VI. Стереометрія. Частина 2. Многогранники

Многогранники.

 

 (2006)36. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см. Апофема утворює з площиною основи кут . Обчисліть площу бічної поверхні піраміди (у см²).

Відповідь: .

 

(2007)35. Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює см і нахилена під кутом до площини основи. Знайдіть об’єм піраміди.

Відповідь: .

 

(2007)36. У правильній чотирикутній піраміді ( – вершина) бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника , проведеною з вершини , та середньою лінією трикутника , що паралельна основі піраміди.

Відповідь: .

 

(2008)24. На рисунку зображено розгортку поверхні тіла, складеного з двох квадратів і чотирьох однакових прямокутників, довжина сторін яких – см і см. Визначте об’єм цього тіла.

А	Б	В	Г	Д
см3	см3	см3	см3	інша відповідь

Відповідь: А.

 

(2008)34. У правильній трикутній піраміді з основою бічне ребро удвічі більше за сторону основи. Точки і є серединами ребер і відповідно. Через пряму паралельно до ребра проведено площину . Знайдіть кут між площиною і площиною . У відповідь запишіть значення .

Відповідь: .

 

(2009)24. Об’єм куба дорівнює см³ (див. рисунок). Обчисліть об’єм піраміди (у см³).

Відповідь: .

 

(2010)6. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його вершин.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: Г.

 

(2010)12. На рисунку зображено куб . Перерізом куба площиною, що проходить через точки , , є

А	Б	В	Г	Д
прямокутний трикутник	рівносторонній трикутник	прямокутник	ромб	трапеція

Відповідь: В.

 

(2010)35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює . Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2010)35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює . Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2010)35. Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює . Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2010)6. На рисунку зображено розгортку многогранника. Визначте кількість його ребер.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: В.

 

(2010)35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут – . Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Знайдіть об’єм піраміди (у см³).

Відповідь: .

 

(2010)35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут – . Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Знайдіть об’єм піраміди (у см³).

Відповідь: .

 

(2010)35. Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює см, гострий кут – . Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом . Знайдіть об’єм піраміди (у см³).

Відповідь: .

 

(2011)25. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є прямокутник, площа якого дорівнює см². Периметр основи призми дорівнює см. Визначте висоту призми.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: В.

 

(2011)33. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною см і основами см і см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса (у см²), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . У відповіді запишіть значення .

Відповідь: .

 

(2011)33. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною см і основами см і см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса (у см²), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . У відповіді запишіть значення .

Відповідь: .

 

(2011)33. У чотирикутну піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з бічною стороною см і основами см і см, вписано конус. Знайдіть площу бічної поверхні конуса (у см²), якщо всі бічні грані піраміди нахилені до площини основи під кутом . У відповіді запишіть значення .

Відповідь: .

 

(2012)15. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см, а її апофема – см. Визначте косинус кута між площиною бічної грані піраміди і площиною основи.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: Б.

 

(2012)31. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція . Основа трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу . Через бічне ребро призми проведено площину паралельно ребру . Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об’єм призми дорівнює см³, а її висота – см.

Відповідь: .

 

(2012)31. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція . Основа трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу . Через бічне ребро призми проведено площину паралельно ребру . Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об’єм призми дорівнює см³, а її висота – см.

Відповідь: .

 

(2012)31. Основою прямої призми є рівнобічна трапеція . Основа трапеції дорівнює висоті трапеції і в шість разів більша за основу . Через бічне ребро призми проведено площину паралельно ребру . Знайдіть площу утвореного перерізу (у см²), якщо об’єм призми дорівнює см³, а її висота – см.

Відповідь: .

 

(2012)16. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см, а бічне ребро – см. Визначте косинус кута між бічним ребром і площиною основи.

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: А.

 

(2012)31. Основою прямої трикутної призми є рівнобедрений трикутник , де см, см. Через бічне ребро призми проведено площину, перпендикулярну до ребра . Визначте об’єм призми (у см³), якщо площа утвореного перерізу дорівнює см².

Відповідь: .

 

(2012)31. Основою прямої трикутної призми є рівнобедрений трикутник , де см, см. Через бічне ребро призми проведено площину, перпендикулярну до ребра . Визначте об’єм призми (у см³), якщо площа утвореного перерізу дорівнює см².

Відповідь: .

 

(2012)31. Основою прямої трикутної призми є рівнобедрений трикутник , де см, см. Через бічне ребро призми проведено площину, перпендикулярну до ребра . Визначте об’єм призми (у см³), якщо площа утвореного перерізу дорівнює см².

Відповідь: .

 

(2013)11. Знайдіть площу повної поверхні куба, діагональ якого дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Відповідь: Г.

 

(2013)32. Основою піраміди є трапеція , довжина середньої лінії якої дорівнює см. Бічне ребро перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції . Знайдіть відстань від середини ребра до площини (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює см³.

Відповідь: .

 

(2013)32. Основою піраміди є трапеція , довжина середньої лінії якої дорівнює см. Бічне ребро перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції . Знайдіть відстань від середини ребра до площини (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює см³.

Відповідь: .

 

(2013)32. Основою піраміди є трапеція , довжина середньої лінії якої дорівнює см. Бічне ребро перпендикулярне до площини основи піраміди і вдвічі більше від середньої лінії трапеції . Знайдіть відстань від середини ребра до площини (у см), якщо об’єм піраміди дорівнює см³.

Відповідь: .

