Многогранники.
(2006)36. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см. Апофема утворює з площиною основи кут
. Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см2).
Відповідь: .
(2007)35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює см і нахилена під кутом
до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.
Відповідь: .
(2007)36. У правильній чотирикутній піраміді (
– вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника
, проведеною з вершини
, та середньою лінією трикутника
, що паралельна основі піраміди.
Відповідь: .
(2008)24. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – см і
см. Визначте об’єм цього тіла.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
інша відповідь |
Відповідь: А.
(2008)34. У правильній трикутній піраміді з основою
бічне ребро удвічі більше за сторону основи. Точки
і
є серединами ребер
і
відповідно. Через пряму
паралельно до ребра
проведено площину
. Знайдіть кут
між площиною
і площиною
. У відповідь запишіть значення
.
Відповідь: .
(2009)24. Об’єм куба дорівнює
см3 (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди
(у см3).
Відповідь: .
(2010)6. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2010)12. На рисунку зображено куб . Перерізом куба площиною, що проходить через точки
,
,
є
А |
Б |
В |
Г |
Д |
прямокутний трикутник |
рівносторонній трикутник |
прямокутник |
ромб |
трапеція |
Відповідь: В.
(2010)35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює . Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює
см.
Відповідь: .
(2010)35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює . Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює
см.
Відповідь: .
(2010)35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює . Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює
см.
Відповідь: .
(2010)6. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його ребер.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: В.
(2010)35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут –
. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом
. Знайдіть об’єм піраміди (у см3).
Відповідь: .
(2010)35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут –
. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом
. Знайдіть об’єм піраміди (у см3).
Відповідь: .
(2010)35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут –
. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом
. Знайдіть об’єм піраміди (у см3).
Відповідь: .
(2011)25. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює см2. Периметр основи призми дорівнює
см. Визначте висоту призми.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: В.
(2011)33. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною см і основами
см і
см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса
(у см2), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом
. У відповіді запишіть значення
.
Відповідь: .
(2011)33. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною см і основами
см і
см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса
(у см2), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом
. У відповіді запишіть значення
.
Відповідь: .
(2011)33. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною см і основами
см і
см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса
(у см2), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом
. У відповіді запишіть значення
.
Відповідь: .
(2012)15. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см, а її апофема –
см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Б.
(2012)31. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція
. Основа
трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу
. Через бічне ребро
призми проведено площину паралельно ребру
. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см2), якщо об’єм призми дорівнює
см3, а її висота –
см.
Відповідь: .
(2012)31. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція
. Основа
трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу
. Через бічне ребро
призми проведено площину паралельно ребру
. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см2), якщо об’єм призми дорівнює
см3, а її висота –
см.
Відповідь: .
(2012)31. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція
. Основа
трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу
. Через бічне ребро
призми проведено площину паралельно ребру
. Знайдіть площу утвореного перерізу (у см2), якщо об’єм призми дорівнює
см3, а її висота –
см.
Відповідь: .
(2012)16. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см, а бічне ребро –
см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: А.
(2012)31. Основою прямої трикутної призми є рівнобедрений трикутник
, де
см,
см. Через бічне ребро
призми проведено площину, перпендикулярну до ребра
. Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює
см2.
Відповідь: .
(2012)31. Основою прямої трикутної призми є рівнобедрений трикутник
, де
см,
см. Через бічне ребро
призми проведено площину, перпендикулярну до ребра
. Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює
см2.
Відповідь: .
(2012)31. Основою прямої трикутної призми є рівнобедрений трикутник
, де
см,
см. Через бічне ребро
призми проведено площину, перпендикулярну до ребра
. Визначте об’єм призми (у см3), якщо площа утвореного перерізу дорівнює
см2.
Відповідь: .
(2013)11. Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2013)32. Основою піраміди є трапеція
, довжина середньої лінії якої дорівнює
см. Бічне ребро
перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції
. Знайдіть відстань від середини ребра
до площини
(у см), якщо об’єм піраміди дорівнює
см3.
Відповідь: .
