"Від цікавого до складного" Завдання для підготовки до математичних олімпіад

Скарбничка математичних ідей

«Від цікавого до складного»

Математика цікава тоді, коли дає поживу нашій винахідливості до міркувань.                                  Д. Пойа.

Підготувала

вчитель математики Шеремет В.П.

Удайцівська ЗОШ І-ІІ ступенів

Той, хто народився хорошим математиком, має хороші здібності до всіх інших знань. Сократ.

Смак до вивчення математики приходить під час розв´язування задач, які потребують логічного мислення, просторової уяви та кмітливості. Таке заняття цікаве, але водночас і складне. Воно допомагає осягнути красу і велич математики та відчути радість творчого пошуку. Здійснити захоплюючу мандрівку до дивовижного та чарівного світу математики допоможуть наведені нижче завдання, які потребують уваги, зосередженості, кмітливості та вміння долати труднощі.

Пропоновані завдання надають можливість перевірити рівень логічного, проблемного, критичного, комбінаторного та візуального мислення учнів. Можна застосувати для роботи зі здібними до математики дітьми, як хвилинки відпочинку на уроках, а також у процесі підготовки та проведенні шкільних математичних олімпіад.

ДЕВІЗ: Пробудіть, викличте зацікавленість, схвилюйте, спровокуйте учнів пригадати те, що вони знають…

*****************************************

«ВЕСЕЛА РОЗМИНКА».

 Півхвилинки відпочинку на уроці.

1. Семеро чекали на восьмого 14 хв. Скільки хвилин чекав кожний окремо?
2. Як називається другий місяць літа?
3. Петро ліг спати о 9 годині вечора, а будильник поставив на десяту годину ранку. Скільки часу він проспав?
4. Яке каміння в морі?
5. Стіл має чотири кути. Один кут спиляли. Скільки кутів залишилося?
6. Скільки пар ніг у коня? А в курки?
7. Вісім яєць варилося 4 хв. Скільки хвилин варилося кожне яйце?
8. Що таке 33 січня?
9. О 14 годині у Львові падав дощ. Чи буде сонячна погода у Львові через 10 годин?
10. У двох носорогів два роги. Скільки рогів у двадцяти носорогів?
11. Яких каменів немає в річці?
12. Скільки кінців має одна палиця? А дві?

Дорогу здолає той, хто йде… Тож ходімо!

***********************************

Завдання з логічним навантаженням для учнів 5 класу.

Про свої здібності людина може дізнатися тільки спробувавши їх застосувати. Л. Сенека.

1. Бабуся спекла 12 тістечок для своїх онуків. Спочатку вона прикрасила 7 тістечок родзинками, а потім 7 – горішками. Усі тістечка виявились прикрашеними. Скільки тістечок були прикрашені як родзинками, так і горішками?
2. Довжина дошки 6 м. Довжина її середньої частини 3 м. Дві інші частини мають однакові довжини. Довжина кожної з них дорівнює?
3. Чотири шоколадки коштують на 6 гривень більше, ніж одна така ж шоколадка. Скільки коштує одна шоколадка?
4. Чому дорівнює сума усіх правильних дробів із знаменником 5?
5. Восьма частина відстані від Марічки до Іринки дорівнює 100 м. Яка відстань між подругами?
6. Сума років Ганни, Богдана та Романа дорівнює 31 рік. Чому дорівнюватиме сума їхніх років через три роки?
7. Михайлик кожних 15 хв з´їдає цукерку. Першу цукерку він з´їв об 11:05. О котрій годині Михайлик з´їсть четверту цукерку?
8. Число 35 ділиться на свою останню цифру, а число 38 – ні. Скільки чисел, більших, ніж 20, і менших, ніж 30, діляться на свою останню цифру?
9. Різниця двох цілих додатних чисел дорівнює 44. Якщо кожне число збільшити на 5, то одне число стане в 5 разів більшим, ніж інше. Тоді менше з даних чисел буде дорівнювати?
10. Скільки разів серед натуральних чисел від 1 до 100 зустрічається цифра 1?
11. Гусінь повзе по стовпу висотою 8 м від його основи. Щодня вона проповзає 5 м угору, а вночі спускається на 4 м униз. Коли вона доповзе до верху стовпа?

