Урок однієї задачі (Геометрія)

Урок однієї задачі9 клас. Руденко С. М.4 БМ

Математичний диктант1. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є одночасно… 2. Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину…3. Сторони трикутника для вписаного у нього кола, є …4. Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, є…5. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі …6. Синус кута – це відношення …7. Тангенс кута – це відношення …8. Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники…9. Якщо трикутники подібні, то відповідні сторони …10. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, пропорційні…11. Якщо з точки поза колом проведено до нього січну й дотичну, то добуток січної на її зовнішню частину дорівнює …12. Запишіть всі відомі вам формули для знаходження площі трикутника

Математичний диктант1. У рівнобедреному трикутнику висота, проведена до основи, є одночасно… (бісектрисою і медіаною)2. Центр кола, вписаного у трикутник, є точкою перетину… (бісектрис)3. Сторони трикутника для вписаного у нього кола, є …(дотичними)4. Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, є…(рівними)5. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі …(квадратів катетів)6. Синус кута – це відношення …(протилежного катета до гіпотенузи)7. Тангенс кута – це відношення …( протилежного катета до прилеглого)8. Якщо гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнює гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники… (подібні)9. Якщо трикутники подібні, то відповідні сторони …(пропорційні)10. Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, пропорційні…( прилеглим сторонам)11. Якщо з точки поза колом проведено до нього січну й дотичну, то добуток січної на її зовнішню частину дорівнює … ( квадрату відрізка дотичної)12. Запишіть всі відомі вам формули для знаходження площі трикутника S=р·r S=рр−ар−𝐛р−с  S = ½ а · h  

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 1: Використання теореми Піфагора Нехай дано рівнобедрений трикутник АВС з основою АС. Точка О – центр вписаного кола ⎯ знаходиться у точці перетину бісектрис ВD і СК. Бісектриса ВD є одночасно медіаною. Тому DC = AC : 2 = 5 см. У прямокутному трикутнику BDC за теоремою Піфагора маємо: BD² = BC² – DC², BD² = 13² – 5² = 144; BD = 12 см. ВАСОНD)К

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 1: Використання теореми Піфагора ВАСОНD)КСторони трикутника ВС і АС дотикаються до кола у точках Н і D відповідно. OD і OH ⎯ радіуси кола. OD AC, OH BC. DC = HC як відрізки дотичних до кола. DC = HC = 5 см. ВН = ВС – НС, ВН = 13 – 5 = 8 см. У прямокутному трикутнику BHO за теоремою Піфагора маємо: OH² = BO² – BH². OD = ОН = r;ВО = ВD ⎯ r , ВО = 12 ⎯ r. Підставимо дані у рівняння. OH² = BO² – BH². Одержимо:r ² = (12 ⎯ r)² ⎯ 8², r ² = 144 ⎯ 24r + r²⎯ 64, 24r = 80,r = 80 : 24, r = 10/3 см - радіус вписаного кола.

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 1: Використання теореми Піфагора ВАСОНD)К Висновок. Під час розв’язання задачі нами двічі застосовувалась теорема Піфагора. При цьому використовувалися властивості рівнобедреного трикутника та відрізків дотичних до кола, проведених з однієї точки.

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 2: Використання формул для обчислення площі трикутника ВАСОКНехай маємо трикутник АВС, де АВ=ВС, та вписане у нього коло з центром О. Для знаходження радіуса вписаного кола використаємо формулу S=р·r.r = Sр = 2 Sa + b + c , де a,b,c – сторони, а S –площа трикутника.  Знайдемо площу трикутника АВС за формулою Герона: S=рр−ар−bр−с . р= (13+13+10):2= 18(см). S=1818−1318−1318−10 =2·9 ·25·2·4  = 60 (cм²). r = 2·6010 + 13 + 13 = 10/3 см. Отже, r = 10/3 см.  

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 2: Використання формул для обчислення площі трикутника ВАСОК Висновок. Щоб знайти радіус кола, вписаного у трикутник, ми використали тільки формули для знаходження площі трикутника: S=р·r і S=рр−ар−bр−с . Можна було використати формулу S = ½ а · h. Але тоді треба застосувати теорему Піфагора для знаходження h (ВК). 

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 3: Тригонометричні функції гострого кута. ВАСОНD)𝞪Використаємо співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника. Позначимо < DBC = α. У ▲DBC: sinα = DC : BC. Оскільки ВС = 13 см, а DС = АС : 2 = 5 см, то sinα = 5 /13. У ▲BOH: sinα = ОН : ВО. Замінивши sinα на 5/13, отримаємо: 5/13 = OH : BO. У ▲BDC за теоремою Піфагора знаходимо BD: BD² = BC² – DC². BD² = 13² – 5² = 144, BD = 12см. ВО = 12⎯ ОD; ОН = ОD = r. OH = BO · 5/13. r = (12 – r) · 5/13; 13·r = 60 – 5·r, r = 60/18 = 10/3. Oтже, r = 10/3 cм.

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 3: Тригонометричні функції гострого кута. ВАСОНD)𝞪Висновок. При розв’язуванні задачі були використані співвідношення між кутами і сторонами прямокутного трикутника та теорема Піфагора.

Задача. Знайти радіус кола, вписаного у рівнобедрений трикутник з основою 10 см і бічною стороною 13 см. Спосіб 4: Властивості бісектрис у трикутнку. ВАСОНD)Властивість 1: Центр вписаного в трикутник кола лежить в точці перетину бісектрис цього трикутника. Властивість 2: Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину бісектрис у відношенні суми довжин прилеглих сторін до довжини протилежної, рахуючи від вершини. Точка О (центр вписаного кола) є точкою перетину бісектрис ∆ АВС. Використаємо властивість бісектриси СО у трикутнику ВDС. Для даної задачі цю властивість запишемо у вигляді пропорції CD : BC = DO : BO. 5 : 13 = r : (12 – r) , звідки r = 10/3 cм .

Домашнє завдання. Розв’язати цю ж задачу, використовуючи:- Подібність трикутників - Властивість відрізків січної і(▲CBК і ▲OBH) дотичної до кола (BL, BD, BH)ВАСОНКLВАСОНD)L