Розвиток логічного мислення на уроках математики

Розвиток логічного мислення

на уроках математики

Як розвивати розум учня,

поглибити його інтелект – на мій

погляд, це одна з найгостріших,

не досить  опрацьованих проблем

шкільного виховання взагалі. Дати

знання – це лише одна сторона

розумового виховання, і її не можна

розглядати без іншої – формування,

розвитку розумових сил. Розвиток

думки й розумових сил – це розвиток

образного й логіко-аналітичного

елементів мислення, а також вплив

на рухливість розумових процесів,

усунення уповільненості мисленя.

В.О.Сухомлинський

У час, коли реформується система освіти, коли сучасна наука і техніка, економіка і виробництво виходять на світовий рівень, коли відбуваються зміни на ринку праці, особливо актуальним постало завдання підвищення відповідного рівня математичної підготовки підростаючого покоління.

Метою освіти є всебічний розвиток особистості та найвищої цінності суспільства, розвиток її талантів, розумових і фізичних здібностей, виховання високих моральних якостей, формування громадян, здатних до свідомого суспільного вибору, збагачення на цій основі інтелектуального, творчого, культурного потенціалу народу, підвищення освітнього рівня народу, забезпечення народного господарства кваліфікованими фахівцями.

Інтелектуальний рівень особистості можна охарактеризувати двома основними параметрами: обсягом засвоєної інформації за здібностю використовувати цю формацію для досягнення визначених цілей.  Обсяг знань, які людина може  засвоїти в період навчання в школі, природно, обмежений. Сучасний стан науки й суспільства, збільшення обсягу нової інформації різко зменшують частку знань, які отримує людина вперіод шкільного навчання по відношенню до інформації, необхідної для її повноцінної діяльності  в сучасному суспільстві.

        Для вирішення цього завдання слід застосовувати математичні методи  у різних галузях виробництва, забезпечити реальний зв'язок навчання з життям.

         Серед напрямів, що можуть поліпшити рівень загальноосвітньої математичної освіти, є посилення практичного спрямування курсу математики, що передбачає вироблення в учнів умінь і навичок використовувати здобуті знання під час вивчення математики в практичній діяльності.

Для успішної участі в сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язування практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів загальноосвітньої підготовки. Значні вимоги до володіння математикою у розв’язуванні практичних задач ставлять сучасний ринок праці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах. Тому одним із головних завдань цього курсу є забезпечення умов для досягнення кожним учнем практичної компетентності, щоб учень вмів  розв’язувати як прості, так і складні задачі.

Поділ математичних задач на прості та складні є доволі умовним. Мабуть, кожний натрапляв на задачі, у яких і зміст зрозумілий, і розв’язання  не вимагає особливих знань, але вони виявляються складними, бо невідомо, як їх розв’язувати.

 До нестандартних задач, як правило, відносять ті, для яких у шкільному курсі математики немає загальних підходів й алгоритмів їх розв’язування. Пошук способу розв’язування таких задач потребує кмітливості та винахідливості. Тому саме пошук розв’язування й обумовлює здебільшого складність нестандартних задач.

Розглянемо деякі типи нестандартних задач, які доволі часто пропонують на математичних конкурсах, турнірах, олімпіадах, та методи їх розв’язування. Це зокрема, задачі на принцип Діріхле, принцип інваріанта, принцип крайнього; задачі на виграшні стратегії, задачі на розфарбування. Серед різноманіття олімпіад них задач вказані задачі об’єднує те, що основою їх розв’язань є переважно не знання певних теорем чи формул, а лише міркування.

Задачі на виграшні стратегії

 Розглянемо задачу.

 У першому ящику є 30 кульок, у другому – 42 кульки. Двоє гравців по черзі підходять до одного з ящиків і беруть з нього будь-яку кількість кульок. Перемагає той, хто заберу останні кульки. Хто із гравців переможе і як він повинен для цього грати?