Декілька способів швидких обчислень

1. Щоб від суми відняти число, треба від одного з доданків відняти число і додати другий доданок. Наприклад, (а+в)-с=(а-с)+в=(в-с)+а, (143+84)-43=(143-43)+84=184.
2. Щоб від числа відняти суму двох чисел, треба від числа відняти один з доданків, а потім від одержаного результату відняти другий доданок. Наприклад, а-(в+с)=(а-в)-с=(а-с)-в, 1348-(75+348)=(1348-348)-75=925.
3. Якщо один з доданків збільшити на декілька одиниць, то із одержаної суми треба відняти стільки ж одиниць. Наприклад, 476+927=476+(927+3)-3=476+930-3=1406-3=1403.
4. Якщо один з доданків збільшити на декілька одиниць, а другий зменшити на стільки ж одиниць, то сума не зміниться. Наприклад, 897+346=(897+3)+(346-3)=900+343=1243.
5. Якщо зменшуване та від’ємник збільшити на декілька одиниць, то різниця не зміниться. Наприклад, 1751-996=(1751+4)-(995+4)=755.
6. Якщо до суми двох чисел додати їх різницю, то одержимо подвоєне перше число. Наприклад, (78+34)+(78-34)=2∙78=156.
7. Якщо від суми двох чисел відняти їх різницю, то одержимо подвоєне друге число. Наприклад, (54+37)-(54-37)=2∙37=74.

Розкладання на прості множники.

1. У всіх вагонах пасажирського потяга порівно розмістили 737 туристів. Скільки вагонів і скільки туристів у кожному вагоні?  (737=11∙67).
2. Школярі двох шостих класів виготовили в шкільних майстернях 123 лопати. Скільки працювало школярів і скільки лопат виготовив кожний, якщо лопат виготовили порівну?
3. Капітан Врунгель повідомив, що йому вдалося знайти таке натуральне число, добуток усіх цифр якого в десятковому записі дорівнює 6552. Доведіть, що й цього разу він сказав неправду.
4. Чи може сума чотирьох послідовних натуральних чисел бути простим  числом?

Принцип Діріхле.

1. Є 25 коробок цукерок трьох сортів. Доведіть, що серед них знайдуться 9 коробок цукерок того самого сорту.  (Припустимо, що коробок цукерок того самого сорту менше ніж 9. Тоді загальна кількість коробок буде меншою ніж 25. Наприклад, якщо навіть усіх сортів по 8 коробок, то всього буде 24 коробки. Тоді коробка, що залишилася, є 9 коробкою цукерок одного із сортів. Що й потрібно було довести.)
2. Сім учнів зібрали 100 грибів, причому кожний – різну кількість. Доведіть, що серед них завжди існують три учні, що зібрали разом менш ніж 50 грибів.
3. В одному з будинків живуть 30 учнів однієї школи. Доведіть, що серед цих учнів є хоча б два учні з одного класу, якщо в школі 28 класів.
4. У коробці лежать однакові прапорці: 20 червоних, 15 білих і 10 жовтих. Яке найменше число прапорців треба взяти навмання, щоб серед них  свідомо було не менше ніж три? А)червоний; Б)одного кольору; В)різного кольору.
5. У темній кімнаті стоїть шафа, в шухляді якої лежать 24 червоних і 24 синіх шкарпетки. Яку найменшу кількість шкарпеток треба взяти із шухляди навмання, щоб з них свідомо можна було скласти принаймні одну пару шкарпеток одного кольору?

Задачі на знаходження числа.

1. Якщо до двозначного числа ліворуч і праворуч приписати по одиниці, то воно збільшиться у 21 раз. Знайдіть це число.
2. Тризначне число закінчується цифрою 3. Якщо цю цифру помістити в початок запису числа, то нове число буде на одиницю  більше від потроєного первісного числа. Знайдіть первісне число.
3. Тризначне число закінчується цифрою 7. Якщо цю цифру переставити на перше місце, то отримаємо число, у 2 рази і ще на 21 одиницю більше від первісного. Визначте це число.
4. Обчисліть:99-97+95-93+…+3-1. (50).
5. Обчисліть:1+2-3-4+5+6-7-8+…+301+302.
6. Знайдіть суму всіх парних чисел від 2 до 100 включно.
7. Знайдіть суму всіх непарних чисел від 1 до 99 включно.

Задачі на парність.

