Заняття №1-2 на тему: «Подільність чисел. Властивості й ознаки подільності чисел» до програми факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики».
Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв’язками та вправи для самостійного виконання.
Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.
Тема 1. Подільність і прості числа
Заняття № 1-2
Подільність чисел. Властивості й ознаки подільності чисел
Як встановити, чи поділиться одне число на інше без остачі? Для цього потрібно знати основні поняття і теореми, пов’язані з подільністю.
Ділення числа а на в можна виразити рівністю: ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.001.png)
, де ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.002.png)
і ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.003.png)
– цілі числа, ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.002.png)
– частка, ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.003.png)
– остача, ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.004.png)
.
При діленні ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.005.png)
на ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.006.png)
можуть бути остачі: ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.007.png)
Якщо ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.008.png)
, це означає, що ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.005.png)
ділиться на ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.006.png)
без остачі: ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.009.png)
, ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.010.png)
.
Подільність – це відношення, яке можна записувати парами, таблицями, стрілками тощо.
Подільність чисел має властивості:
-
Рефлективність
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.011.png)
;
-
Транзитивність
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.012.png)
то ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.013.png)
;
-
Антисиметричність
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.014.png)
, то ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.015.png)
.
Основні теореми, пов’язані з подільністю:
-
(теорема про подільність суми) Якщо кожний доданок ділиться на натуральне число
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.016.png)
, то і сума ділиться на це число. Наприклад, 114+348+908 ділиться на 2? Так як
.
-
(теорема про подільність різниці) Якщо числа
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.018.png)
діляться на число ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.016.png)
і ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.019.png)
, то їх різниця ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.020.png)
.
-
(теорема про подільність добутку) Якщо один з множників добутку ділиться на число
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.021.png)
, то і весь добуток ділиться на число![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.021.png)
. Наприклад,
?. Так як
.
-
Якщо в добутку чисел
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.024.png)
множник ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.005.png)
ділиться на число ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.025.png)
, а число ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.006.png)
на число![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.021.png)
, то добуток ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.024.png)
ділиться на добуток ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.026.png)
. Наприклад,
?. Число
, тоді
, значить
.
-
Якщо в сумі один доданок не ділиться на число
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.016.png)
, а решта доданків ділиться , то вся сума не ділиться на число ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.016.png)
. Наприклад,
? Так як число 125 не ділиться на 2, значить вся сума не ділиться на 2.
Розв'язування задач і вправ.
-
Сума цифр трицифрового числа, всі цифри якого різні, ділиться на 7. Крім того, саме це число ділиться на 7. Знайдіть всі ці числа.
Розв'язання.
Нехай
дане число. За умовою число ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.033.png)
і
.
Маємо
.
Звідси число ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.036.png)
але ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.037.png)
також ділиться на 7, проте
і ділиться на 7. Перебором цифр, але так, щоб виконувалася умова ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.039.png)
визначаємо шукані числа:
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.040.png)
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.041.png)
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.042.png)
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.043.png)
Отже, шукані числа 329, 392, 518, 581.
Відповідь: 329, 392, 518, 581.
-
Знайдіть серед чисел виду
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.044.png)
три числа, кратні 5.
Розв’язання.
Для того, щоб число виду ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.044.png)
ділилося на 5, необхідно, щоб остання цифра в записі цього числа була 0 або 5. Нехай ці числа закінчуються на 0, тоді числа виду ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.045.png)
повинні закінчуватися на 9 і ділитися на 3.
Розглянемо деякі з них, що задовольняють першу вимогу:
9,19,29,39,40,59,69, … .
Виберемо з них ті, що задовольняють і другу вимогу: 9,39,69, … .
Отже, серед чисел виду ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.044.png)
на 5 діляться числа: 9+1=10, 39+1=40, 69+1=70.
Відповідь. 10; 40; 70.
-
До числа 10 справа і зліва приписати по одній цифрі так, щоб дістати число кратне 72.
Розв'язання.
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.046.png)
, тому знайдене число має ділитися на 8 і 9. Тоді воно парне і сума цифр ділиться на 9. Цим умовам задовольняють числа: 6102, 4104, 2106, 9108. З цих чисел на 8 ділиться лише 4104.
Відповідь. 4104
-
Чи існує таке двоцифрове число, яке у два рази менше від двоцифрового числа, кожна цифра якого більша на 2 одиниці від цифр даного числа?
Розв'язання.
Нехай ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.005.png)
цифра десятків, ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.006.png)
цифра одиниць шуканого числа. Маємо рівність
, тобто ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.048.png)
. Оскільки ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.005.png)
і ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.006.png)
– цифри, то маємо ![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.049.png)
Завдання для самостійного розв’язування
-
Чи ділиться добуток
![](/uploads/files/135205/44355/46531_html/images/44355.050.png)
на 2; на 5; на 10?
-
Чи ділиться сума 2126 + 3578 + 731 на 2; на 5; на 10?
-
Використовуючи цифри 0, 1, 4, 5, 7 запишіть шість чотирицифрових чисел, кожне з яких не містить однакових цифр і два з яких діляться на 2, два – на 5, два – на 10.
-
Використовуючи цифри 0, 2, 6, 9, запишіть три чотирицифрових числа, кожне з яких не містить однакових цифр і перше з яких ділиться на 2, друге – на 5, третє – на 10.
-
Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найменше натуральне число, яке ділиться на 2; на 5; на 10.
-
Використовуючи кожну з цифр один раз, запишіть найбільше натуральне число, яке:
-
ділиться на 2, але не ділиться на 10;
-
ділиться на 5, але не ділиться на 2.
-
Запишіть найменше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 10.
-
Запишіть найбільше чотирицифрове число, яке ділиться на 10 і сума цифр якого дорівнює 11.
-
Випишіть усі натуральні числа, розміщені між числами 179 і 205, які діляться на 2, але не діляться на 5.
-
Дано ряд чисел 1, 2, 3,…, 99, 100. Скільки серед них є парних і скільки непарних? Скільки чисел ділиться на 5 і скільки на 10?
Використана література
-
Адлер А. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
-
Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
-
Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
-
Воронець О. М. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
-
Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с.
-
Манін Ю. І., Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
-
Петерсен Ю. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
-
Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
-
Щетников А. І. Як було знайдено де-які розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3-15.
-
Слива Н. В.Математика 7клас. Факультативний курс http://www.fak-matematika_7_klas_sliva_n.v.