Тема уроку. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою.

Мета уроку: формування знань учнів про властивості перпендикулярних прямих і площин.

Обладнання: стереометричний набір, схема «Властивості прямо і площини, перпендикулярних між собою» (с. 116).

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

1. Колективне обговорення розв'язування задачі № 10.
2. Математичний диктант.

Дано зображення куба: варіант 1 — рис. 151, варіант 2 — рис. 152.

Користуючись зображенням, запишіть:

1. площину, яка проходить через точку М прямої AM і перпендику­лярна до неї; (2 бали)
2. пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку D;   (2 бали)
3. пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку N;   (2 бали)
4. площину, яка перпендикулярна до прямої BD; (2 бали)
5. прямі, які перпендикулярні до площини АМС; (2 бали)
6. площини, які перпендикулярні до прямої DC. (2 бали)

Відповідь.

Варіант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ACМ); 5) BD і KN; 6) (ADK) і (BCL).

Варіант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) і (ADM).

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою

Теорема 1.

Якщо площина перпендикулярна до од­нієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.

Доведення

Нехай а₁ || а₂ і a₁ α. Доведемо, що α а₂ (рис. 153). Точки А₁ і А₂ — точки перетину а₁ і а₂ з площиною α.

У площині α через точку А₂ проведемо довільну пряму х₂, а через точку А₁ — пряму  х₁ таку, що х₁ || х₂. Оскільки a₁ || а₂,  x₁ || х₂ і а₁ х₁, то за теоремою 3.1   а₂ х₂. Оскільки х₂ вибрана довільно в площині α, то а₂ α.

Теорема 2.

Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої пло­щини, то дані прямі паралельні.

Доведення

Нехай a α , b α . Доведемо, що а || b (рис. 154). Припустимо, що аb. Тоді че­рез точку С прямої b проведемо b₁ , паралель­ну а. Оскільки а α , то і b₁ α за доведе­ною теоремою, а за умовою b α. Якщо точки А і В — точки перетину прямих b₁ і b з площиною α, то з припущення випливає, що в трикутнику <A = <В = 90° , що не може бути. Отже, а || b.

Розв'язування задач

1. Визначте вид чотирикутника AA₁B₁B якщо:

а) АА₁ α; АА₁ || ВВ₁; А α, В α; AA₁ ≠ ВВ₁ (рис. 155);

б) АА₁ α; ВВ_{1 α}; А α, В α (рис. 156);

в) А α; В α; АА₁ α; ВВ₁ α; АА₁ = ВВ₁ (рис. 156).

2. Задача № 12 із підручника (с. 35).

3. Задача № 13 із підручника (с. 35).

4. Задача № 16 із підручника (с. 35).

Теорема 3.

Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралель­них площин, то вона перпендикулярна і до другої.

Доведення

Нехай α || β , а α. Доведемо, що α β. (рис. 157). Нехай точки А і В — точки перети­ну прямої а з площинами α і β. В площині β проведемо через точку В довільну пряму b. Через пряму b і точку А проведемо площину γ, яка перетинає α по прямій с, причому с || b. Оскільки а α , то а с (за означенням пря­мої, перпендикулярної до площини). Оскіль­ки а с, b || с і а, b, с лежать в γ, то          а b. Враховуючи, що b — довільна пряма площи­ни β, маємо  а β.

Теорема 4.

Якщо дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони па­ралельні.

Доведення

Нехай α а, β а, доведемо, що α || β (рис. 158). Нехай точки А і В — точки перети­ну прямої а з площинами α і β. Припустимо, що α β. Візьмемо точку С на прямій перети­ну площин α і β. С а, бо в противному ви­падку через точку С проходили б дві різні пло­щини α і β, перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Проведемо площину γ через точ­ку С і пряму а, ця площина перетинає α і β по прямих АС і ВС відповідно. Оскільки а α, то а АС, аналогічно а ВС. Отже, в пло­щині γ через точку С проходять дві різні пря­мі АС і ВС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, α || β.

Розв'язування задач

1. Нехай ABCD – прямокутник, BS АВ , AM АВ (рис. 159). Як розташовані площини AMD і BSC?
2. В₁ β; АА₁ α, АА₁ β; BВ₁ || АА₁; АА₁ = 12 cm, A₁B = 13 см (рис. 160). Знайти АВ.
3.  А₁ α. В₁ α, А₂ β, В₂ β, AA₁ α; α || β (рис. 161). Визначте вид трикутників AA₁B₁ і АА₂В₂.

III. Домашнє завдання

§ 3, п. 17; контрольні запитання № 5, 6; задачі № 14, 15 (с. 35).

IV. Підведення підсумку уроку

При підведенні підсумку уроку можна скористатися даною схемою.

Запитання до класу

1. Як розташовані прямі, які перпендикулярні до площини?
2. Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярні до прямої?
3. Як розташовані пряма і площина, якщо паралельна пряма до даної прямої перпендикулярна до площини?
4. Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної площини, перпендикулярна до даної прямої?