 Покажемо, що гравець, який робить підхід першим (перший гравеь), може  забезпечити собі перемогу незалежно від того, як діятиме суперник. Для цього перший гравець під час першого підходу повинен узяти з другого ящика 12 кульок, зрівнявши кількість кульок у ящиках. Далі, якщо другий гравець братиме з деякого ящика певну кількість кульок, то перший має взяти стільки ж кульок з іншого ящика, щоразу зрівнюючи кількість кульок у ящиках. Оскільки загальна кількість кульок з кожним підходом  змешується, то в певний момент другий гравець забере кульки з одного ящика, а перший – останні кульки з іншого ящика, чим забезпечить собі перемогу.

 У розглянутій задачі йдеться про так звану математичну гру. У кожній математичній грі суперники по черзі роблять ходи, щоб досягти певного результату, і цей результат залежить тільки від їхніх ходів. Вважають, що кожний гравець, виконуючи свій хід, не робить  - «грає правильно». Тому заздалегідь можна прорахувати результат гри, що ми і зробили, розв’язуючи задачу.

 Задачу, в якій існує переможець математичної гри, вважають розв’язаною,  якщо для нього сформульована виграшна ситуація – описано, як саме він може забезпечити собі перемогу (незалежно від ходів суперника). У  розглянутій нами задачі виграшну стратегію для першого гравця можна сформулювати так: за кожного свого  ходу перший гравець повинен зрівнювати кількість кульок у ящиках.

 Виграшна стратегія одного із гравців математичної гри може обумовлюватися різними чинниками. Розглянемо приклади.

Приклад 1. (6-9) Двоє гравців по черзі зафарбовують клітинки прямокутної таблиці. За один хід потрібно зафарбувати дві не зафарбовані клітинки, які мають спільну сторону. Програє той, хто не зможе зробити черговий хід. Хто переможе за правильної гри, якщо таблиця має розміри: а)8 8; б)8?

 Розв’язання. а) Переможець другий гравець, дотримуючись такої стратегії: якщо перший гравець зафарбував деякі дві клітинки, то другий повинен зафарбувати симетричні відносно центра таблиці дві клітинки.

 За такої гри другий гравець завжди зможе зробити свій хід, бо якщо перший гравець обере для свого ходу якісь дві чисті клітинки, то чистими будуть  і симетричні клітинки. Оскільки кількість клітинок з кожним ходом зменшується, то гра у певний момент закінчиться, а програти  може лише перший гравець.

 б) Переможе перший гравець. Центром симетрії прямокутної таблиці розміру є середина спільної сторони двох клітинок. Першому гравцеві під час першого ходу потрібно зафарбувати ці дві клітинки. Далі він має робити ходи, симетричні ходам другого гравця відносно центра симетрії таблиці.

Приклад 2. (6-9) Наталя та Оля мають прямокутну шоколадку, розділену двома повздовжніми та п’ятьма поперечними заглибленнями на 3 квадратних частин. Наталя розламує шоколадку по деякому заглибленню на дві прямокутні частини. Далі Оля, а за нею Наталя по черзі одну з отриманих частин розламують по заглибленнях на дві прямокутні частини. Програє той, хто відламає квадратну  . Хто переможе за правильної гри?

Розв’язання.  Переможе Наталя. Для цього вона першим своїм ходом має розламати шоколадку на дві рівні частини , а далі на кожний хід Олі на одній половини шоколадки Наталя повинна зробити такий самий хід на інший половині. Очевидно, що частину раніше відламає Оля.

Приклад 3.(6-9) На столі лежать 9 цукерок. Андрій, а за ним Олег по черзі підходять до столу і беруть певну кількість цукерок. Перемагає той з хлопців, хто візьме останню цукерку. Хто з них може забезпечити собі перемогу, якщо за один підхід дозволяється брати:

а) одну або дві цукерки;

б) одну або три цукерки?

