів з учасниками навчально-виховного процесу про зв'язок тих чи інших процесів, що описуються та обчислюються за допомогою інтегралу.
Викладач: Поняття інтеграла – важливе як у шкільному курсі математики, так і в курсі вищої математики, що розгалужується на низку цікавих, хоч і складних, математичних дисциплін. Назву вам лише кілька з них:
Окрім математичних, є науки, що широко використовують математичний апарат і нині дуже популярні, оскільки необхідні для ведення різноманітних справ, для гармонійного розвитку галузей виробництва, тощо. У цих науках також використовується поняття інтеграла. Серед них такі як:
Це свідчить, що, дійсно ,,Будь-яка наука тільки тоді досягає досконалості, коли вона користується математикою”.
А ми поки що згадаємо, де саме визначений інтеграл застосовується в геометрії?
Викладач: Існують ще багато інших фізичних, біологічних, хімічних, соціологічних, технічних процесів, які не можливо розв’язати без інтегралів.
Задача. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається формулою , де t – робочий час у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі – 62.
Розв’язання:
Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому Протягом кварталу становитиме:
Відповідь: 10 185 (од.)
2. Робота в малих групах
Кожна група отримує задачу, потім один із членів групи представляє з поясненням рішення на дошці для всіх, учні записують в зошити.
І група |
ІІ група |
ІІІ група |
IV група |
Знайдіть кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом I = 4t+1 |
Вода, що подається з площини основи у циліндричний бак через отвір у дні,заповнює весь бак. Визначити затрачену при цьому роботу. Висота бака h = 3м, радіус основи r = 1м. |
Знайти середнє значення витрат K(x) = 3x2+4x+2, виражених в грошових одиницях, якщо обсяг продукції х змінюється від 0 до 3 од. Вказати обсяг продукції, за якого витрати приймають середнє значення. |
Залежність швидкості від часу руху тіла, що виконує гармонійні коливання, має вигляд: υ(t) = 24cos600t. Знайти зміщення цього тіла від положення рівноваги в момент часу t = 0,01c. |
|
||||
1. |
||||
|
||||
5. А= |
||||
|
||||
9. |
||||
4. В яких випадках невірно обчислено навантаження електростанції за 3 години, якщо її витрати визначаються функцією f(x) = |
||||
13. |
||||
5. В якому з наведених випадків вірно визначений середній час, витрачений на засвоєння одного виробу від 10 до 20 виробів, якщо функція t= 3х описує зміни витрат часу t на виготовлення виробів в залежності від степеня засвоєння виробництва. |
||||
17. |
||||
Бланк відповідей |
||||
1 - о |
2 -м |
3 - а |
4 - б |
5 - в |
6 - р |
7 - ш |
8 - л |
9 - я |
10 - е |
11 - і |
12 - с |
13 - у |
14 - и |
15 - х |
16 - є |
17 - н |
18 - ч |
19 - з |
20 - к |
Викладач: Якщо ви правильно все виконали, то отримали
|
Настрій чудовий. Я задоволений результатами роботи на уроці. Мені все вдалося! |
|
Відчуваю почуття незадоволення, тому що не все зрозумів. |
|
Я пригнічений! Нічого не запам'ятав і не зрозумів!
|
|
На уроці було нудно. Ледве-ледве дочекався кінця уроку. |
1І. Знайдіть первісну функції
, графік якої проходить через точку з координатами (1;4).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
2І. Знайдіть значення інтеграла , якщо відомо, що
і
А |
Б |
В |
Г |
Д |
3 |
1 |
0 |
-1 |
-3 |
1ІІ.Знайдіть первісну функції f(x) =
, графік якої проходить через точку С (2; 0).
2ІІ. Обчисліть інтеграл ;
3*.
Викладач: Жив мудрець, який знав усе. Один чоловік захотів довести, що мудрець знає не все. Затиснувши в долонях метелика, він запитав: "Скажи, мудрець, який метелик у мене в руках: мертвий чи живий?" А сам думає: "Скаже живий – умертвлю, скаже мертвий – випущу". Мудрець, подумавши, відповів: "Усе в твоїх руках"… Усе людське життя — це не що інше, як постійне визначення мети та бажання досягти успіху під час розв’язування нових задач та проблем. Учіть свій розум та душу бачити добро, і тоді дорога до успіху буде для вас відкрита.
~ 1 ~