Урок з алгебри за темою: "Геометрична прогресія", 9 кл.

Розробка уроку з алгебри, 9 кл.   Вчитель: Ганенко Вікторія Леонідівна

Тема: Геометрична прогресія

Мета: домогтися засвоєння означень «геометрична прогресія», «знаменник геометричної прогресії», формули та основних властивостей для геометричної прогресії. Виробити вміння використовувати набуті знання для розв'язування задач, що передбачають виділення геометричної прогресії. Розвивати навички усної лічби, уваги та логічного мислення. Виховувати інтерес до математичних знань та показати практичну значимість математики.

Обладнання: проектор, плакати-завдання, картки.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Хід уроку:

1. Організаційний момент.

«Математика – панівна наука нашого часу. Її завоювання зростають день у день, хоч і без галасу. Хто не має її за себе, той колись матиме її проти себе».

Й.Ф. Гербарт, німецький філософ, психолог і педагог.

2. Перевірка домашнього завдання

Учень біля дошки показує розв’язання домашньої задачі.

3. Актуалізація опорних знань

Роздати картки із завданнями. На картці записані фрагменти арифметичних прогресій. Підібравши числа з останнього стовпчика, дописати прогресії.

Розглянемо практичну задачу на застосування властивостей арифметичної прогресії.

4. Мотивація навчальної діяльності

У слові «прогресія» коренем є слово «прогрес», що з латини означає «крок вперед». Отже, тема спонукає нас зробити крок уперед, досягти прогресу. Ми знаємо, чого хочемо досягти, але навіщо нам це потрібно, навіщо вивчається ця тема? Прогресії є відображенням світу, що нас оточує. Застосовуються прогресії у фізиці під час вивчення тіл, що вільно падають чи рухаються рівноприскорено, та під час вивчення процесу радіактивного розпаду елементів та атомів. Також у економіці та банківській справі, під час виплати відсотків та надання кредитів. Прогресії є у техніці під час виготовлення обладнання.

Послухаємо доповідь учня про прогресії у житті. (Додаток А)

5. Вивчення нового матеріалу

Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; ... — геометрична прогресія, бо а₂ = а₁ ∙ 3; а₃ = а₂ ∙ 3; а₄ = а₃ ∙ 3; ... . (3 — знаменник цієї прогресії).

Якщо (b_п) — геометрична прогресія, то b_n+1 = b_nq, де b_п — п-й член прогресії; q — знаменник геометричної прогресії. Звідси випливає:

Властивості геометричної прогресії:

а) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого:

— характеристична властивість;

б) якщо (b_п) — скінченна геометрична прогресія, то b₁ ∙ b_n = b₂ ∙ b_n-1 = b₃ ∙ b_n-2 = const (b₁ і b_n — крайні члени цієї прогресії).

6. Відпрацювання вмінь та навичок.

№1. За означенням перевірте, чи є геометричною прогресією послідовність:

а) степенів числа 3 з цілими додатними показниками — 1; 3; 9; 27; 81; ...;

б) квадратів натуральних чисел — 1; 4; 9; 16; 25... .

№2. Укажіть перший член та знайдіть знаменник геометричної прогресії:

а) 1; -4; 16; ...;  б) -5; -5; -5; ...;  в) 9; 3; 1; ...;

г) 7; ; ; ...;  д) -2; 2; -2; ... .

№3. Знайдіть другий і третій члени геометричної прогресії (b_п), якщо:

1) b₁ = 3, q = 2;  2) b₁ = 5, q = -1.

7. Підсумки уроку. Рефлексія.

Що дізналися нового? Що було цікавим? Що здалося важким?

Домашнє завдання:

№1. Дана геометрична прогресія: -2; 8; -32; 128; … . Знайти пятий член цієї прогресії.

№2. У геометричній прогресії . Знайти .

Додаток А

Цікаві факти о прогресії.

Всі ми читали задачі та легенди, що приводять до появи великих чисел. Це легенда про нагороду для винахідника шахів, історія про багатого і бідного, який приносив по 10 тисяч рублів, а забирав подвоєну копійку. Але закони прогресії з’являються не лише у вигаданих історіях, а і описують реальні процеси в біології.

Знання теорії великих чисел потрібне не тільки математикам, а й простим людям, щоб не потрапити в ситуації, які можуть вийти з-під вашого контролю.

В Америці спочатку не було горобців. Ця звична для нас пташка була завезена в США з метою знищення шкідливих комах. Горобець, як відомо, у великій кількості поїдає гусінь та інших комах. В Америці не було хижаків, які б знищували цих птахів, і горобець став швидко розмножуватись. Скоро горобців стало так багато, що їм не вистачало шкідників саду. Вони взялися за знищення посівів фермерів. Фермери розпочали війну з горобцями, яка обійшлася дуже дорого. Зараз в США видали закон, який забороняє ввіз будь-яких нових видів тварин.

В Австралії, коли материк був відкритий європейцями, не було кроликів. Кролик був завезений лише в кінці 18 ст. За відсутності хижаків розмноження цих тварин почалось надзвичайно швидко. Вони заполонили всю Австралію, завдаючи величезних збитків сільському господарству, і стали справжнім лихом. Тільки завдяки спеціальним заходам (винайденому спеціально вірусу) вдалося подолати лихо. Приблизно те саме повторилося пізніше з кроликами в Каліфорнії.

Третя повчальна історія відбулася на острові Ямайка. Тут водилися у великій кількості ядовиті змії. Для зменшення їхньої популяції на острів завезли птаха-секретаря. Через деякий час кількість змій різко зменшилась, зате розплодилися пацюки, яких раніше знищували змії. Пацюки приносили таку шкоду плантаціям цукрової тростини, що довелося серйозно задуматися над їх знищенням. Відомо, що ворогом щурів є індійський мангуст. Було вирішено завезти на острів 4 пари і дати їм можливість вільно розмножуватися. Мангусти теж швидко пристосувалися до нової батьківщини і швидко заселили весь острів. Через 10 років  вони знищили пацюків і стали їсти все, що їм траплялося: домашню птицю, кіз, поросят, навіть собак. А з часом мангусти стали загрозою для садів, полів та плантацій. Жителі тоді почали знищувати своїх недавніх союзників, але їм вдалося тільки обмежити шкоду.

Вчені досліджували питання, чому так швидко розходяться чутки та новини як по школі, так і по всьому місту. Інколи не пройде і кілька годин після пригоди, про яку знало всього декілька осіб, а новина облетіла вже все місто, про неї всі знають, всі чули. Це здається магією. Але створивши математичну модель, ми можемо описати це явище за допомогою формул. Візьмемо для прикладу місто, в якому 50000 населення, і уявимо, що о 8 годині ранку трапилася пригода, свідками якої були три особи: чоловік, жінка і дитина. Через 15 хвилин вони прийшли на роботу або до школи і розповіли нехай всього трьом своїм знайомим. На це витратили 15 хвилин. Отже, через півгодини новину вже знають 1+3+3*3=13 чоловік. Кожен із 9 обізнаних поділилися ще з трьома своїми знайомими 13+9*3=40 чоловік. Якщо новина і далі буде поширюватися таким чином, то на 9 годину ранку вже знатимуть: 40+(3*27)=121; Ми вже помітили закономірність обрахунку числа людей, що знають новину:1+3+3*3+3*9+3*81+3*243+…=5000. Тобто, 10 раз із інтервалом 15 хвилин новина передавалася мешканцям міста. Отже, через 150 хвилин всі 50 тисяч будуть знати цю новину.