Розв’язування. а) Переможе Олег. Для цього він повинен доповнювати кількість цукерок, які узяв Андрій, до 3 цукерок: якщо за підхід Андрій узяв 1 цукерку, то Олег бере 2, якщо Андрій узяв 2 цукерки, то Олег – 1. За такої грн. після  підходів Олега на столі залишається 6, 3, 0 цукерок. Отже, останню цукерку візьме Олег.

б) Переможе Андрій. За першого підходу Андрій має взяти 1 цукерку, а далі доповнювати кількість цукерок, які взяв Олег, до 4 цукерок.

Приклад 4. (6-9) На крайній клітинці смужки розміру стоїть фішка. Двоє гравців по черзі пересувають фішку на одну або три клітинки у напрямі іншого краю смужки. Програє той, хто не зможе зробити черговий хід. Хто має виграшну стратегію – перший гравець чи другий?

Розв’язання. Звернемо увагу, що:

1. фішкою потрібно пройти 203 клітинки ( відкинули клітинку, на якій у початковий момент стоїть фішка);
2. черговий хід зробити неможливо, якщо фішка стоїть на останній клітинці;
3. кожний гравець може доповнювати ходи іншого гравця до 4 клітинок.

Оскільки число 203 при ділення на 4 дає в остачі 3 (203=4, то

виграшну стратегію має перший гравець: за першого ходу від має пересунути фішку на 3 клітинки, а далі доповнювати ходи іншого гравця до 4 клітинок. За такої гри перший гравець поставить фішку на останню клітинку, позбавивши суперника ходу.

 Отже, виграшну стратегію має перший гравець.

 Приклад 5(6-9). У рівностях

Двоє учнів по черзі на свій розсуд вписують замість зірочок цілі числа. Довести, що перший учень завжди може досягти того, щоб усі числові рівності були правильними.

 Розв’язання. Преший учень перше число повинен записати замість однієї  із зірочок у другій рівності, а наступні – у тій рівності, у яку щойно вписав число суперник. Тоді перший учень матиме змогу записувати останні числа кожної рівності,  а отже, і досягти того, щоб усі числові рівності були правильними.

 Приклад 6.(6-9) У коробці є 38 сірників. Двоє гравців по черзі беруть з неї сірники – хоча б один, але не більше половини кількості сірників, що є в коробці. Програє той, хто візьме останній сірник. Хто з гравців переможе за правильної гри?

Вказівка. З’ясуємо, скільки сірників має бути в коробці, щоб гравець, який робить хід, переміг (програв) за правильної гри обох суперників.

Якщо в коробці є 1 сірник, т о гравець його мусить узяти, а це – програш. Тому наявність у коробці 1 сірника – це програшна позиція.

Якщо в коробці 2 сірники, то позиція виграшна, бо можна взяти один сірник і створити програшну позицію для суперника – суперник мусить узяти останній сірник.

Наявність у коробці 3 сірників – програшна позиція, бо можна узяти лише один сірник і створити виграшну позицію для суперника.

Наявність у коробці 4, 5, 6 сірників – виграшна позиція, бо можна взяти відповідно, 1, 2, 3 сірники і створити програшну ситуацію для суперника.

Продовжуючи подібні міркування можна знайти, що програшними є позиції , коли в коробці 1, 3, 7, 15 або 31 сірник.

Перший гравець може забезпечити собі виграш. Для цього він повинен брати з коробки стільки сірників, щоб суперник попадав у програшні позиції, тобто спочатку взяти 7 сірників, залишивши 31, після того як суперник узяв від 1 до 15 сірників, залишивши 15 сірників і т.д.

Отже, за правильної гри переможе перший гравець.

Підсумок. У розглянутих прикладах наявність виграшної стратегії в одного з учаників математичної гри обумовлювалися тим, що він мав вдалий хід-відповідь на будь який хід суперника. Вдалими ходами-відповідями можуть бути симетричні ходи (приклади 1,2) , ходи-доповнення (приклади 3,4) , можливість ставити суперника у програшні позиції (приклад 6). Пошук виграшних та програвши позицій починають, як правило, з аналізу кінцівки гри.

Історично склалося так, що математика виникла з практичних потреб людини на основі задач, висунутих самим життям, і розвивалася в процесі знаходження їхнього вирішення.

  Важливим чинником у формуванні наукового світорозуміння є те, що математичні формули, теореми, різні залежності створюються під впливом практики і практичних потреб людини.

         Тема «Похідні функції».

   Через село А, оточене з усіх боків лугами, проходить пряма шосейна дорога. Шосейною дорогою людина може рухатись зі швидкістю 5 км/год., а лугом -3 км/год. (у будь-якому напрямку). Який маршрут має обрати людина, щоб якомога швидше потрапити з села А до хутора В, що знаходиться на відстані 13 км від села і 5 км від дороги?

   В житті часто треба досягати найбільшого ефекту з найменшими затратами зусиль. Цей принцип, запозичений із природи, допомагає людям оптимізувати багато різних процесів трудової діяльності.

   Як уже було зазначено,одним із завдань викладання математики є розвиток здібностей учнів до технічної творчості. Тут у пригоді можуть стати прикладні задачі, оскільки вони допомагають виховувати вміння застосовувати на практиці здобуті в процесі навчання теоретичні знання; розвивати конструкторські здібності учнів, тобто виробляти вміння встановлювати залежність, яка забезпечує взаємодію між складовими частинами приладів та механізмів; вибирати найраціональніші шляхи досягнення поставленої мети; готувати учнів до нових пошуків, розвивати в них почуття потреби творчого ставлення до навколишнього оточення; привчати учнів правильно організувати свою навчальну працю.

   Значну роль у розвитку технічної творчості учнів відіграють геометричні задачі на побудову. Це, зокрема, задачі на максимум і мінімум, оскільки раціоналізація виробничих процесів у кінцевому підсумку визначає максимальний випуск продукції при мінімальних затратах.

   Зміст таких задач треба формулювати так, щоб в учнів виникла потреба шукати оптимальний розв’язок.

         Тема «Об’єм піраміди».

    Виготовте з картону правильну чотирикутну піраміду зі стороною основи 10см і об’ємом 500см³. Визначте інші розміри піраміди і побудуйте її розгортку.

   Розвиток технічної творчості учнів пов'язаний із вихованням у них раціоналізаторських навичок. Тому, готуючи учнів до суспільно корисної праці, треба привчати їх шукати раціональні шляхи розв’язування практичних задач, виробляти прагнення творчо підходити до виконання поставленого завдання.

   Для розвитку конструкторських здібностей важливу роль відіграють задачі, розв’язування яких виховує спостережливість, вміння «бачити».

  Розв’язування прикладних задач сприяє ознайомленню учнів з основними напрямами роботи підприємств і галузей економіки, викликає інтерес до них, що є неодмінною умовою ефективності орієнтації учнів на професію.

  Основною формою показу застосування математики на практиці залишається розповідь учителя про практичне використання тих чи інших теорем або формул. Ці коментарі вчитель робить, подаючи нові теореми, формули тощо.

   При цьому можливі два способи проведення таких розповідей. Можна розповісти учням про певну технічну або виробничу задачу; під час цієї розповіді учні зрозуміють що треба встановити певне співвідношення між даними і шуканими величинами або вивчити певну геометричну конфігурацію. Тоді вчитель повідомляє, що існує теорема(формула),яка          

допомагає правильно розв’язати цю задачу.

   Другий спосіб полягає в тому, що спочатку розглядають певне теоретичне питання, а потім вказують на його застосування.

