Урок алгебри 11 клас "„Застосування визначеного інтегралу до розв’язування прикладних задач”.

 

Тема уроку: „Застосування визначеного інтегралу до розв’язування прикладних задач”.

 

Дидактична мета: узагальнити і систематизувати  знання учнів про визначений інтеграл; закріпити навички обчислювати  визначений інтеграл, показати його місце і значення при розв’язуванні задач фізичного, економічного, геометричного змісту; розвивати  вміння  чітко формулювати  свою думку, логічне мислення, інтелектуальні здібності учнів; виховувати інтерес до науки, вміння раціонально використовувати робочий час.

Тип уроку: урок узагальнення та систематизації навчального матеріалу.

Обладнання:  таблиці,    комп’ютер, комп’ютерні програми: Master function 2.0,   Solver 1.1; картки.

Хід уроку

І. Організаційний момент

Дорогі діти!

За вікном сьогодні чудова погода, блакитне чисте небо, сонячно. І така сама тепла атмосфера і у нас в класі.

Для того, щоб налаштуватись на  творчу роботу пропоную вам пограти в гру  «Друдли». «Друдли» -  це зображення, які вигадав комедійний письменник Роджер  Прайс, про які не можна точно сказати що на них зображено. Що ви бачите на малюнку?

 

ІІ. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

 

Вам треба  було вдома виконати  завдання, які ви отримали по електронній почті. Завдання були на повторення теми «Інтеграл». Виконавши завдання ви відразу вже отримали оцінки. Давайте проаналізуємо  ваші роботи. Роботу виконали 7 учнів, 5 – на 10 балів, 1уч.- на 6 балів, 1 уч – на 4 бали. На 2 запитання відповіли всі правильно, 3,4,6 завдання 85,7%, 5завдання – 71,4 %. Отже, як ми бачимо 5 завдання виявилось найскладнішим, тому хто отримав низький бал треба повторити тему  інтегал з тригонометричної функції.

Другим завданням , всім окрім одного учня, вам було створити інтелект карту по темі «Інтеграл», де ви систематизуєте у творчій формі всі знання по цій темі.

         Будь-ласка презентуйте свої роботи.

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.

 Ми з вами сьогодні спробуємо за допомогою математики розв’язати  проблеми, що виникають на уроках фізики, геометрії  та економіки.

 

................, процитуйте нам, будь-ласка. Вислів відомого італійського вченого Галілео Галілея.  

(„Філософія написана в тій книзі, яка завжди відкрита в нас перед очима (я маю на увазі Всесвіт), але яку неможливо зрозуміти, якщо заздалегідь не вивчити її мову”.)

 

Її мова – це мова математики. Математика здавна має репутацію найточнішої галузі знань і є надійним знаряддям розкриття таємниць природи.

 

А що з цього приводу говорив знаменитий Альберт Ейнштейн?  

(„Наш досвід переконує нас, що природа – це реалізація найпростіших математичних ідей”.)

 

А  як відзначував відомий вам Рене Декарт?

(„Той, хто серйозно прямує до пізнання істини, не повинен займатися якоюсь однією наукою, бо всі вони взаємозв’язані”)

 

ІV. Повідомлення теми та мети  уроку

 

Будемо сподіватися, що за допомогою слів великих  вчених, вислови яких ми цитували, ви переконались в доцільності проведення сьогоднішнього уроку, тема якого: „Застосування визначеного інтегралу до розв’язування прикладних задач”.

Анрі Пуанкаре, французький математик, слова якого ми взяли як епіграф до нашого уроку, сказав: „Математика є спосіб називати різні речі одним ім’ям”. Можливість розвивати ці уміння ви й матимете сьогодні, розв’язуючи задачі, пов’язані з геометрією, фізичними явищами, економічними процесами. І ви матимете чудову  нагоду закріпити і розвинути навички знаходити визначений інтеграл, застосовувати його при розв’язуванні практичних задач.

 

V.  Актуалізація опорних знань УЧНІВ.

  Давайте пригадаємо, що ж таке інтеграл? В цьому нам допоможе Міша з творчим завданням «Що таке інтеграл і навіщо він потрібен».

( Відео «Навіщо потрібен інтеграл»)

• А які ще основні поняття нам треба пригадати?

1. Що називають первісною?   

(Функція називається первісною функції на деякому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку виконується рівність )

 

2. За допомогою чого ми обчислюємо визначений інтеграл? Назвіть, будь ласка, формулу  Ньютона – Лейбніца. 

 

3. Яка головна відмінність визначеного інтегралу від невизначеного?

(Невизначений інтеграл – це  функція, а визначений – число)

 

 

 

 

 

VІ. Усні вправи.

 

А зараз ми ще раз звернемося до визначених і невизначених інтегралів й перевіримо, як ви вмієте їх знаходити.

