Розв'язки завдань з планіметрії

Про матеріал
Розглянуто 30 завдань ІІІ частини ДПА з математики для 9 класу (завдання слушно дивитись разом зі Збірником для 9 класу)
Перегляд файлу

Варіант 1

Кути паралелограма відносяться як 2 : 3. Знайдіть кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини гострого кута.

Розвязання:

– паралелограм,

Проведемо

(внутрішні різносторонні при AB || CD, січній AD)

(внутрішні різносторонні при AD || BC, січній AB)

;

(внутрішні односторонні при AD || BC, січній AB)

– коефіцієнт пропорційності;

Відповідь: 108°

Варіант 2

Діагональ рівнобічної трапеції ділить навпіл її тупий кут, а середню лінію трапеції на відрізки 4 см і 5 см. Знайдіть периметр трапеції.

Розв’язання:

(внутрішні різносторонні при AD || BC, січній BD)

(BD – бісектриса )

– рівнобедрений, AB = AD = CD

середня лінія

KN – середня лінія

Відповідь: 38 см

 

 

Варіант 3

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 12 см і 16 см. Знайдіть довжину бісектриси трикутника, що проведена з вершини більшого гострого кута.

Розвязання:

Більший кут трикутника лежить проти більшої сторони. AC = 16, BC = 12, тому .

Проводимо бісектрису BK.

За властивістю бісектриси:

(піфагорова трійка)

  (теорема Піфагора)

Відповідь: см

Варіант 4

Діагональ рівнобічної трапеції перпендикулярна до її бічної сторони. Знайдіть площу трапеції, якщо її основи дорівнюють 12 см і 20 см.

Розв’язання:

ABCD – трапеція, AB = CD, AD || BC,

Для рівнобедреної трапеції , тоді

З прямокутного трикутника ABD:

Відповідь: 128 см2

Варіант 5

Дві сторони трикутника дорівнюють 7 см і 11 см, а медіана, проведена до третьої сторони, на 8 см менша за цю сторону. Знайдіть невідому сторону трикутника.

Розв’язання:

– медіана.

Добудуємо трикутник до паралелограма (продовжимо ВМ за точку М на відрізок MD = BM. Оскільки діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник паралелограм)

Нехай

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

;

;

;

; ;

Відповідь: 14 см

Варіант 6

У ромбі висота, що проведена з вершини тупого кута, ді­лить сторону навпіл. Знайдіть площу ромба, якщо його більша діагональ дорівнює см.

Розв’язання:

рівнобедрений (AC = BC).

як сторони ромба. Отже, – рівносторонній,

,

– бісектриса (властивості діагоналей ромба)

Відповідь: см2

Варіант 7

Точка дотику кола, вписаного у прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на відрізки 4 см і 6 см. Знайдіть периметр трикутника.

Розв’язання:

BM = BK = 4, AK = AN = 6, CN = CM = (властивість дотичних, проведених до кола з однієї точки)

(теорема Піфагора)

Відповідь: 24 см

Варіант 8

Сторони трикутника дорівнюють см і 2 см. Знайдіть третю сторону трикутника, якщо вона дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього трикутника.

Розв’язання:

За теоремою синусів:

За умовою

За теоремою косинусів:

Відповідь: 1 см

Варіант 9

Сторони трикутника дорівнюють відповідно 11 см, 12 см, 13 см. Знайти медіану, яку проведено до більшої сторони трикутника.

Розв’язання:

Нехай медіана , AC = 13.

Добудуємо трикутник до паралелограма (продовжимо ВМ за точку М на відрізок MD = BM)

Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

;

Відповідь:

Варіант 10

Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо бісек­триса його гострого кута ділить протилежний катет на відрізки завдовжки 3 см і 5 см.

Розв’язання:

AK – бісектриса кута А. За властивістю бісектриси:

(піфагорова трійка)

Відповідь: 24 см2

Варіант 11

Бісектриса кута прямокутника ділить його діагональ у відношені 2:7. Знайдіть площу прямокутника, якщо його периметр дорівнює 108 см.

Розв’язання:

АК – бісектриса кута А прямокутника.

Властивість бісектриси:

– коефіцієнт пропорційності, тоді

Відповідь: 504 см2

Варіант 12

Основи рівнобічної трапеції дорівнюють 6 см і 10 см, а діагональ ділить навпіл тупий кут трапеції. Знайдіть до­вжину цієї діагоналі.

Розв’язання:

(внутрішні різносторонні при AD || BC, січній BD)

(BD – бісектриса )

– рівнобедрений, AB = AD

Проведемо висоту .

 Для рівнобічної трапеції

Відповідь: см

Варіант 13

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ді­лить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15 см і 20 см. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник.

Розв’язання:

CD – бісектриса прямого кута С.

За властивістю бісектриси:

AB = AD + BD = 20 + 15 = 35

(піфагорова трійка)

BC = 21; AC = 28

Відповідь: 14 см

Варіант 14

Центр кола, описаного навколо  трапеції, лежить на її більшій основі. Знайдіть радіус цього кола, якщо діагональ трапеції дорівнює 20 см, а її висота – 12 см.

Розв’язання:

ABCD – рівнобічна трапеція (оскільки навколо трапеції описано коло), BK – висота, BD – діагональ.

О – центр описаного кола, AD – більша основа трапеції, діаметр описаного кола.

