Урок на тему "Теорема Вієта"

Тема. Теорема Вієта.

Мета. Ввести поняття зведеного квадратного рівняння.                                                                                              Сформулювати і довести теорему Вієта. Формувати вміння застосовувати теорему при розв’язуванні квадратних рівнянь.

Учні повинні:                                                                                     мати уявлення про зведене квадратне рівняння;                   уміти знаходити суму та добуток коренів                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          квадратного рівняння, визначати знаки коренів та                                                                                                                       знаходити його корені за допомогою теореми Вієта.

Хід уроку

 

I. Перевірка домашнього завдання

1. П’ять учнів біля дошки розв’язують рівняння:

2. Фронтальна бесіда з класом:

    - Яку тему ми вивчаємо декілька останніх уроків? 

    - Що називається повним квадратним рівнянням?

    - Які способи розв’язування таких квадратних рівнянь ви знаєте?

    - Що називається розв’язком рівняння?

    - Як перевірити, чи є задане число коренем рівняння?

3. Перевіряю рівняння, які розв’язували учні біля дошки.

II. Мотивація

  При перевірці даних рівнянь зазначаю, що в рівняннях 1,2,3 і 5  я можу визначити корені усно, а 4 рівнянні - ні. Тим самим, я налаштовую дітей на вивчення нової теми.

III. Повідомлення теми уроку

 Отже, на сьогоднішньому уроці ми вивчимо властивість, яка дозволить усно знаходити корені квадратного рівняння. Тема уроку:

Теорема Вієта.

Очікувані результати:

• Сформулювати і довести зміст  теореми Вієта.
• Застосувати теорему при розв’язуванні квадратних рівнянь.
• Розвивати логічне мислення.

IV. Опрацювання нового матеріалу

Вчитель подає короткі відомості про Вієта.

Франсуа Вієт (1540-1603)- французький математик. Був на службі у короля Франції Генріха IV. Його називають «батьком алгебри», бо він вперше почав позначати буквами не тільки невідомі, а й відомі величини. Це дозволило подавати рівняння і їх корені в загальному вигляді. Відомі він позначав приголосними буквами B,C,D…., а невідомі – голосними  A,E,O…

Цікавий факт з життя  Вієте. Під час війни Франції з Іспанією Вієт за дорученням короля, знайшов ключ до шифру, яким користувалися іспанці. Це стало причиною частих поразок іспанців. Коли вони дізнались, що їх повідомлення дешифрує Вієт, іспанська інквізиція оголосила його чаклуном і засудила до спалення на вогнищі.  Генріх IV не видав Вієта катам.

Повернемось до рівнянь, які записані на дошці. Чим рівняння 1,2,3 і 5 відрізняються від  4 рівняння? ( Коефіцієнтом при ).

Вчитель формулює означення зведенного квадратного рівняння.

Квадратне рівняння називають зведеним, якщо перший коефіцієнт дорівнює 1.

Загальний вигляд: .

Робота в групах .

Знайдіть в зведених рівняннях суму і добуток коренів, дані запишіть дані в таблицю (даю кожному учню надруковану таблицю) :

 

Рівняння	Корені рівняння
	-3 і 9	-27	6
	-5 і -3	15	-8
	4 і 5	20	9
	-7 і 2	-14	-5

 

За допомогою таблиці учні шукають залежності між коренями і коефіцієнтами зведеного квадратного рівняння,відповівши на ряд запитань:

• Яка залежність між знаками коренів квадратного рівняння і знаком вільного члена? 
• Як пов’язані між собою корені квадратного рівняння і його вільний член?
• Яка залежність між коренями квадратного рівняння і другим коефіцієнтом?
• Сформулюйте залежність між коренями зведеного квадратного рівняння   і його коефіцієнтами.

Після обговорення пропозицій кожної з груп, формулюємо  теорему Вієта:

Якщо зведене квадратне рівняння     має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком; а добуток – вільному члену, тобто

Доведення:(доведення записую на дошці)

D= ;

 

         Доведено .

-Як можна квадратне рівняння виду представити у зведеному вигляді?(Поділивши рівняння коефіцієнт а)

Кожне квадратне рівняння виду () рівносильне зведеному квадратному рівнянню:

Сума і добуток його коренів, якщо вони є, відповідно дорівнюють:
 

 

 

Теорема (обернена до теореми Вієта): Якщо сума і добуток двох чисел i n дорівнюють відповідно –p і  q, то – корені рівняння .

(Без доведення)

 

V. Відпрацювання нового матеріалу

Розглянемо рівняння       

• Як називається дане рівняння?
• Чи має воно корені, скільки?
• Чому дорівнює добуток (сума) коренів?
• Чому дорівнює ?

   1. Не розв’язуючи рівняння, знайти суму і добуток його коренів:

1. 
2.    
3.   
4.  

   2. Визначити знаки коренів рівняння (якщо вони є) не розв’язуючи і знайти корені за допомогою теореми Вієта:

1. 
2.  
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 

3. Перевірте, чи є дані числа коренями рівняння:

1.  

    

4. Один із коренів рівняння менший від другого на 2. Знайти значення n.

 

VI. Домашнє завдання

Вивчити конспект.

   1. Не розв’язуючи рівняння, знайти суму і добуток його коренів:

1. 
2.    

  2. Перевірте, чи є дані числа коренями рівняння:

 

Знайти корені за допомогою теореми Вієта :

1. 
2.  
3. 
4. 
5. 

VII. Рефлексія

Пропоную учням оцінити результати уроку, відповівши на запитання:

• Що ми сьогодні робили на уроці?
• Чи досягли мети уроку?
• Як вам працювалось у групах?