Вставте пропущені символи, щоб рівність була правильною.

 

 

1. = ........... + ... .
2. = + ... .
3. = ........... t + С.
4. = – + ... .
5. = + С.
6. = – sin х + С.
7. = 4х + С.
8. = ... + С.
9. = + ... .
10. = + С.
11. = = ... .
12. = – = ... .

 

Відповіді

 

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 

 

 

VІІ. Узагальнення та систематизація знань, вмінь та навичок.   

 

Поняття інтеграла – важливе  як у шкільному курсі математики, так і в курсі вищої математики, що розгалужується на низку цікавих, хоч і складних, математичних дисциплін. Назву вам лише кілька з них:

• математичний аналіз,
• функціональний аналіз,
• теорія функції комплексної змінної,
• диференціальні рівняння,
• теорія ймовірностей,
• теорія оптимізації математичних процесів.

Окрім математичних, є науки, що широко використовують математичний апарат і нині дуже популярні, оскільки необхідні для ведення різноманітних справ, для гармонійного розвитку галузей виробництва, тощо. У цих науках також використовується поняття інтеграла. Які з наук ви можете назвати?

 

•   економіка виробництва,
• фінансова справа,
• електроніка,
• програмування,
• фізика,
• хімія,
• радіофізика, тощо.

 

 

  Давайте з'ясуємо, як саме ми можемо застосувати визначений інтеграл в таких науках, як геометрія, фізика, економіка.

             Підкажіть, де саме визначений інтеграл застосовується в геометрії?

 

Обчислення площі криволінійної трапеції

- Навпроти фігури запишіть формулу, завдяки якій можна обчислити її площу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                         

 

 

                                                   

 

 

         

 

 

 

 

                                                                                                                 

  

 

 

 

 

 

 

                                                                                                          

 

 

       

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

• Де ще застосовується інтеграл в геометрії?

 Обчислення об’єму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо осі Ох:

V =  .

 

А де саме визначений інтеграл застосовується у фізиці?

Поясніть, для чого використовуються дані формули.

 

А =                               Робота при прямолінійному русі(переміщення тіла з точки а в точку в)

А =                                                Робота при змінній потужності

 

v =                                             Швидкість тіла за час від т1 до т2

т =                                                  Маса тонкого стержня

q (t) =                                      Електричний заряд через силу струму

Q =                                     Кількість теплоти через теплоємність

 

 

 

ХІІІ. Фізкультхвилинка. Відео «Повторюй і танцюй»

 

VІІІ. Робота в малих  групах

 

А зараз, панове, давайте перенесемося в майбутнє, років на 20 вперед. Ви – дорослі, солідні люди, знайшли своє місце в житті: конструктори, інженери, металурги, будівельники, економісти,  вчені. І в процесі своєї роботи ви зустрічаєтеся з різними проблемами, які вам необхідно вирішити.

 

Розіб’ємо клас на 3 групи, кожна з яких отримує певне завдання і через 5 хвилин звітує про виконану роботу.  Оберіть, будь-ласка, одну з фігур. Виберіть машину, лопату чи калькулятор.

 

 

Фізики

Для кращого обслуговування заїзду гонок серії „Формула-1” майстри визначили найкращий закон зміни швидкості руху автомобіля прямою трасою: v(t) = 2·(t+2)^5/2. Який шлях проїде пілот цієї гонки за 7 с від початку руху? Який шлях він проїде за сьому секунду?

Розв’язання:

= = 1243 (м)

=  = = 422 (м)

Відповідь 1243 м; 422 м.

 

Хочу вам зачитати уривок з блогу одинадцятикласниці    Анастасії:

«Багатьох, хто дізнається про мої плани щодо вступу, цікавить чому ж саме ця професія стоїть однією із перших в моєму списку всіх можливих варіантів професій, а відповідь:"...бо фізика - це цікаво!" - викликає здивування мало не у всіх моїх однолітків.
             Мені здається, що фізик - одна з найголовніших професій у сучасному світі.  Досягнення сучасної фізики настільки значні , що не можуть не викликати захоплення. Мікроелектроніка і персональні комп'ютери , лазери , керований термоядерний синтез , голографія , високотемпературна надпровідність - ось далеко не повний перелік застосування досягнень фізики останніх десятиліть.
             У рамках професії " фізик " існує безліч спеціалізацій , наприклад , за об'єктами дослідження виділяється космічна фізика , фізика мікросвіту , механіка і термодинаміка , оптика і електроніка та ін.
         І навіть зважаючи на всю важливість цієї науки, знайти роботу з дипломом, наприклад, фізика-теоретика, досить важко. А за песимістичними висновками мого тата, працювати можна буде тільки вчителем фізики в сільській школі. Та я все ж надіюся, що в Україні зміниться ставлення до науки.
         "Жінці не місце в науці, тим більше у фізиці" - ще одна татова спроба переконати мене не поступати на фізика і, як на мене, не дуже вдала. Згадати б тільки величезний вклад в науку Марії Кюрі-Склодовської і її дві Нобелівські премії з фізики та хімії.