(2013)32. Основою піраміди є трапеція
, довжина середньої лінії якої дорівнює
см. Бічне ребро
перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції
. Знайдіть відстань від середини ребра
до площини
(у см), якщо об’єм піраміди дорівнює
см3.
Відповідь: .
(2013)32. Основою піраміди є трапеція
, довжина середньої лінії якої дорівнює
см. Бічне ребро
перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції
. Знайдіть відстань від середини ребра
до площини
(у см), якщо об’єм піраміди дорівнює
см3.
Відповідь: .
(2013)12. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює см, а периметр її бічної грані –
см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: В.
(2013)32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює . Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює
см.
Відповідь: .
(2013)32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює . Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює
см.
Відповідь: .
(2013)32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює . Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом
. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см2), якщо її висота дорівнює
см.
Відповідь: .
(2014)16. На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см2).
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: А.
(2014)19. На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють см,
см і
см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить
см, а товщина днища –
см. Який об’єм бетону (у м3) було використано для виготовлення
таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2014)17. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як . Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює
см2.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Б.
(2015)14. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см, а сторона її основи –
см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2015)33. Основою прямої чотирикутної призми є прямокутник зі сторонами
см і
см. Площина, що проходить через вершини
,
і
призми, утворює з площиною її основи кут
. Визначте висоту призми (у см).
Відповідь: .
(2015)33. Основою прямої чотирикутної призми є прямокутник зі сторонами
см і
см. Площина, що проходить через вершини
,
і
призми, утворює з площиною її основи кут
. Визначте висоту призми (у см).
Відповідь: .
(2015)33. Основою прямої чотирикутної призми є прямокутник зі сторонами
см і
см. Площина, що проходить через вершини
,
і
призми, утворює з площиною її основи кут
. Визначте висоту призми (у см).
Відповідь: .
(2015)32. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом . Визначте об’єм (у см3) цієї піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює
см.
Відповідь: .
(2016)17. Визначте об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює .
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: А.
(2016)32. Основою піраміди є ромб
, більша діагональ якого
. Грань
є рівнобедреним трикутником
і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро
нахилено до площини основи піраміди під кутом
. Визначте кут між площинами
і
, якщо висота піраміди дорівнює
.
Відповідь: .
(2016)17. На рисунку зображено фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми, утворений з двох її сусідніх граней. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть площу повної поверхні цієї призми.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2016)32. Основою піраміди є гострокутний рівнобедрений трикутник
,
. Грані
і
перпендикулярні до площини основи піраміди, а ребро
нахилене до неї під кутом
. Визначте кут між площинами
і
, якщо площа основи піраміди дорівнює
.
Відповідь: .
(2017)16. Периметри основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює
см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2017)32. Основою правильної призми є рівносторонній трикутник
. Точка
– середина ребра
. Площина, що проходить через точки
,
та
, утворює з площиною основи призми кут
. Визначте об’єм призми
, якщо відстань від вершини
до грані
дорівнює
.
Відповідь: .
(2017)19. Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює см, а довжина бічного ребра –
см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: А.
(2017)32. Основою прямої призми є прямокутник
, у якому діагональ
,
. Площина, що проходить через вершину верхньої основи та діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут
. Визначте об’єм заданої призми.
Відповідь: або
.
(2018)15. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює см, а периметр основи призми становить
см.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: Г.
(2018)32. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи
дорівнює
, а бічне ребро
утворює з площиною основи кут
. Через основу висоти піраміди паралельно грані
проведено площину
.
1. Побудуйте переріз піраміди площиною
.
2. Обґрунтуйте вид перерізу.
3. Визначте периметр перерізу.
Відповідь: 3. .
(2018)16. Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює см2.
А |
Б |
В |
Г |
Д |
|
|
|
|
|
Відповідь: А.
(2018)32. У правильній чотирикутній піраміді через діагональ
основи перпендикулярно до бічного ребра
проведено площину
. Ця площина утворює з площиною основи піраміди кут
. Висота піраміди дорівнює
.
1. Побудуйте переріз піраміди площиною
.
2. Обґрунтуйте вид перерізу.
3. Визначте площу перерізу.
Відповідь: .