Заняття №13-14 на тему «Розв'язування олімпіадних задач»

Заняття №11-12 на тему «Розв’язування олімпіадних задач»

Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв'язками та вправи для самостійного виконання.

Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.

Заняття 11-12

Розв’язування олімпіадних задач

Розв’язування задач на подільність передбачає застосування  ознаки подільності та властивості подільності чисел.

1. Кожен множник розкладу деякого числа є дільником цього числа.
2. Якщо один з множників ділиться на деяке число, то й добуток ділиться на це число.

Наприклад. Добуток чисел 16∙81 буде ділитися на 8, на 27 , на 9 тощо. Оскільки 16 ділиться на 8, 81 ділиться на 27, 9 тощо…

3. Якщо один множник ділиться на х, а другий множник ділиться на число у, то добуток ділиться на ху.
4. Якщо натуральне число n ділиться на число m, то воно ділиться і на дільники числа m.

Розв'язування задач і вправ.

•             Знайти дільники числа n=2∙3∙5∙7.

Розв’язання. Множники 2, 3, 5, 7 є дільниками числа n.

Цей добуток можна записати іншими способами: n=6∙5∙7=3∙10∙7=3∙5∙14=…. Множники 6, 10, 14 також є дільниками числа n.

Це означає, що всі добутки, які можна утворити з простих множників 2, 3, 5, 7, також являються дільниками числа n.

Отже, дільники числа n є 2, 3, 5, 7, 2∙3=6, 2∙5=10, 2∙7=14, 3∙5=15, 3∙7=21, 5∙7=35, 2∙3∙5=30, 2∙3∙7=42, 2∙5∙7=70, 3∙5∙7=105, 2∙3∙5∙7=210.

•             Не перемножуючи, встановіть чи ділиться добуток 148∙75 на 2, на5, на 10.

Розв’язання.

Оскільки 148 ділиться на 2, то добуток ділиться на 2.

Оскільки 75 ділиться на 5, то добуток ділиться на 5.

Оскільки 148 ділиться на 2, а 75 ділиться на 5, то 148∙75 ділиться на 2∙5=10.

Задача. Доведіть, що натуральні числа, записані трьома однаковими цифрами, діляться на 37.

Розв’язання. Всі трицифрові числа з однаковими цифрами можна подати у виді 111n, де n — довільне натуральне число.

Оскільки 111 ділиться на 37, то й 111∙n ділиться  на 37.

•             Скількома нулями закінчується число, яке дорівнює добутку всіх натуральних чисел від 1 до 32.

Розв’язання. Якщо розкласти всі множники цього добутку на прості числа, то в утвореному добутку буде 7 п’ятірок, а двійок більше. Кожен добуток п’ятірки і двійки дає нуль в кінці добутку, отже число закінчується сімома нулями.

•             До числа 55 зліва і справа приписати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 18. Знайти ці числа.

Розв’язання. 18 ділиться на 2 і на 9, тому й шукане число ділиться на 9 і на 2. Справа можна дописати парні цифри 0, 2, 4, 6 або 8; тоді зліва можна дописати відповідно 18-(5+5+0)=8, 18-(5+5+2)=6, 18-(5+5+4)=4, 18-(5+5+6)=2 або 18-(5+5+8)=0. Останній випадок не задовольняє умову задачі, оскільки тоді число стає трицифровим. Отже, 8550, 6552, 4554, 2556 – шукані числа.

•             Найменше спільне кратне двох чисел, які не діляться одне на одне, дорівнює 90, а їх найбільший спільний дільник дорівнює 6. знайти ці числа.

Розв’язання.

НСК(x;y)=90, 90=2∙3∙3∙5. НСД(х;у)=6. Тоді одне число буде 6∙3=18, а друге 6∙5=30.

Відповідь: 18 і 30.

•             Скільки різних дільників має число 97²⁰⁰⁴?

Розв’язання.

97⁰=1 – має один дільник, 97¹ має два дільники, 97² має три дільники, 97²⁰⁰⁴ має 2005 дільників.

•                 В одному місяці три середи випали на парні числа. Якого числа в цьому місяці була друга неділя?

Розв’язання.

Це можливо лише тоді, коли місяць починається з вівторка. Друга неділя припадає на 13-й день місяця.

Задачі для самостійного розв’язання

1. До числа 47 зліва і справа дописати по одній цифрі, щоб одержане число ділилося на 12.
2. Знайти усі дільники числа 225.
3. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5.
4. Сума двох чисел 221, а їх найменше спільне кратне дорівнює 612. Знайти ці числа.

 Використана література

1. Адлер А. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
2. Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
4. Воронець О. М. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
5. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с.
6. Манін Ю. І., Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
7. Петерсен Ю. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
8. Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
9. Щетников А. І. Як було знайдено де-які розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3-15.
10. Слива Н. В.Математика 7клас. Факультативний курс http://www.fak-matematika_7_klas_sliva_n.v.