Археологи

Нещодавно археологи при розкопуванні стародавніх поселень знайшли жертовне місце, яке їх дуже зацікавило. Після досліджень було з’ясовано, що це тіло, утворене обертанням плоскої фігури обмеженої параболою

у = –  х² + 2х + 3 навколо осі Ох (х вчені вимірювали в метрах). Причому виготовлений він був з каменю густиною 2500 кг/м³. Яка масу каменя використали на виготовлення цього жертовника стародавні майстри?

Розв’язання.

Побудуємо фігуру, обмеженою параболою у = –  х² + 2х + 3,  вісями Оу та Ох.

Об’єм тіла, яке утворюється внаслідок обертання графіка функції навколо осі Ох обчислюється за формулою: 

V =  .

= =

= = 3,14(48,6 – 81 – 18 + 54 + 27) =

= 3,1430,6 = 96,084 (м³)

        

Відповідь. 240210 кг.

 

Що робить і чим займається археолог? Деякі вважають, що археологія – це неймовірна пригода, яка передбачає пошуки скарбів і масу вражень. Такий стереотип був сформований під впливом голлівудських фільмів. Частково така подача інформації є правдивою, але без маси прикрас.

Переваги:

• нескінченно цікава професія;
• можливість побувати в самих віддалених куточках планети;
• дотик до старовини;
• соціальна значущість професії. Кожен спеціаліст може увійти в історію як першовідкривач чого-небудь.

Недоліки:

• життя не завжди в комфортних умовах (відсутність можливості правильно харчуватися, сон в наметі, відсутність душу, туалету);
• виснажлива праця;
• часті відрядження можуть перешкодити особистому життю;
• немає гарантій успішного завершення експедиції.

Пропоную вам переглянути відео «Археолог, як професія».

Фінансисти

Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається функцією

f(x)=-0,0033t²-0,089t+20,96,

де t – робочий час робітника у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі 62.

Розв’язання.

Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому

V= f(t)dt .

Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме

V = 62 f(t)dt = 62 (- 0,0033t² - 0,089t + 20,96)dt =  

= 62(- 0,0033t³/3 - 0,089t²/2 + 20,96t) = 62(-0,0011·512 – 2,848 +167,68)=

=62·164,27 = 10185 (од.).

Для більш швидкого обчислення визначеного інтегралу ми можемо використовувати  багато комп’ютерних програм. При використанні програми  Solver 1.1 було отримане таке ж значення.

 

 

Рейтинг  професії  фінансиста впродовж багатьох років залишається незмінно високим.

Спеціальність «Фінанси» для абітурієнта - це:

• перспектива: швидке кар'єрне зростання в реальному секторі економіки;
• престиж: перевага випускника на ринку праці;
• високий професіоналізм: новітні інформаційні і освітні технології;
• унікальність: знання, відповідні часу;
• ваше майбутнє: професія фінансист - безпрограшний вибір.

«Фінанси» - це сучасна і престижна спеціальність в умовах ринкової економіки і бізнесу, володіючи якою ви без проблем знайдете своє місце в професійній діяльності.

 

 

           Математика – потужна зброя в руках фізика, економіста. Адже багато наслідків можна одержати математично, використовуючи перевірені дослідом формули.

                      Скажіть, будь ласка, якою була мета нашого уроку?

(узагальнити і систематизувати знання з теми інтеграл, визначити в яких науках і професіях можуть знадобитись ці знання)

• Чи досягли ми поставленої мети?
• Чи можуть ці знання вам знадобитись в подальшому житті?

На сьогоднішньому уроці ми ще раз переконалися в тому, що інтеграл займає важливе місце не тільки в математиці, а й в інших науках. Математичні теорії є надійним знаряддям в розкритті таємниць природи, законів економічних процесів.

 

        ІХ. Оцінювання учнів.

1. Оцінка за домашнє завдання.
2. Самооцінка.
3. Оцінка вчителя.

Оцінка за урок середнє арифметичне всіх 3.

 

Х. Домашнє завдання.

1.Практичне. Розв’язати  задачу на картках практичного змісту із застосуванням визначеного інтегралу.

2.Творче. Написати  твір про застосування визначеного інтегралу в житті людини..

Х. Підведення підсумків уроку.

Прочитайте фразу, написану на плакаті: „Забути не можна пам’ятати!”

Від того, у якому місці ви поставите кому, матимете два варіанти: „Забути, не можна пам’ятати!” або „Забути не можна, пам’ятати!”

На якому варіанті ви зупинитесь?

 Чи потрібні вам знання з математики в майбутньому?