   Частина розв’язуваних задач може мати безпосередньо практичний характер, в інших— прямого зв’язку з практикою не видно, але вчитель вказує, що методи їх розв’язування можна застосувати для розв’язання певних практичних завдань. У методичній літературі не завжди правильно вживають термін задача практичного змісту, часто вважають, що досить для цього мати задачу з практичною фабулою. Насправді ж цього мало. Якщо в задачі ідеться про певні виробничі процеси,машини, прилади і т.д.,то це ще не означає,що така задача має практичний зміст.

  До задач практичного змісту треба поставити принаймні три вимоги:

• дані повинні бути реальними. Округлити дані, дещо змінити числові значення параметрів можна, але так, щоб це не викривляло реальності. Наприклад, не можна різко змінювати розміри деталі для того, щоб спростити обчислення.
• в задачі слід відшукувати ті величини, які відшукують і на практиці. Наприклад, у паспорті канавокопача вказується година (або зміна) продуктивності машини (в кубічних метрах). Даючи завдання робітникові, вказують, скільки метрів канави певного профілю він повинен викопати за зміну. Таким чином, задача про визначення довжини канави даного поперечного перерізу за відомою величиною об’єму земляних робіт є такою задачею, яку доводиться розв’язувати на практиці. А кому потрібно, наприклад, визначити, скільки краплин діаметром 2мм має потрапити в дощомір (вказаного діаметра). Щоб наповнити його до певного рівня ?
• методи розв’язування таких задач повинні мати практичне значення, тобто повинні або збігатися з тими, якими користуються на практиці, або бути прийнятними для розв’язування певних життєвих задач.

  Слід, нарешті, зауважити, що не кожна практична задача має пізнавальну цінність. Через це використовувати на уроках треба лише ті задачі практичного змісту,які цікаві з точки зору математики і мають певне виховне значення.

На порядку денному стоїть математизація різних галузей людської діяльності і відповідне підвищення ролі математичних методів під час вивчення матеріалу багатьох навчальних предметів. Особливо важливого значення набуває питання про раціональне використання всього того що сприяє підготовці учнів до трудової діяльності, обраної професії. З цією метою на уроках математики з успіхом використовують прикладні задачі, що дають можливість поряд з математичними знаннями засвоювати наукові факти суміжних предметів. Одночасно учні набувають корисних навичок роботи з довідниками, навчаються самостійно знаходити потрібну інформацію в додатковій літературі.

  Методисти давно пов’язують проблему міжпредметних зв’язків з раціональним використанням математичних знань у практичній діяльності людей, що пояснюється не лише тим, що сфера застосування математики постійно розширюється, а й потребою ознайомлення учнів з методами математичного моделювання складних процесів, з раціональними способами використання обчислювальної техніки.

   Роботу щодо забезпечення міжпредметних зв’язків можна оптимізувати, узгодивши зміст і темп вивчення різних навчальних предметів. Так, перед вивченням географічних координат та елементів картографії на уроках математики вивчають шкали,прямокутну систему координат, дають початкові поняття про кулю й діаметр, про великі кола на поверхні сфери тощо.

   Досвід показує, що не кожне використання на уроках математики прикладної задачі, складеної на матеріалах суміжних предметів, може дати відповідний педагогічний ефект. Під час добору і розв’язування прикладних задач доцільно дотримуватися певних вимог. Так, прикладна задача має демонструвати практичне застосування математичних ідей і методів та ілюструвати матеріал,який вивчається на певному уроці, містить відомі або інтуїтивно зрозумілі учням поняття і терміни, а також реальні числові данні, що не потребують громіздких обчислень. Умова задачі має бути короткою, а прикладна частина-такою, щоб на її пояснення витрачалося якомога менше часу. Система задач має допускати прості узагальнення, котрі розкривали б учням прикладні аспекти математики в певній науці.