 

(2013)12. Сторона основи правильної чотирикутної призми дорівнює см, а периметр її бічної грані – см. Знайдіть площу бічної поверхні цієї призми.

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Відповідь: В.

 

(2013)32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює . Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2013)32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює . Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2013)32. Основою піраміди є ромб, тупий кут якого дорівнює . Дві бічні грані піраміди, що містять сторони цього кута, перпендикулярні до площини основи, а дві інші бічні грані нахилені до площини основи під кутом . Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см²), якщо її висота дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2014)16. На рисунку зображено розгортку піраміди, що складається з квадрата, сторона якого дорівнює см, і чотирьох правильних трикутників. Визначте площу бічної поверхні цієї піраміди (у см²).

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: А.

 

(2014)19. На площі міста встановили однакові бетонні ємності для квітів, виготовлені у формі прямокутних паралелепіпедів, виміри яких дорівнюють см, см і см (див. рисунок). Товщина кожної з чотирьох бічних стінок становить см, а товщина днища – см. Який об’єм бетону (у м³) було використано для виготовлення таких ємностей? Утратою бетону під час виготовлення знехтуйте.

А	Б	В	Г	Д
м3	м3	м3	м3	м3

Відповідь: Г.

 

(2014)17. Основою прямої призми є трикутник, довжини сторін якого відносяться як . Обчисліть площу бічної поверхні цієї призми, якщо площа найменшої бічної грані дорівнює см².

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Відповідь: Б.

 

(2015)14. Висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює см, а сторона її основи – см. Знайдіть довжину бічного ребра піраміди.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: Г.

 

(2015)33. Основою прямої чотирикутної призми є прямокутник зі сторонами см і см. Площина, що проходить через вершини , і призми, утворює з площиною її основи кут . Визначте висоту призми (у см).

Відповідь: .

 

(2015)33. Основою прямої чотирикутної призми є прямокутник зі сторонами см і см. Площина, що проходить через вершини , і призми, утворює з площиною її основи кут . Визначте висоту призми (у см).

Відповідь: .

 

(2015)33. Основою прямої чотирикутної призми є прямокутник зі сторонами см і см. Площина, що проходить через вершини , і призми, утворює з площиною її основи кут . Визначте висоту призми (у см).

Відповідь: .

 

(2015)32. Бічна грань правильної чотирикутної піраміди нахилена до площини основи під кутом . Визначте об’єм (у см³) цієї піраміди, якщо радіус вписаної в неї кулі дорівнює см.

Відповідь: .

 

(2016)17. Визначте об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а периметр основи дорівнює .

А	Б	В	Г	Д

Відповідь: А.

 

(2016)32. Основою піраміди є ромб , більша діагональ якого . Грань є рівнобедреним трикутником і перпендикулярна до площини основи піраміди. Ребро нахилено до площини основи піраміди під кутом . Визначте кут між площинами і , якщо висота піраміди дорівнює .

Відповідь: .

 

(2016)17. На рисунку зображено фрагмент розгортки правильної чотирикутної призми, утворений з двох її сусідніх граней. Використовуючи зазначені на рисунку розміри, обчисліть площу повної поверхні цієї призми.

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Відповідь: Г.

 

(2016)32. Основою піраміди є гострокутний рівнобедрений трикутник , . Грані і перпендикулярні до площини основи піраміди, а ребро нахилене до неї під кутом . Визначте кут між площинами і , якщо площа основи піраміди дорівнює .

Відповідь: .

 

(2017)16. Периметри основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює см. Визначте довжину висоти піраміди, якщо її апофема дорівнює см.

А	Б	В	Г	Д
см	см	см	см	см

Відповідь: Г.

 

(2017)32. Основою правильної призми є рівносторонній трикутник . Точка – середина ребра . Площина, що проходить через точки , та , утворює з площиною основи призми кут . Визначте об’єм призми , якщо відстань від вершини до грані дорівнює .

Відповідь: .

 

(2017)19. Визначте площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, довжина сторони основи якої дорівнює см, а довжина бічного ребра – см.

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Відповідь: А.

 

(2017)32. Основою прямої призми є прямокутник , у якому діагональ , . Площина, що проходить через вершину верхньої основи та діагональ нижньої основи призми, утворює з площиною основи гострий кут . Визначте об’єм заданої призми.

Відповідь: або .

 

(2018)15. На рисунку зображено розгортку правильної трикутної призми. Визначте площу бічної поверхні призми, якщо периметр розгортки (суцільна лінія) дорівнює см, а периметр основи призми становить см.

А	Б	В	Г	Д
см2	см2	см2	см2	см2

Відповідь: Г.

 

(2018)32. У правильній чотирикутній піраміді сторона основи дорівнює , а бічне ребро утворює з площиною основи кут . Через основу висоти піраміди паралельно грані проведено площину .

1. Побудуйте переріз піраміди площиною .

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте периметр перерізу.

Відповідь: 3. .

 

(2018)16. Обчисліть об’єм правильної трикутної призми, бічні грані якої є квадратами, а площа основи дорівнює см².

А	Б	В	Г	Д
см3	см3	см3	см3	см3

Відповідь: А.

 

(2018)32. У правильній чотирикутній піраміді через діагональ основи перпендикулярно до бічного ребра проведено площину . Ця площина утворює з площиною основи піраміди кут . Висота піраміди дорівнює .

1. Побудуйте переріз піраміди площиною .

2. Обґрунтуйте вид перерізу.

3. Визначте площу перерізу.

Відповідь: .