Заняття №23-24 «Розв’язування олімпіад них задач»

Заняття №23-24 на тему «Розв’язування олімпіадних задач»

Дане заняття відповідає діючій програмі факультативного курсу з математики для 7 класу Бевз В. Г, Бурда М. І., Прокопенко Н. С. «За лаштунками шкільної математики». Воно містить теоретичний матеріал, що відображає тему, приклади завдань з розв'язками та вправи для самостійного виконання.

Враховуючи інтереси та нахили учнів, їхню підготовленість, вчитель може доповнювати зміст заняття додатковим матеріалом, змінювати та удосконалювати методику проведення.

Тема 2. Цілі вирази та їх перетворення

Заняття 23 – 24

Розв’язування олімпіадних задач

Олімпіадні задачі в математиці - термін для позначення кола задач, для вирішення яких обов'язково потрібно несподіваний і оригінальний підхід.

Олімпіадні задачі отримали свою назву від популярних змагань школярів і студентів, так званих математичних олімпіад. Мета створення задач цієї категорії - виховання в майбутніх математиків таких якостей як творчий підхід, нетривіальне мислення та вміння вивчити проблему з різних сторін. Не випадково академік А. Н. Колмогоров у своїй промові на відкритті порівняв роботу математика з «низкою розв'язання (часом великих і важких) олімпіадних задач».

Зовнішня простота олімпіадних задач – їх умови і розв'язання повинні бути зрозумілі будь-якому школяру - оманлива. Рішення олімпіадних задач може зажадати істотної кількості часу навіть від сильного (але нетренованих на їх розв'язання) професійного математика. Завдання олімпіадного типу, відома з часів Евкліда , наприклад: Довести, що існує нескінченно багато простих чисел.

Незважаючи на унікальність олімпіадних завдань, можна все-таки виділити кілька типових ідей, які складають суть задач. Зрозуміло, за визначенням, такий список буде неповним.

Задачі на інваріант

Задача – гра

Комбінаторика

Теорія графів

Геометрія

Не існує єдиного методу розв’язання олімпіадних задач. Навпаки, кількість методів постійно поповнюється. Деякі зазачі можна розв`язати кількома різними методами або комбінацією методів. Характерна особливість олімпіадних задач в тому, що розв’язання з вигляду нескладної проблеми може зажадати застосування методів, що використовуються в серйозних математичних дослідженнях. Нижче наводиться (за визначенням) неповний список методів розв’язання олімпіадних задач:

Доведення выд супротивного

Принцип Діріхле

Метод розмальовки

Контр приклад

Математична індукція

Рекурсія

Метод додаткової побудови

Метод Гауса

Розглянемо одне, але дуже важливе математичне поняття - інваріант. Буває воно в задачах, де ми маємо справу з якимись операціями, з якимось процесом, який змінює даний в умові об'єкт. От якщо у об'єкта є якась властивість або характеристика, яка не змінюється при цих операціях - вона і називається інваріантом. Якщо у об'єкта є два стани, при яких інваріант приймає різні значення, то з одного з них не можна перейти в інший (і з другого в перше теж). Але однакове значення інваріанта ще не означає, що так перейти можна.

•        У файлі зберігаються 2003 одиниці і 232 нуля. Програма читає з файлу два довільних числа, видаляє, і записує на їх місце 0, якщо вони були рівні, і 1, якщо ні. Програма запускається багаторазово. Наприкінці у файлі залишається тільки одне число. Чому воно дорівнює, 0 або 1?

Розв’язання: Незважаючи на те, що варіантів дії програми дуже багато, ми можемо встановити відповідь однозначно. Що може прочитати програма за кажний окремий  запуск? Або 0 і 0 (і записати 0), або 0 і 1 (і записати 1), або 1 і 1 (і записати 0). У перших двох випадках сума всіх чисел у файлі не змінюється, в останньому - зменшується на 2. У кожному разі, парність цієї суми залишається колишньою. Початково сума була 2003 * 1 +232 * 0 = 2003 - непарна, значить, і в кінці буде непарна. Але наприкінці залишається тільки одне число - воно і дорівнює сумі всіх - тому воно непарне. А так як у файлі бувають тільки нулі й одиниці, то це 1.

•        Є три числа, які можна замінювати за такими правилами: числа a, b і c стираються і замість них записуються (a + b) / 2, (b + c) / 2 і (a + c) / 2.Можно Чи з чисел 101, 73, 125 отримати 77, 79 і 83?

Розв’язання: А давайте так, "про всяк випадок", подивимося, як міняється сума чисел. Було a + b + c, а стало ... замість них записуються (a + b) / 2 + (b + c) / 2 + (a + c) / 2 = (2a +2 b +2 c) / 2 = a + b + c - не змінилася. Тобто, як не крути, а сума трьох чисел не змінюється. Але 101 +73 +125 = 299, а 77 +79 +83 = 239 - суми вихідної та кінцевої трійки різні. Тому з однієї не можна отримати іншу.

(!) А ті, хто захоче взяти в якості інваріанта парність суми або її залишок по якомусь модулю, швидше за все, помиляться, так як початкова та кінцева суми розрізняються на 60, а дільників у 60 ох як багато.

•        Знову є три числа, які можна замінювати вже за іншими правилами: a, b і c - на ab/c, ac/b і bc/a. Чи можна з 5, 17/6 і 3/5 отримати 16/5, 9/4 та 7/6?

Розв’язання: Ну, про те, куди тут переходить сума чисел, навіть думати не хочеться. Що ще буває, крім суми? Добуток, наприклад. Перед операцією добуток  чисел - abc, а після: (ab/c) * (ac/b) * (bc/a) = a2b2c2/abc=abc - не змінилося!З начить, добуток трьох чисел залишається постійним при всіх операціях. Але на початку воно було рівним 5*(17/6)*(3/5)= 8,5, а наприкінці (16/5)*(9/4)*(7/6) = 8,4 - не рівні. Тому відповідь "не можна".

(!) Якщо у нас є якийсь набір чисел, над яким здійснюються операції, то завжди варто перевірити, як змінюються при цих операціях сума і добуток всіх чисел. Дуже часто вони самі або їхні залишки по якомусь модулю є інваріантом, за допомогою якого розв’язується завдання.

Зауваження. У завданнях, де питається "чи можна" за допомогою інваріанта можна доводити тільки відповідь "не можна"! Якщо придуманий вами інваріант нічому не суперечить (його значення на початку і наприкінці передбачуваної послідовності операцій не зміниться), то це не означає, що відповідь "можна". По-перше, зазвичай це означає, що придуманий поганий інваріант. По-друге, відповідь "можна" доводиться пред'явленням конкретного прикладу і ніяк інакше.

Інваріант як характеристика нечислових об'єктів. У всіх попередніх прикладах в задачі фігурували числа, від яких ми в якості інваріанта брали якусь функцію. Але, звичайно, у початковому формулюванні може не бути ніяких чисел! Що тоді робити? Звичайно, ці числа придумати.

 Використана література

1. Адлер А. Теорія геометричних побудов, Переклад з німецької Г. М. Фіхтенгольца. Видання третє. Л., Навчпедвид, 1940—232 с.
2. Бевз Г. П. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005. — 120 с. ISBN 966-504-431-1
3. Бевз Г. П., Бевз В. Г., Владімірова Н. Г. Геометрія: Підручник для 7-9 кл. — Київ: Вежа, 2004. — 309 с. ISBN 966-7091-66-Х
4. Воронець О. М. Геометрія циркуля, Популярна бібліотека з математики під загальною редакцією Л. О. Люстерника, М.- Л., ОНТІ, 1934 — 40 с.
5. Кушнір І. А. Трикутник і тетраедр в задачах: кн. для вчителя / І. А. Кушнір. — К. : Радянська школа, 1991. — 208 с.
6. Манін Ю. І., Про розв'язність задач на побудову за допомогою циркуля та лінійки, Енциклопедія елементарної математики книга четверта (геометрія), М., Фізматвид, 1963. — 568с.
7. Петерсен Ю. Методи і теорії розв'язку геометричних задач на побудову, Москва, типографія Э.Ліснера та Ю.Романа, 1892 — VIII + 114с.
8. Прасолов В. В.. Три класичні задачі на побудову. Подвоєння куба, трисекція кута, квадратура кола. М.: Наука, 1992. 80 с. Серія <Популярні лекції з математики>, випуск 62.
9. Щетников А. І. Як було знайдено де-які розв'язки трьох класичних задач древності? Математична освіта, № 4 (48), 2008, с. 3-15.
10. Слива Н. В.Математика 7клас. Факультативний курс http://www.fak-matematika_7_klas_sliva_n.v.