1. Чи можна 30 яблук розкласти на три купки так, щоб число яблук у кожній купці було непарним? (не можна)
2. Чи можна 10 олівців розкласти на дві купки так, щоб число олівців у кожній купці було непарним? А на три купки?
3. Чи можна розміняти  25 карбованців за допомогою десяти купюр вартістю в 1, 3 і 5 карбованців?
4. Чи можна заплатити 16 копійок за допомогою п’яти монет достоїнством у 1 к., 3 к., 5 к.?
5. Чи можна дошку розміром 5 на 5 заповнити доміношками розміром 1 на 2?
6. Скільки нулів стоїть у кінці добутку всіх натуральних чисел від 10 до 25?
7. Скількома різними способами число 10 можна подати у вигляді суми чотирьох непарних натуральних чисел?
8. Скількома способами можна подати число 50 у вигляді суми двох парних натуральних чисел?
9. Як зміниться сума, якщо один з доданків збільшити на 2 одиниці, у 2 рази? Кожний із доданків зменшити на 2 одиниці, у 2 рази?
10. Сума двох чисел на 7 більше від першого доданка. Чому дорівнює другий доданок?
11. Сума двох чисел дорівнює 180. Частка від ділення більшого числа на менше – 8. Знайти ці числа.
12. Розбити прямокутник на три таких трикутники, щоб площа одного з них дорівнювала б сумі площ двох інших.
13. Знайти сторону такого квадрата, в якого площа і периметр виражені одним числом.
14. Сторону квадрата збільшили на 5 см і отримали другий квадрат з площею 81 см². Знайти площу першого квадрата.
15. Знайти об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо дві його грані площею 45 см² і 54 см² мають спільне ребро довжиною 9 см.
16. Добуток двох чисел – непарне число. Доведи, що їх сума – число парне.
17. Сума двох чисел – непарне число. Доведи, що їх добуток – число парне.
18. На полі пасуться гуси і кролі. Всього є 27 голів і 78 лапок. Скільки на полі гусей і скільки кролів?
19. Пішохід пройшов певну відстань зі швидкістю 6 км/год, а повертався назад зі швидкістю 4 км/год. З якою середньою швидкістю йшов пішохід?
20. Сума чотирьох послідовних натуральних чисел дорівнює 82. Що це за числа?
21. Яке найбільше та найменше значення має частка від ділення трицифрового числа на суму його цифр?
22. Знайди найбільше натуральне числа, в якому всі цифри різні.
23. Перестав цифри в числі 89007651 так, щоб воно стало: а)якнайбільшим;    б)якнайменшим.
24. У числі 596887 закресли три цифри так, щоб одержати число:  а)якнайбільше;   б)якнайменше.
25. В урні є 5 білих та 5 чорних куль. Яку найменшу кількість куль треба витягти з урни, щоб серед витягнутих куль напевно була принаймні одна чорна куля?
26. В урні є 6 білих і 9 чорних куль. Яку найбільшу кількість куль потрібно витягти з урни, щоб серед куль, залишених у ній, напевно були принаймні дві чорні?
27. У легкоатлетичній секції займаються 40 учнів, причому 27 з них стрибають у довжину, а 28 – у висоту. Скільки учнів стрибають і в довжину, і в висоту? (Круги Ейлера).
28. Визнач найменше натуральне число, більше за 1, яке є одночасно і квадратом, і кубом натурального числа.
29. Чи може парне число мати непарних дільників більше, ніж парних?
30. Чи існує натуральне число, яке при множенні на 2 стає квадратом натурального числа, а при множенні на 3 – кубом натурального числа?
31. Бісектриса кута трикутника перетинає протилежну сторону під кутом 73˚, а бісектрису одного з дох інших кутів під кутом 58˚. Знайдіть кути трикутника.
32. У двох бідонах 70 л молока. Якщо з першого бідона перелити в другий 12,5 % молока, що є в цьому бідоні, то в обох бідонах молока буде порівну. Скільки літрів молока в кожному бідоні?
33. Ціна на товар була підвищена на 20%, а потім два рази знижувалась кожного разу на 10%. Як змінилась ціна товару?
34. Знайдіть усі тризначні натуральні числа  а такі, що сума цифр числа  а в 11 разів менша від самого числа а.
35. Квиток для дорослого в зоопарк коштує 4 гривні, а дитячий на 1 гривню дешевший. Скільки гривень має заплатити батько, щоб відвідати зоопарк з двома дітьми?
36. Квіткар продає 24 білі, 42 червоні і 36 жовтих троянд. Яку найбільшу кількість однакових букетів він може зробити, якщо хоче використати всі квіти?
37. Уміст цукру в яблуках 9,6%. Скільки кілограмів цукру містять 75 кг таких яблук?
38. Товар коштував 140 грн. Через деякий час його ціна збільшилася на 35 грн. На скільки відсотків підвищилася ціна товару?
39. Який відсотковий уміст солі в розчині, якщо 400г розчину містять 36 г солі?
40. Одне з чисел утричі більше від іншого, а їх сума дорівнює 40. Знайти менше із чисел.
41. Чи можна 59 банок консервів розмістити в три ящики так, щоб у третьому було на 9 банок більше, ніж у першому, а в другому на 4 банки менше, ніж у третьому?
42. У багатодітній родині десятеро дітей народилися з інтервалом в один рік. Найстарший, Максим, у 4 рази старший від Наталки, наймолодшої з дітей. Скільки років Максимові?  (12).
43. Вантаж масою 33 т перевезли трьома вантажівками вантажопідйомністю 3;5 і 9 тонн, використавши усі автомобілі. На скільки більше поїздок зробила 5-тонна вантажівка, ніж 3-тонна?(Однаково).
44. Під час епідемії грипу занедужало 40% населення. Епідемія врешті не зашкодила здоров’ю 92% населення. Який відсоток хворих не уник ускладнень? (0,08х:0,4х)100%=20%.
45. Що швидше: половину шляху пройти пішки, а іншу половині проїхати на машині чи половину витраченого часу йти пішки, а іншу половину їхати на машині?
46. Батькові й сину разом 65 років. Син народився, коли батькові було 25 років. Якого віку батько й син?
47. Складіть із 6 сірників 4 однакові рівносторонні трикутники.
48. Точки А,В,С і Д відмічено на прямій у певному порядку. Відомо, що АВ=13, ВС=11, СД=14 і ДА=12. Якою є відстань між крайніми двома точками?

