Урок №4 Розв’язування показникових рівнянь

Урок №4 Розв’язування показникових рівнянь

Опитування:1. Яка функція називається показниковою? 2. Назвіть область визначення показникової функції? 3. Назвіть область значень показникової функції? 4. За якої умови показникова функція зростає? Спадає? 5. Як називається графік показникової функції?

Встановіть відповідність: Подайте у вигляді степеню з основою 3 число: {08 FB837 D-C827-4 EFA-A057-4 D05807 E0 F7 C}1812𝟏𝟐𝟕3𝟑𝟑4𝟖𝟏−𝟏516𝟓𝟗{08 FB837 D-C827-4 EFA-A057-4 D05807 E0 F7 C}181234516{D7 AC3 CCA-C797-4891-BE02-D94 E43425 B78}А𝟑𝟒 Б𝟑𝟏/𝟑 В𝟑𝟐/𝟓 Г𝟑𝟐 Д𝟑−𝟑 Е𝟑𝟎Є𝟑−𝟒{D7 AC3 CCA-C797-4891-BE02-D94 E43425 B78}АБВГДЕЄ

Показниковими називають рівняння, в яких невідоме (змінна) входить лише у показник степеня (а основа цього степеня не містить змінної). Розглянемо найпростіше показникове рівняння 𝒂𝒙=𝒃, де 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏. Оскільки множина значень функції – множина додатних чисел, то дане рівняння 𝒂𝒙=𝒃: - має єдиний корінь, якщо 𝒃>𝟎; - не має коренів, якщо 𝒃≤𝟎. 

При 𝒂>𝟎, 𝒂≠𝟏 рівняння: 𝒂𝒇(𝒙)=𝒂𝒈(𝒙), рівносильно рівнянню 𝒇𝒙=𝒈𝒙. Запишемо коротко це так: 𝒂𝒇(𝒙)=𝒂𝒈(𝒙) ↔ 𝒇𝒙=𝒈𝒙 Розглянемо приклад: 𝟑𝟐𝒙+𝟒=𝟗 𝟑𝟐х+𝟒 =𝟑𝟐 2х+4 = 22х = -2х = -1

Спосіб зведення до спільної основи {18603 FDC-E32 A-4 AB5-989 C-0864 C3 EAD2 B8}Застосуємо властивість а𝑛𝑏𝑛=𝑎𝑏𝑛Скоротимо дріб. Представимо числа 27 і 64 у вигляді степеню. Застосуємо правило:  𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥) ↔ 𝑓𝑥=𝑔𝑥23х98х=27642∙93∙8х=276434х=343х=3{18603 FDC-E32 A-4 AB5-989 C-0864 C3 EAD2 B8}

Спосіб винесення спільного множника за дужки{93296810-A885-4 BE3-A3 E7-6 D5 BEEA58 F35}Перенесемо невідомі в одну частину рівняння, числа – в іншу. Застосуємо властивість степеню𝑎𝑥+𝑦=𝑎𝑥×𝑎𝑦Винесемо за дужки у лівій частині рівняння найменший степінь числа 2. Невідомий множник знаходимо, поділивши добуток на відомий множник. Представимо результат у вигляді степеню числа 2. Застосуємо правило: 𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥) ↔ 𝑓𝑥=𝑔𝑥2𝑥+2−2𝑥−96=02𝑥+2−2𝑥=962𝑥∙22−2𝑥=962𝑥22−1=962𝑥∙3=96, 2𝑥=9632𝑥=32, 2𝑥=25𝑥=5{93296810-A885-4 BE3-A3 E7-6 D5 BEEA58 F35}

Спосіб приведення рівняння до квадратного шляхом заміни змінної{93296810-A885-4 BE3-A3 E7-6 D5 BEEA58 F35}Застосуємо властивості степеню𝑎𝑥+𝑦=𝑎𝑥×𝑎𝑦𝑎𝑥𝑦=𝑎𝑥𝑦Робимо заміну змінноїОтримуємо квадратне рівняння. Застосовуємо теорему Вієта (чи формулу Дискримінант)Знаходимо корені та повертаємось до заміни. Розв’язуємо найпростіші показникові рівняння за правилом:𝑎𝑓(𝑥)=𝑎𝑔(𝑥) ↔ 𝑓𝑥=𝑔𝑥 𝑎>0, 𝑎≠1 Пам’ятайте! Рівняння 𝑎𝑥=𝑏, не має коренів, якщо 𝑏≤04𝑥−3∙2𝑥+1−16=04𝑥∙−3∙2𝑥∙2−16=04𝑥=22𝑥 → 22𝑥−6∙2𝑥−16=0 2𝑥=𝑡→   𝑡2−6∙𝑡−16=0𝑡1∙𝑡2=−16𝑡1+𝑡2=6𝑡1=−2,   𝑡2=82𝑥=8,  2𝑥=23, 𝑥=3 2𝑥=−2, ∅ {93296810-A885-4 BE3-A3 E7-6 D5 BEEA58 F35}

Домашнє завдання1. Вивчити теоретичний матеріал (що таке показникові рівняння та алгоритм розв’язання різних видів)2. Розв’язати наступні різнорівневі рівняння.

Література Мерзляк А. Г. Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, рівень стандарту : підруч. для 11 кл. закладів загальної середньої освіти / А. Г. Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський та ін. — Х. : Гімназія, 2019. — 208 с. : іл.