   Найзручнішими в прикладному відношенні є вимірювання на місцевості. Учні з цікавістю розв’язують задачі на знаходження відстані до недоступного предмета і між двома віддаленими точками висоти дерева тощо. Розв’язування таких задач дає можливість не тільки розкривати практичне значення математичних знань, а й продемонструвати застосування методу координат, деяких тригонометричних співвідношень. Особливо корисні побудови на місцевості за умови, що деякі елементи фігур недоступні.

   Практичне використання поняття дотичної до функції можна пов’язати з добором такої кривизни моста над залізницею, щоб асфальтована дорога не мала прогинів. Задачу можна сформулювати так:

  Знайдіть рівняння параболи АОВ, щоб профіль моста був плавний, без прогинів. Кути нахилу прямих АМ і ВN до горизонту рівні, стріла прогину моста l,ширина його 2а. Визначте тангенс кута нахилу прямих АМ і ВN до горизонту.

  Окремі прикладні задачі несуть у собі теоретичне навантаження суміжних дисциплін (фізика, астрономія, хімія, біологія, географія тощо). Під час розв’язування таких задач учні не тільки навчаються застосовувати математичні знання, а й дістають деякі нові відомості. Наведемо таких задач:

  1. Для обчислення об’єму скирти, що має форму, зображену на рис. можна скористатися формулою

 V, де V—об’єм скирти (в кубічних метрах), a, b, d i h—її розміри (в метрах). Знайдіть V, якщо а=6,2;b=18;d=3,2;h=4,8.

  2. Тонна морської води містить 25кг солі. Скільки солі міститься

в склянці морської води? (Врахуйте, що в склянці 250г морської води.)

  3. Відстань від Землі до зорі альфа Центавра становить близько 2,06·10⁶ астрономічних одиниць (астрономічною одиницею називається відстань від Землі до Сонця).Скільки кілометрів від Землі до зорі Альфа Центавра, коли відомо, що від Землі до Сонця 1,495·10⁸ км?

  4. Вольтметром виміряли напругу й дістали U=210±0,5В. Доведіть, що відносна похибка вимірювання не перевищує 0,3%.

  5. Деякі бактерії, вміщені в живильне середовище, діляться навпіл через кожних півгодини. Скільки бактерій утвориться з однієї такої бактерії через 10 год.?

     До кожної теми курсу математики можна підібрати цікаві та корисні задачі, які розкривають прикладні аспекти математики в споріднених навчальних предметах.

Висновок. Використання цих задач вимагає від викладача додаткової роботи. Перш ніж вести учнів на математичну екскурсію,треба побувати там і ознайомитися з застосуванням математики,опрацювати деяку технічну літературу. Базові підприємства, де учні училища проходять виробниче навчання,викладач  математики повинен відвідати не раз,щоб виявити, які саме математичні знання найбільше застосовуються на тому чи іншому робочому місці.

   При такій системі роботи учні закінчують навчання, засвоївши курс математики як слід і вміють прикласти свої знання до діла. Учні дізнаються про багато цікавого і важливого з розвитку науки і техніки. А це відкриває широкі можливості поєднати навчання математики з життям і обраною професією.

Список використаних джерел

1.Василенко Н.В./Логіка 5-11 класи/ Н.В.Василенко.-Х.:Вид.група «Основа»,2011. – 256 с. – Серія «Логіка».

2.Кравчук В.Р./Збірник математичних олімпіад/В.Р.Кравчук. – Тернопіль:Підручники і посібник, 2016. – 112с.

3.Бродський Я.С.,Павлов О.Л./Математикка в дії/:Посібник для додаткового навчання математики в 5-6 класах/ Я.С.Бродський, О.Л.Павлов – Львів: Каменяр, 2013.-172 с.

4. НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА З МАТЕМАТИКИ (АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛІЗУ ТА ГЕОМЕТРІЯ) для учнів 10-11 класів загальноосвітніх навчальних закладів. Рівень стандарту, 2017 р.

5. Г. Возняк, О. Возняк. Прикладні задачі: від теорії до практики. – Тернопіль: Мандрівець, 2003