Розв'язування ірраціональних рівнянь (ч.2)

10 клас. Розв'язування ірраціональнихрівнянь(ч.2).

Згадаємо: Рівняння, що містять змінну під знаком кореня називають ірраціональними. Наприклад: 𝟑𝒙−𝟏=𝒙𝟐+𝟏 𝟐𝒙+𝟑=𝒙−𝟏 2 х+𝟓 = х + 2  Теорема 1. Якщо обидві частини рівняння піднести до непарного степеня, то отримане рівняння буде рівносильне даному. Теорема 2. При піднесенні обох частин рівняння до парного степеня отримане рівняння є наслідком другого.

№7.6.° Розв'язати рівняння : (𝟏𝟓−𝟑х)𝟐 = (х+𝟏)𝟐 ОДЗ: 1𝟓 −𝟑х≥ 0 х+1 ≥ 0 15 ≥3х х ≥ -1 5 ≥ х Відповідь: 2.6)𝟏𝟓−𝟑х -1 = х  𝟏𝟓−𝟑х = х+1 𝟏𝟓−𝟑х  = х𝟐 +2х +1 х𝟐 +2х +1+3х -15 =0х𝟐 + 5х – 14 =0 За т Вієта:𝒙𝟏+𝒙𝟐= -5 𝒙𝟏 = -7 – сторонній корінь𝒙𝟏·𝒙𝟐= -1𝟒       𝒙𝟐 = 2 

Пригадаємо, як розв'язуються квадратичні нерівності.

Приклад 2. Відповідь: хє (2 ;3).𝒙𝟏 = 2, 𝒙𝟐 = 3 

№7.8.° Розв'язати рівняння : (𝟐х𝟐 − 5х – 12)𝟐 = (х−𝟒)𝟐 ОДЗ: (𝟐х+𝟑)(х −𝟒 )≥ 0 𝟐х𝟐 - 8х+3х - 12 ≥0 𝟐х𝟐 - 5х - 12 ≥0𝟐х𝟐 - 5х – 12 = 0 D = (−𝟓)𝟐 -4·2·(-12)=121 Відповідь: 4.1)(𝟐х+𝟑)(х −𝟒) = х −𝟒  𝟐х𝟐 − 5х – 12 = х −𝟒 За т Вієта:𝒙𝟏+𝒙𝟐= -3 𝒙𝟏·𝒙𝟐= -2𝟖 𝒙𝟏 = 4 х −𝟒≥0𝒙𝟐 = -1,5 Х ≥ 4  -1,54++-𝟐х𝟐 - 5х – 12 = х𝟐 - 8х +16𝟐х𝟐 - 5х – 12 - х𝟐 + 8х – 16=0х𝟐 + 3х – 28=0 𝒙𝟏 = -7𝒙𝟐 = 4 -7

№7.8.° Розв'язати рівняння : (𝟐х𝟐 − 9х +10)𝟐 = (х−𝟐)𝟐 ОДЗ: (х−𝟐)(𝟐х−𝟓)≥ 0 𝟐х𝟐 - 5х - 4х +𝟏𝟎≥0 𝟐х𝟐 - 9х +𝟏𝟎≥0𝟐х𝟐 - 9х +10= 0 D = (−𝟗)𝟐 -4·2·10=1 Відповідь: 2; 3.2)(х−𝟐)(𝟐х−𝟓) +2 = х   𝟐х𝟐 − 9х +10 = х −𝟐 За т Вієта:𝒙𝟏+𝒙𝟐= 5𝒙𝟏·𝒙𝟐= 6 𝒙𝟏 = 2,5 х −𝟐≥ 0𝒙𝟐 = 2 х≥ 2 22,5++-𝟐х𝟐 - 9х +10= х𝟐 - 4х +4𝟐х𝟐 - 9х +10 - х𝟐 + 4х – 4=0х𝟐 -5х +6 = 0 𝒙𝟏 = 2𝒙𝟐 = 3 3(х−𝟐)(𝟐х−𝟓) = х −𝟐  

Відповідь: 1; - 𝟐𝟕𝟖. №7.10. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної:1) 𝟑 х+2𝟑 х𝟐 -3= 0 Нехай 𝟑 х = t, тоді 𝟑 х𝟐 = t𝟐  2t2 + t – 3 = 0 t𝟏 = 1t𝟐 = -1,5 Виконуємо обернену заміну:𝟑 х = 1 𝟑 х = -1,5 або 𝟑 х = - 𝟑𝟐 Х =1 х = -3,375 або х = - 𝟐𝟕𝟖 

Відповідь: 25.№7.10. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної :3) 𝟐х − 7х  - 15= 0 Нехайх = t, t ≥ 0, тоді х = t𝟐  2t2 -7t – 15 = 0 D = (−𝟕)𝟐 -4·2·(-15)=49+120=169 t𝟏 = 5t𝟐 = -1,5 - сторонній корінь Виконуємо обернену заміну:х = 5 Х = 25 

Відповідь: 8.№7.10. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної :4)  2х+𝟏  - 5=𝟑х+𝟏  Нехайх+𝟏 = t, t ≥ 0 D = (−𝟓)𝟐 -4·2·(-3)=25+24= 49 t𝟏 = 3t𝟐 = -0,5 – сторонній корінь Виконуємо обернену заміну:х+𝟏 = 3 Х+1 = 9х = 8 2t - 5= 𝟑t Помножимо обидві частини рівняння на t. Отримаємо:2t𝟐 -5t = 32t𝟐 -5t – 3 =0 

Відповідь: 1𝟏 8. №7.10. Розв’яжіть рівняння, використовуючи метод заміни змінної :6)  х+5х−1 +7х−1х+5 = 8 Нехайх+5х−1 = t, t ≥ 0, тоді х−1х+5 = 𝟏t 𝟏)х+5х−1 = 1 х+5х−1 = 1 х+5=х-10х =-6 коренів немає. t + 7·𝟏 t= 8 Помножимо обидві частини рівняння на t. Отримаємо:t𝟐 +7 = 8t t𝟐 - 8t +7=0 За т Вієта:t𝟏+𝒙𝟐= 8 t𝟏 = 1t𝟏·𝒙𝟐= 7          t𝟐 =7 𝟐)х+5х−1 = 7; х+5х−1 = 49 х+5=49(х-1)48х =54 Х=1𝟏 8 Виконуємо обернену заміну:

Дякую за урок.