МИСЛЕННЯ ПОЧИНАЄТЬСЯ ЗІ ЗДИВУВАННЯ. Аристотель.

**************************

«За лаштунками підручника з математики»

1. Онук у 4,5 рази молодший від діда. Скільки років кожному з них, якщо їх вік записується одними й тими самими цифрами?
2. Як можна відміряти 9 хв за допомогою пісочних годинників на 5 хв та на 7 хв?
3. У трикутнику АВС кут А більший за кут В. Довести, що довжина сторони ВС більша за половину довжини сторони АВ.
4. У сільській початковій школі навчається всього 20 учнів. У будь-яких двох з них є спільний дід. Довести, що в одного з дідів у цій школі навчається не менше 14 онуків та онучок.
5. Основи трапеції дорівнюють а і в. Знайти довжину відрізка, який з’єднує середини діагоналей трапеції.
6. На площині 10 точок. Скільки існує відрізків, що сполучають ці точки?
7. Побудувати графік функції у=х|х|+1.
8. Для яких натуральних чисел n число n²+5 ділиться на n+5?
9. Точка М поділяє сторону АD прямокутника АВСD у відношенні 1:2, причому МВ=МD. Знайти величину кута між діагоналями цього прямокутника.
10. Побудувати графік рівняння |х|-|у|=4.

Тисячі шляхів ведуть до помилки, до істини – тільки один.  Ж.Ж.Руссо.

*****************************************

Не соромно, коли математик б´ється над складною задачею. Поки він зрозуміє, що вона складна, - він для себе відкриє багато корисних речей.

1. У Чорному морі відношення маси солі до маси прісної води дорівнює 7:193. Скільки кілограмів солі є у 1000 кг морської солі?
2. Олексій запалює свічки кожні 10 хвилин. Кожна свічка горить протягом 40 хвилин, а потім згасає. Скільки свічок будуть горіти через 55 хвилин після того, як Олексій запалить першу свічку?
3. Ру загадав для Кенга число, добуток цифр якого дорівнює 24. Чому дорівнює сума цифр найменшого числа, яке міг загадати Ру?
4. Оксана придбала по 4 шоколадки для кожного з чотирьох членів своєї сім´ї. У магазині діяла акція: кожна шоста шоколадка – безкоштовна, 1 шоколадка – 20 грн. Скільки заплатила Оксанка?
5. Добуток трьох різних чисел з множини 2,4,16,25,50,125 дорівнює 1000. Чому дорівнює сума цих трьох чисел?

Завдання які можна запропонувати учням під час проведення шкільної олімпіади з математики.

