Урок "Стрічка Мебіуса - загадка сучасності"

Про матеріал

Конспект уроку "Стрічка Мебіуса - загадка сучасності". Дана розробка створена для проведення позаурочного заходу під час проведення тижня математики.

Перегляд файлу

Тема: Стрічка Мебіуса – загадка сучасності

Мета: ознайомити учнів із стрічкою Мебіуса та вивчити її незвичайні властивості, поглибити знання учнів з топології, як розділу математики. Розвивати просторове уявлення, удосконалювати графічну культуру, наукове світосприйняття учнів. Виховувати естетичне відношення до оточуючого світу, культуру спілкування.

Забезпечення: ПК, програмне забезпечення, презентація, записи на дошці (цитати), клей, кольоровий папір, ножниці, фломастери.

Девіз уроку: Логіка може вас привести із пункта А в пункт В, а уява - куди завгодно...

А.Ейнштейн

Зміст уроку

І. Організаційний момент

ІІ. Ознайомлення учнів із темою, метою та завданнями уроку.

ІІІ. Виклад нового матеріалу з демонстрацією презентації.

Існують наукові знання і явища, які привносять в буденність нашого життя таємницю і загадку.

Стрічка Мебіуса ставиться до них повною мірою. Сучасна математика чудово описує за допомогою формул всі її властивості та особливості. А ось звичайні люди, слабо розбираються в топоніміці і інших геометричних премудростях, практично щодня стикаються з предметами, виготовленими за її образом і подобою, навіть не підозрюючи про це.

Стрічка Мебіуса, яку також називають петлею, поверхнею або листом, – це об'єкт вивчення такої математичної дисципліни, як топологія, що досліджує загальні властивості фігур, що зберігаються при таких безперервних перетвореннях, як скручування, розтяг, стиск, згинання та інших, не пов'язаних з порушенням цілісності. (Слайд 3)

Дивовижною і неповторною особливістю такої стрічки є те, що вона має всього одну сторону і край, які ніяк не пов'язані з її розташуванням в просторі. (Слайд 4)

Лист Мебіуса є топологічним, тобто безперервним об'єктом з найпростішої односторонньої поверхнею з кордоном в звичайному Евклідовому просторі (3-вимірному), де можливо з однієї точки такій поверхні, не перетинаючи краю, потрапити в будь-яку іншу.

Такий непростий об'єкт, як стрічка Мебіуса, був і відкритий досить незвично. Насамперед відзначимо, що два математика, абсолютно не зв'язані між собою в дослідженнях, відкрили її одночасно - в 1858 році. Ще одним цікавим фактом є те, що обидва цих учених в різний час були учнями одного і того ж великого математика - Йоганна Карла Фрідріха Гаусса. Так, аж до 1858 року вважалося, що будь-яка поверхня повинна мати дві сторони. Однак Йоганн Бенедикт Лістинг і Август Фердинанд Мебіус відкрили геометричний об'єкт, у якого була всього одна сторона, і описують його властивості. Стрічка була названа на честь Мебіуса, а ось батьком-засновником «гумовою геометрії» топологи вважають лістингу і його праця «Попередні дослідження по топології». (Слайд 5)

Стрічці Мебіуса притаманні такі властивості, не змінюються при її стисканні, розрізуванні уздовж або зіжмакані:

1. Наявність одного боку. А. Мебіус у своїй праці «Про обсяг багатогранників» описав геометричну поверхню, названу потім на його честь, що володіє всього однією стороною. Перевірити це досить просто: беремо стрічку або лист Мебіуса і намагаємося зафарбувати внутрішню сторону одним кольором, а зовнішню - іншим. Не має значення, в якому місці і напрямку було розпочато фарбування, вся фігура буде зафарбована одним кольором.

2. Безперервність виражається в тому, що будь-яку точку цієї геометричної фігури можна з'єднати з будь-якої іншої її точкою, не перетинаючи кордону поверхні Мебіуса.

3. Зв'язність, або двомірність, полягає в тому, що при розрізанні стрічки вздовж, з неї не вийде кілька різних фігур, і вона залишається цілісною.

4. У ній відсутня така важлива властивість, як орієнтованість. Це означає, що людина, що йде по цій фігурі, повернеться до початку свого шляху, але тільки в дзеркальному відображенні самого себе. Таким чином, нескінченна стрічка Мебіуса може призвести до вічного подорожі.

5. Особливий хроматичний номер, який показує, яке максимально можливе число областей на поверхні Мебіуса, можна створити так, щоб у будь-який з них був спільний кордон з усіма іншими. Стрічка Мебіуса має хроматичний номер - 6, а ось кільце з паперу - 5. (Слайд 6)

Існує гіпотеза, згідно з якою Всесвіт - це величезна петля Мебіуса. (Слайд 7)

Інша теорія розглядає ДНК як частину поверхні Мебіуса, що пояснює складнощі з прочитанням і розшифровкою генетичного коду. (Слайд 8)

У різних галузях промисловості стрічка Мебіуса застосування знайшла вже давно. Великий винахідник Нікола Тесла на початку століття винайшов резистор Мебіуса, що складається з двох скручених на 1800 провідних поверхонь, який може протистояти потоку електричного струму без створення електромагнітних завад. (Слайд 9)

На основі досліджень поверхні стрічки Мебіуса і її властивостей було створено безліч пристроїв та приладів. Її форму повторюють при створенні смуги стрічкового конвеєра і фарбувальної стрічки в друкованих пристроях, абразивних ременів для заточування інструментів і автоматичної передачі. Це дозволяє значно збільшити термін їх служби, так як зношування відбувається більш рівномірно. (Слайд 10-11)

Крім того, знак стрічка Мебіуса використовується в різноманітних торгових марках і логотипах. Найвідоміший з них – це міжнародний символ вторинної переробки. Його проставляють на упаковках товарів або придатних для подальшої переробки, або зроблених з перероблених ресурсів. (Слайд 12)

Стрічка Мебіуса і її властивості лягли в основу творчості багатьох художників, письменників, скульпторів і кінематографістів. (Слайд 13-15)

ІV. Осмислення та практичне застосування нового матеріалу.

Після вивчення теоретично матеріалу починається майстер клас по створенню стрічки Мебіуса та виконання цікавих фокусів.

Як отримати стрічку Мебіуса?

Візьми смужку паперу завдовжки 30 см і завширшки 2-3 см.
Зігни смугу в кільце та з’єднай кінці. Перекрути один із них і саме так склей їх.

Фокус 1

Візьми ручку чи фломастер й веди лінію посередині смужки. Продовжуй малювати, поки опинишся там, де почав. Це доведе, що стрічка насправді має лише один бік.

Фокус 2

Ножицями зроби прокол усередині паперової смужки, де проведена лінія так, щоб розітнути стрічку навпіл. Що станеться?

Фокус 3

Розріж стрічку Мебіуса, відступаючи від краю приблизно на третину її ширини. Отримаємо дві стрічки: одну, більш коротку, - звичайну стрічку Мебіуса, а другу – довгу, з двома напівобертами (Авганська стрічка).

Фокус 4

Візьми найдовшу стрічку, яка в тебе є, перекрути її три рази і склей. Що ти отримав? Тричі перекручена стрічка Мебіуса, яка є логотипом переробки сміття.

Фокус 5

Розріжемо посередині тричі перекручену стрічку Мебіуса. Що ми отримали? Вдвічі більшу стрічку, але уже із вузликом. І до речі це дуже схоже на те, як з’являються вузли ДНК. Тому що ДНК – це дуже дуже закручена нитка.