Тема уроку: Приклади задач, що приводять до поняття інтегра­ла. Означення інтеграла

Мета уроку: Познайомити учнів з задачами, які приводять до по­няття інтеграла: задача про площу криволінійної тра­пеції. Формування поняття інтеграла.

І. Перевірка домашнього завдання.

Перевірити правильність виконання домашніх завдань за за­писами, зробленими до початку уроку:

№ 3 (розділ IX). 

№ 3 (розділ X)

II. Самостійна робота.

Варіант 1

1. Для функції f(x) = 3х² знайдіть первісну, графік якої прохо­дить через точку А(0; 1).        (4 бали)

2. Знайдіть загальний вигляд первісних для. функцій:

a) f(x) = cos 2x + sin Зх;    б) f(x) = .      (4 бали)

3. Знайдіть невизначені інтеграли:  a) ;   б) .       (4 бали) Варіант 2

1. Для функції f(x) = 4х³ знайдіть первісну, графік якої прохо­дить через точку А(0; 1).      (4 бали)

2. Знайдіть загальний вигляд первісних для функцій:

a) f(x) = ;    б) f(x) = .     (4 бали)

3. Знайдіть невизначені інтеграли: a) ; б) . (4 бали)

Відповідь: В-1. 1. F(x) = x³ + 1. 2. a) F(x) = sin2x – cos3x + C;

б) . 3. а) ; б) tg(3x - 1) + С.

В-2. 1. F(x) = х⁴ + 1, 2. a) F(x) = tg 2х + ctg х + С;

б) . 3. a) ; б) sin (3х + 2) + С.

III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про криволінійну трапецію та її площу.

У попередніх класах ви навчилися обчислювати площі пря­мокутника, трикутника, паралелограма, трапеції, довільного многокутника, а також площі круга та його частин.

У математиці розроблено методи, що дозволяють обчислю­вати площі фігур, межа яких складається з кривих ліній.

Тепер, використовуючи знання про первісну функції, ми на­вчимося знаходити площі фігур, які називаються криволінійни­ми трапеціями.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графі­ком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а; b], прямими x = а, х = b і відрізком [а; b] (рис. 88).

Нехай треба обчислити площу криволінійної трапеції, обме­женої зверху графіком неперервної функції у = f(x), яка приймає додатні значення, з боків відрізками прямих x = а, х = b, знизу відрізком [а; b], який лежить на осі ОХ (рис. 89).

Розіб'ємо відрізок [a; b] на л рівних частин й позначимо абс­циси точок поділу через           х₁, x₂ ..., x_n-1, a = x_o, b = x_n:               а = x_o < х₁ <x₂ < ... < x_n-1 < x_n= b.

На кожному із цих відрізків побудуємо прямокутники, як по­казано на рисунку 89. Висота прямокутника, побудованого на відрізку   [х_о, х₁], дорівнює у_о = f(x_o); висота прямокутника, побу­довано на відрізку [x₁, х₂], дорівнює           у₁ = f(x₁) і т. д.; висота пря­мокутника, побудованого на відрізку [x_n-1, х_n], дорівнює f(x_n-1)·

Довжина основи кожного прямокутника дорівнює . Слід зазначити, що

x₁ – x_o = x₂ – x₁ = x₃ – x₂ = …= x_n – x_n-1 = x

Об'єднання всіх n прямокутників є східчаста фігура. Позна­чимо її площу через S , тоді

S_n = f(x_o) ·Δx + f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... +f(x_n-1)·Δx =(f(x_о)+f(x₁)+···+f(x_n-1))Δx.

Якщо n→, то Δx→ 0 і, оскільки функція у = f(х) неперерв­на, то східчаста фігура буде все менше відрізнятися від криво­лінійної трапеції. А тому площа S криволінійної трапеції буде все менше відрізнятися від S_n, тобто S_n S. При досить великих п ця наближена рівність справджується з будь-якою точністю. Природно вважати, що S_n при цьому буде наближатися до чис­ла, яке й приймемо за значення площі криволінійної трапеції.

Отже, .

Розглянемо деякі приклади:

Приклад 1. Обчисліть площу трапеції, обме­женої лініями у = 2х, у=0, х=1, х=2 (рис. 90).

Розв'язання

Площу цієї трапеції можна обчислити за відомою формулою із курсу геометрії

.

Для обчислення площі цієї трапеції скорис­туємося способом, який описаний вище. Розіб'є­мо відрізок [1; 2] на n рівних частин:

1 = x_o < x₁ < x₂ < ... < х_n-1 < х_n = 2.

На кожному з цих відрізків (рис. 91) побу­дуємо прямокутники, як це показано на рисун­ку. Об'єднання всіх n прямокутників є східчас­та фігура, площу якої позначимо через S_n. Тоді

.

 У дужках ми одержали суму членів арифметичної прогресії (а_n), у якій     а₁ = 1, d = , n — число членів, тоді:

.

Таким чином,

Площа S даної трапеції виражається формулою .

Отже,  .

Як бачимо, результати об­числення площі трапеції різни­ми способами співпали.

Відповідь: 3.

Приклад 2. Обчисліть приблиз­но площу криволінійної тра­пеції, обмеженої лініями  у = х², у = 0, x = 1, розділив­ши відрізок [0; 1] на 10 рівних частин і побудувавши вписану східчасту фігуру із прямокут­ників (рис. 92).