– прямокутний - вписаний кут спирається на діаметр)

(піфагорова трійка)

AD = AK + KD = 9 + 16 = 25

Відповідь: 12,5 см

Варіант 15

Навколо трапеції, основи якої дорівнюють 12 см і 16 см, а висота – 14 см, описано коло. Знайдіть довжину цього кола.

Розв’язання:

ABCD – рівнобічна трапеція (оскільки навколо трапеції описано коло), BK – висота, BD – діагональ.

Коло, описане навколо трапеції співпадає з колом, описаним навколо

Для рівнобічної трапеції:

KD = AD – AK = 16 – 2 = 14

(теорема синусів)

Відповідь: см

Варіант 16

Катети прямокутного трикутника дорівнюють 18 см і 24 см. Знайдіть бісектрису трикутника, проведену з вершини його меншого гострого кута.

Розв’язання:

Менший кут прямокутного тракутника АВС лежіть проти меншого катета ВС. Проведемо бісектрису АК.

(піфагорова трійка)

За властивістю бісектриси:

Відповідь: см

Варіант 17

У трикутнику ABC АМ – медіана. На стороні AB трикут­ника ABC позначили точку K так, що AK : KB = 2 : 3. У якому відношенні медіана АМ ділить відрізок СК?

Розв’язання:

O – точка перетину АМ та СК.

Проведемо через точку К відрізок KF || AM.

ABM: (узагальнена теорема Фалеса)

М – середина ВС (АМ – медіана)

  (узагальнена теорема Фалеса)

Відповідь: 5 : 2

Варіант 18

Перпендикуляр, проведений з точки кола до його радіуса, дорівнює 24 см. Цей перпендикуляр ділить радіус у від­ношенні 5 : 8, починаючи від центра кола. Знайдіть до­вжину кола.

Розв’язання:

Розглянемо коло з центром в точці О. Проведемо з точки М, що лежить на колі .

– коефіцієнт пропорційності,

 

(вписаний кут спирається на діаметр)

Відповідь: см

Варіант 19

У прямокутну трапецію вписано коло, радіус якого до­рівнює 6 см. Точка дотику поділяє більшу бічну сторону трапеції на два відрізки, довжина більшого з яких дорів­нює 8 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язання:

ABCD – трапеція, BC || AD,

O – центр вписаного кола. CD – більша бічна сторона, М – точка дотику, (радіус, проведений в точку дотику перпендикулярний до дотичної)

Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні.

Проведемо радіус ОК. BKON, AKOL – квадрати, сторони яких дорівнюють радіусу вписано кола.

Проведемо висоту CT.

;

BC = BN + CN =   ; AD = AL + LD = 6 + 8 = 14 ;

Відовідь: 133,5 см2

Варіант 20

Знайдіть радіус кола, описаного навколо трапеції, основи якої дорівнюють 11 см і 21 см, а бічна сторона – 13 см.

Розв’язання:

Навколо трапеції можна описати коло тільки якщо вона рівнобічна.

ABCD – трапеція, AD || BC, AB = CD.

Проводимо

Для рівнобічної трапеції

Коло, описане навколо трапеції співпадає з колом, описаним навколо трикутника ABD.

З (піфагорова трійка 5 ; 12; 13);

 (теорема синусів)

Відповідь: см

Варіант 21

Центр кола, описаного навколо трапеції, належить біль­шій основі. Знайдіть кути трапеції, якщо основи відно­сяться як 1 : 2.

Розв’язання:

Навколо трапеції можна описати коло тільки якщо вона рівнобічна. AB = CD,

O – центр описаного кола, середина AD.

AO = OB = OC = OD = R – радіуси кола.

За умовою .

BO = BC = OC - рівносторонній

(за трьома сторонами)

Відповідь: 60°, 120°, 120°, 60°

Варіант 22

Коло, вписане у прямокутну трапецію, ділить точкою до­тику більшу бічну сторону на відрізки завдовжки 4 см і 25 см. Знайдіть площу трапеції.

Розв’язання:

ABCD – прямокутна трапеція, BC || AD,

CD – більша бічна сторона, М – точка дотику, СМ = 4, CD = 25

В трапецію можна вписати коло, тому сума основ дорівнює сумі бічних сторін. AD + BC = AB + CD

DL = DM = 25, CM = CN = 4 (відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, рівні).

Проводимо висоту CT. TD = LDLT = MDCM = 25 – 4 =21

Відповідь: 490 см2

Варіант 23

Бісектриса гострого кута паралелограма ділить його сто­рону у відношенні 3 : 4, рахуючи від вершини тупого кута. Периметр паралелограма дорівнює 80 см. Знайдіть його сторони.

Розв’язання:

ABCD – паралелограм, A < 90°, AK – бісектриса

KAD = AKB (внутрішні різносторонні при  AD || BC і січній АК)

KAВ = AKB (АК – бісектриса)

KAВ = AKB – рівнобедрений, АВ = ВК

– коефіцієнт пропорційності,

Відповідь: 12см, 28см, 12 см, 28 см

Варіант 24

Периметр паралелограма дорівнює 26 см, а його діагона­лі дорівнюють 7 см і 11 см. Знайдіть сторони паралело­грама.

Розв’язання:

Сума квадратів сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів діагоналей (наслідок з теореми косинусів).

;

;

;

;

Відповідь: 6 см, 7см, 6 см, 7 см

 

 

 

 

 

1

 

docx
До підручника
Геометрія 9 клас (Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Якір М. С)
Додано
13 лютого 2019
Переглядів
2539
Оцінка розробки
Відгуки відсутні
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку