РОЗВЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ З ДОПОМОГОЮ ПОХІДНОЇ

Мета:  - Показати на прикладах застосування диференціального числення для                                                                                                                                                                                розв’язування задач практичного змісту.

• Закріпити вміння, навички дослідження функцій з допомогою похідної.
• Формувати вміння проводити опис реальних ситуацій на формальну математичну мову, тобто переходити від реальних ситуацій до їх математичних моделей.
• Виховувати охайність, увагу, вміння працювати в парі.
• Активізувати пізнавальну діяльність учнів шляхом розв’язування задач практичного змісту.

                                                                   У світі не відбувається нічого,

                                                                   В чому не видно сенсу

                                                                   Якого небудь максимума або

                                                                                                  Мінімума!

                                                                                               Леонард Ейлер                                                           

І.Організаційний етап. Формулювання мети і завдань уроку.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

               З давніх часів перед людиною виникають практичні проблеми знаходження найбільшого чи найменшого, найкращого чи найгіршого, або як кажуть, знаходження оптимального рішення. Перед нами завжди стоїть проблема вибору. Подеколи цей вибір зробити просто, але дуже часто велика кількість варіантів ставить нас в глухий кут і ми не знаємо як правильно вчинити. Зате наукові принципи вибору оптимального рішення дають однозначну відповідь.

               Видатні вчені : француз П’єр Ферма, англієць Ісак Ньютон, німець Готфрід Лейбніц, француз Жозеф Лагранж сформували новий апарат досліджень інтегрального і диференціального числення, за допомогою якого і розв’язуються задачі на знаходження найбільшого і найменшого , або – екстремальні задачі.

               Перші чудові відкриття в області теорії екстремальних значень відносяться до першого сторіччя нашої ери. Герон Александрійський встановив , що шлях світлового променя від точки А до точки В при відбитті від дзеркала в точці є найкоротшою відстанню від А до В з заходом на площину дзеркала за умови рівності кутів падіння та відбивання променя.

                Задача на знаходження найменшої відстані між пунктами А і В з заходом на шосе, носить ім’я Герона і використовується при економічних розрахунках прокладки доріг і  створення на них зручних для населення зупинок транспорту, а також при будівництві газо- і нафтопроводів для більш вигідної експлуатації.

                Задача-легенда описує події, що відносяться до ІX сторіччя до нашої ери. Фінікійська царівна Дідона , побоюючись переслідувань свого брата царя Тира, відправилась на запад  вздовж берегів Середземного моря шукати собі пристанище. Їй сподобалося одне місце на узбережжі нинішнього Туниського заливу. Дідона розпочала переговори з місцевим правителем Ярбом про продаж їй там землі. Запросила вона зовсім небагато – стільки, скільки можна охопити однією бичачою шкірою – і умовила на угоду простодушного Ярба. Коли домовленість була досягнута, хитра Дідона наказала розрізати шкіру бика на багато вузьких поворозок, зв’язати їх між собою і отриманою довгою тасьмою обійти максимальну за площею територію для своєї колонії. На цьому місці вона й заснувала легендарне місто Карфаген, відомий своїм протистоянням великому Давньому Риму.

                    Математично перед  Дідоною стояла екстремальна задача, яку можна сформулювати наступним чином : Яку фігуру максимальної площі можна охопити плоскою кривою заданої довжини?

                   Ще в Давній Греції знали , що відповіддю на задачу Дідони є круг : серед замкнених плоских кривих заданої довжини саме коло охоплює фігуру найбільшої площі.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

                 На партах розкладені картки з завданнями для усних вправ. Учні працюють в парах : визначають по першій строчці завдання ( що треба вписати в перший і другий стовпчик таблиці)  

Заслуховуємо відповіді учнів.

IV. Математичне моделювання.

                 Ми розглянули питання теорії, але математичні методи не можуть застосовувати безпосередньо до дійсності, а застосовувані тільки до математичних моделей того чи іншого явища. Математична модель відображає основні властивості і характеристики реального явища.

                 В математичні моделі екстремальних задач входить функція, яку треба скласти за умовою і знайти оптимальне значення на проміжку зміни аргументу.

                 Але в одній і тій самій задачі в різних ситуаціях найкращими можуть бути абсолютно різні розв’язки. Все залежить від обраного критерія.

                Зверніть увагу на різні поперечні перерізи каналу в формі трапецій.

Вони можуть бути використані в різних цілях.

                Оберіть різні критерії :

1. Канал повинен бути судноплавним (глибина).
2. Канал повинен вміщувати найбільшу кількість води (об’єм).
3. Канал служить водоймою на птахофабриці (площа поверхні).
4. Необхідно, щоб на облицювання його бічних стінок і дна пішла найменша кількість матеріалу (площа).

      Як бачимо , модель одна, а практичних задач декілька.

V. Розв’язування задач.

                 Для розв’язування задач практичного змісту необхідно перевести її на язик математики : скласти функцію, визначити проміжок , на якому її треба дослідити.

Задача 1 : Треба виготовити відкритий згори бак об’ємом 500 л з квадратним дном. Якими мають бути розміри баку, щоб вартість зварювальних робіт була мінімальною, якщо 10 см зварювального шва коштують 2грн.

Задача 2 : Два теплоходи йдуть перпендикулярними курсами. Швидкість одного дорівнює 30 км/год, а іншого – 40 км/год. В початковий момент часу перший знаходився в 100 км, а другий – в 300 км від точки перетину ліній руху. Через який час відстань між судами буде найменшою? Знайти цю відстань. Де будуть знаходитися теплоходи відносно точки перетину ліній руху?

VI. Підсумки уроку.

У кожній справі є доробок, в народі зветься він жнива.

А в нас сьогодні на кінець уроку бал відповідний за знання.

 Самооцінювання учнів.

До 50% засвоєні знання (1-6 балів) – молодший спеціаліст;

Від 50% до 75% (7-9 балів) – спеціаліст;

Більше 75% - старший спеціаліст.

VІІ. Домашнє завдання.

Старші спеціалісти та спеціалісти : скласти прикладні задачі із застосуванням знань фізики, економіки, техніки.

Молодші спеціалісти: завдання в тестовій формі «Перевір себе» № 12 (стор.384)