Презентація "Інтеграл простими словами. Інтеграл у житті"

Що таке диференціал та інтеграл дуже простими словами Інтеграл У життіЛюдмила КОПИЛЕНКОДФКСм. Дніпро2025

"Зрозуміє навіть дитина": Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Слова складні й страшні, але те, що вони означають, набагато простіше.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Багато хто при словах інтеграли та диференціали вкривається потом, у них починається тремор і вони впадають у ступор, не можуть вимовити ні слова. Щоб такого не було, давайте одразу заспокоїмо вас — жодної вищої математики тут немає. Зараз пояснимо так, що зрозуміє і гуманітарій, і дитина-дошкільник. Почнемо з диференціювання і поставимося до цього слова не як до чогось математичного, а як до заклинання, типу Абракадабра. Що робить це заклинання? Воно ділить на шматочки. Наприклад, була у вас колода. Застосували до неї заклинання "диференціо" і колода перетворилася на купу дров.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. А коли ми застосовуємо заклинання диференціювання до ковбаси, ковбаса нарізається на шматочки. Для того, щоб коротко записувати це заклинання в зошиті, домовилися перед предметом, до якого застосовується заклинання, писати маленьку латинську букву "d". Наприклад d. Ковбаса = шматочки ковбаси.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Або d. Огірки = шматочки огірків. Або d. Морква = шматочки моркви. І так далі.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. А тепер давайте застосуємо заклинання до ікса. Що таке ікс? Ми поняття не маємо, це щось невідоме. А як це записати? Ось так — dx. І цей запис означатиме, що щось невідоме поділено на маленькі шматочки. Як це? Та дуже просто. Мама на кухні стоїть і миє посуд, а синок у кімнаті, незважаючи на сувору заборону мами не грати в м'яч вдома, все-таки вирішив пограти у футбол і... бах-бах, гуркіт і дзвін скла. Щось розбилося — факт. Що саме? Ми поки не знаємо (це для нас ікс). Але ми точно знаємо, що ось це невідоме тільки що продиференціювали.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Зрозуміло?Ось і мама, прийшовши в кімнату, зрозуміла, що синок тільки що продиференціював її улюблену вазу. А синок зрозумів, що тепер його сідниці чекають неприємності.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Але щоб уникнути неприємностей, є ще одне чудове заклинання, яке називається інтегруванням. Отже, хлопчик бере чарівну паличку, вимовляє чарівне слово "інтеграло", малює в повітрі кінчиком палички такий значок ∫, і ваза збирається в єдине ціле. У зошиті для запису заклинання ми застосовуємо все той же значок ∫. А тепер подумайте, що буде якщо ми проінтегруємо дрова? Вони зберуться в колоду. А в зошиті це можна записати ось так: ∫ Дрова = Колода.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Загалом, заклинання інтегрування дозволяє нам зібрати шматочки чогось в єдине ціле. Зручно, якщо хочеться зібрати пазл. А тепер давайте простежимо ланцюжок подій, пов'язаних з вазою. Спочатку ми її продиференціювали, а потім проінтегрували, і у нас вийшла ціла ваза. Якщо записати це в зошиті символами, то вийде ∫dx = x. Ми спеціально виділили жирним, тому що це одна з головних формул вищої математики, від якої одних кидає в жар, а інших — в холод. Читається це так: "інтеграл де ікс дорівнює ікс".

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Грали в дитинстві в конструктор? Може у когось навіть був Lego? Уявіть, що у нас була зібрана з конструктора якась модель. Якщо цю модель продиференціювати, вона перетвориться просто на деталі конструктора. А якщо тепер ці блоки проінтегрувати, знову збереться моделька.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Звісно все це приблизно, так би мовити, для дитячого садка, щоб було зрозуміло і можна було пояснити дитині на прикладах без складних визначень типу суми нескінченного числа нескінченно малих доданків.І ще, математики можуть закидати нас камінням, тому що ми забули про константу. Це ще одне заклинання, яке необхідно вимовити після заклинання "інтеграло". Тому що ∫dx = x + const.

Диференціал та інтеграл дуже простими словами. Звідки береться ця константа( const).? Якщо повернутися до прикладу з вазою, то давайте уявимо, що у вазі була вода і квіти. Ваза розбилася (продиференціювалась), квіти на підлозі, а вода вбралася. Вазу ми зібрали за допомогою заклинання "інтегро", квіти поставили назад у вазу, а ось скільки було води ми точно не знаємо, тому наливаємо на око. Можливо, ми налили стільки ж, можливо більше, а можливо менше. Так от вода і є константа.

Фізика і механіка

Задача з. Фізики №1 Знайти кількість електрики, яка проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом І(t) = 3t + 2 (A) .

Розвʼязання: Тоді: Кількість електрики може бути обчислена формулою: q=160 k. Л

Задача з фізики. Обчисліть роботу, яку треба виконати, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 10 Н розтягує її на 0,02 м.

Робота обчислюється за формулою: За законом розтягу пружини F = kx. Тоді k = 500 . Отже F(x) = 500x. Маємо: Розвʼязання:50055005=0,625(Дж)

Задача з фізики. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 18t – 3t2 (м / с). Обчисліть шлях, який пройшло тіло за інтервал часу від 2 с до 5 с.

Відстань обчислюється за формулою: Підставимо дані з умови задачі: Розвʼязання:

Як застосовуються інтеграли в економіцІ

Економічна задача. Загальний прибуток за період часу t можна знайти за формулою:

Біологія і інтеграли

Задача з біологіїЯк визначити приріст особин популяції бактерій, якщо відома швидкість росту популяції за проміжок часу від t1 до t2 ?

Розвʼязання: При необмежених ресурсах харчування кількість біомаси популяції обчислюється так: Так обчислюють ріст грибків пеніциліну.

Комплексна задача. Біологія і фізика. Середня довжина шляху, який пролітають птахи, перетинаючи фіксовану ділянку, обчислюється за формулою:

Хімія і інтеграли

Задача з хіміїУ квантовій хімії за допомогою інтегралів обчислюють потенціал взаємодії електронів, діпольний момент.

Розвʼязання: Такі інтеграли називаються “молекулярні інтеграли” або одноелектронні:

Цікаві факти з історії

Термін “ІНТЕГРАЛ” вперше був запропонований Йоганом Бернуллі в 1696 році і означав “Ціле, відновлене”

Формулу обчислення площі криволінійної трапеції незалежно один від одного відкрили Ісаак Ньютон та Вільгельм Лейбниць.

Тепер вона носить їх імена: формула Ньютона-Лейбниця

Українські математики теж зробили великий внесок у дослідження інтегралів: Михайло Остроградський. Михайло Кравчук. Володимир Левицький