Олімпіада – це одна із форм позакласної роботи, яка прилучає учнів до науки та сприяє розвитку пізнавальних інтересів учнів, обґрунтовує вибір майбутньої професії, підвищує науково-методичний рівень викладання математики в школі. В учнів, які постійно беруть участь у конкурсах, олімпіадах, турнірах, виробляється психологічна стійкість до стресових ситуацій.

6 клас

1. Напишіть найменше десятицифрове число, у якого всі цифри різні.
2. Учні двох шостих класів, у кожному з яких не менше 30 школярів, купили 737 підручників. Кожен учень купив однакову кількість книжок. Скільки було шестикласників і скільки книжок купив кожен?
3. Під час ранкової зарядки учні вишикувались в шеренгу по одному з інтервалом 1 м. Довжина шеренги 30 м. Скільки учнів було на зарядці?
4. Сестра дала одному своєму брату половину всіх груш, які були в неї і ще 5 груш, а другому половину решти і останні 5 груш. Скільки було груш у сестри?
5. Розв´яжіть рівняння 9х-6х-0,15=6,15.
6. На дошці написане число  645*7235. Замініть зірочку цифрою так, щоб отримане число ділилося на 3.

7 клас

1. Під час ранкової зарядки учні вишикувались в шеренгу по одному з інтервалом 1 м. Довжина шеренги 30 м. Скільки учнів було на зарядці?
2. Сестра дала одному своєму брату половину всіх груш, які були в неї і ще 5 груш, а другому половину решти і останні 5 груш. Скільки було груш у сестри?
3. Декілька кішок з´їли 899 мишей, причому всі кішки з´їли по однаковій кількості мишей. Скільки було кішок, якщо кожна кішка з´їла більше мишей, ніж було кішок?
4. Я задумав число, додав до нього 1, помножив на 3 і відняв від результату 4. Одержав число 5. Яке число я задумав?
5. Добуток двох цілих чисел дорівнює 217. Чому дорівнюють ці числа, якщо кожне з них менше від 7?
6. Відомо, що а+1 ділиться на 3. Доведіть, що 4+7а ділиться на 3.

8 клас

1. Бісектриси двох внутрішніх кутів трикутника перетинаються під кутом 45⁰. Визначте вид трикутника.
2. Доведіть, що коли від тризначного числа відняти суму його цифр, то одержана різниця ділиться на 9.
3. Онук у 4,5 рази молодший від діда. Скільки років кожному з них, якщо їх вік записується одними й тими самими цифрами?
4. У школі навчається 400 учнів. Чи можна стверджувати, що хоча б  у двох із них збігається день народження?
5. Як записати число 100 використовуючи п’ять одиниць? 5 п’ятірок?
6. Кут між висотою прямокутного трикутника, проведеною з вершини прямого кута, і бісектрисою прямого кута дорівнює 12°. Знайдіть гострі кути  даного прямокутного трикутника.

Математики мають особливий склад мислення. Але його можна виховати практично в кожної людини. Тільки починати треба рано.

**********************************

9 клас

1. Доведіть, що коли від тризначного числа відняти суму його цифр, то одержана різниця ділиться на 9.
2. Онук у 4,5 рази молодший від діда. Скільки років кожному з них, якщо їх вік записується одними й тими самими цифрами?
3. У школі навчається 400 учнів. Чи можна стверджувати, що хоча б  у двох із них збігається день народження?
4. Як записати число 100 використовуючи п’ять одиниць? 5 п’ятірок?
5. Розв´язати рівняння:

| x+4 | = | 7 – x |

6. Дано шість чисел 1,2,3,4,5,6. Дозволяється до будь-яких двох з них одночасно додавати по 1. Чи можна після декількох таких дій зробити всі числа рівними?
7. Говорять, що на питання про те, скільки в нього учнів, давньогрецький математик Піфагор відповів так: «Половина моїх учнів вивчає математику, четверта частина вивчає природу, сьома частина проводить час у мовчазних роздумах, решту складають 3 учні». Скільки учнів було у Піфагора?

Людина прагне до знань, і якщо в ній згасає жага знань – вона перестає бути людиною. Ф.Нансен.

Література

1. Підручна М.В., Янченко Г.М. Позакласна робота з математики у неповній середній школі. – Тернопіль.:Підручники і посібники, 1997.
2. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. – М.:Просвещение. 1981.
3. Кованцов Н.И. Математика и романтика. – К.: Вища школа. 1980.
4. Журнал «Математика в школах України».
5. Журнал «Відкритий урок. Розробки. Технології. Досвід.»