Розв'язання

Довжина основи кожного прямокутника дорівнює ; висо­ти прямокутників дорівнюють:  , , …, або , , …, . Площа східчастої фігури дорівнює:

= = = 0,285

Площа S криволінійної трапеції приблизно дорівнює 0,285:

Відповідь: " 0,285.

Виконання вправ________________________________

1. Які із заштрихованих на рисунку 93 фігур є криволінійними трапеціями, а які — ні?

Відповідь: а), г), є) — зображення криволінійних трапецій.

2. Побудуйте криволінійні трапеції:

а) у = x², x = 1, x = 2, у = 0; б) у = sin х, x = 0, x = π, y = 0;

в) у = е·*", x = 0, x = 1, y = 0; r) y = , x = 0, x = 4, у = 0.

Відповідь: рис. 94

Рис. 94

3. Обчисліть приблизно площу криволінійної трапеції, обмеже­ної лініями          у = 2^х''¹, х = 0, х = 4, у = 0, розділивши відрізок [0; 4] на чотири рівні частини і побудувавши східчасту фігу­ру із прямокутників.

Відповідь: 7,5.

4. Обчисліть приблизно площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями

у=, x = l, x = 4, y = 0, розділивши відрізок [1; 4] на 6 рівних частин і побудувавши східчасту фігуру із прямокутників.

Відповідь: 3,186.

IV. Сприймання і усвідомлення задачі про знаходження шляху, пройденого тілом.

Математика вивчає різні зв'язки між величинами. Важливі приклади таких зв'язків дає механічний рух. Ми вже багато разів зверталися до прикладу руху матеріальної точки по осі. Між положенням x(t) (координатою) точки і її швидкістю v(t) існує зв'язок:

v(t) = x’(t).

Почнемо знову із задачі про механічний рух. Нехай точка рухається з постійною швидкістю υ = υ₀ . Графіком швидкості в системі координат (t; υ) буде пряма υ = υ₀, паралельна осі часу t. Якщо вважати, що в початковий момент часу t = 0 точка знахо­дилась в початку координат, то шлях її s, пройдений за час t обчислюється за формулою s = υ₀ t. Величина υ₀ t являє собою площу прямокутника, обмеженого графіком швидкості, віссю t і двома вертикальними прямими, тобто шлях точки можна об­числити як площу криволінійної трапеції (рис. 95). Звернемося до випадку нерівномірного руху. Тепер швидкість можна вважати постійною тільки на маленькому проміжку часу.

Розіб'ємо проміжок часу (рис. 96) [0;Τ] на n рівних частин ;

0 = t₀ < t₁ < t₂ < ... < t_n-1 < t_n = Τ,

t₁ - t₀ = t₂ – t₁ = …= t_n – t_n-1 = Δt.

Шлях, пройдений тілом за проміжок часу [t_k; t+Δt], де k = 0, 1, ..., n - 1 приблизно дорівнює добутку υ(t_k)·Δt, а шлях, пройдений тілом за проміжок часу [0; Τ], приблизно дорівнює

.

Якщо n → , то  Δt → 0, і тоді шлях, пройдений тілом за про­міжок часу [0; T], який позначимо через S, дорівнює  .

Отже, S = .

V. Сприймання і усвідомлення поняття інтеграла.

Обидві задачі, які ми розглянули, розв'язувалися одним і тим самим методом, яким розв'язують багато інших задач (знахо­дження роботи змінної сили, знаходження маси неоднорідного стержня і т. д.). Узагальнемо цей метод. Розглянемо непе­рервну функцію         у = f(x), не­від'ємну на відрізку [а; b] (рис. 97). Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин           а = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 <  х_n = b, довжина кожної частини дорівнює  = Δx.

Утворимо суму S добутків f(x_i)·Δx, де і = 0; 1; ... ; n - 1, яка називається інтегральною сумою:  S_n = f(x_o)·Δx + f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... + f(x_n-1)·δx·.

Знайдемо S = .

За означенням цю границю називають інтегралом функції y = f(x) від a до b і позначають (читають так: «інтеграл від a до b еф від x де ікс»).

У позначенні інтеграла все вказує на спосіб його утворення. Знак інтеграла нагадує видовжену латинську букву S — першу букву слова summa (сума). Підінтегральний вираз f(x)dx нагадує вигляд кожного окремого доданка f(x₁)·Δx інтегральної суми. Множник dx в математиці називають диференціалом. Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b — верхньою межею інтегрування. Таким чином, =.

Отже, , якщо f(x) 0 для всіх x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0.

Виконання вправ

1. Побудуйте схематично фігури, площі яких виражаються такими інтегралами:

a) ;     б) ;    в) ;     r) .

Відповідь: рис. 98.

Рис. 98

2. Запишіть за допомогою інтеграла площі фігур, зображених на рисунку 99.

Рис. 99

Відповіді: а); б) ; в) ; г)  

 Слід зазначити, що в означенні інтеграла відрізок [a; b] можна було б ділити на n не обов'язково рівних частин. Але в цьому разі довжина найбільшого з відрізків розбиття повинна прямувати до 0, коли n → .

VI. Підведення підсумків уроку.

VII. Домашнє завдання.

Розділ IX § 4 (1—2). Запитання і завдання для повторення розділу IX № 9, 10.

Знайдіть площу криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

у = ; x = 1, x = 2, у = 0,  розбивши відрізок [1; 2] на десять рівних частин і побудувавши східчасту фігуру із прямокутників.