Застосування похідної

Диференціальне числення функції однієї змінної

 

Практичне заняття 4

 

 

Теоретичні відомості

 

Таблиця похідних

1. (c)' = 0   2. (x α)΄ =α xαˉ1   3. (ax)΄ = ax·ln a   4. 5. 6. 7.(sin x)′ = cos x   8.(cos x)′ = - sin x

9. 10. 11. 12. 13. 14..

Правило диференціювання складеної функції. Якщо у є функція від и: у = f(u), де и у свою чергу є функція від аргументу х: и=(х), тобто якщо у залежить від х через проміжний аргумент и, то у називається складеною функцією (функцією від функції)              у = f((x)).

Теорема. Похідна складеної функції дорівнює добутку похід­ної зовнішньої функції по проміжній змінній у′_и і похідної внутрішньої функції по незалежній змінній и′_х :

або

 

 

 ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВА ГРАФІКА

 

При побудові графіків функцій використовують таку схему дослідження:

1. Знайти область визначення функції, якщо вона заздалегідь не вказана.

2. Перевірити функцію на парність і непарність.

3. Дослідити функцію на періодичність.

4. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

5. Дослідити функцію на неперервність. Знайти точки розриву функції.

6. Знайти асимптоти графіка функції.

7. Дослідити функцію на монотонність.

8. Знайти точки екстремуму функції.

9. Знайти точки перегину й інтервали опуклості графіка функції.

10. Побудувати графік.

 

Знайти похідні у′, користуючись правилами та формулами диференціювання:

а)

 

 

 

б)

 

 

 

 

в)

 

 

г)

 

 

 

д)

 

 

 

е)

 

Завдання 5

 

Задано закон руху матеріальної точки. Потрібно знайти значення швидкості і прискорення цієї точки в момент часу :

1.   

 

 

 

 

 

2.   

 

 

 

 

 

 

3.  

 

 

 

 

 

 

4.  

 

 

Завдання  6

 

Дослідити функції та побудувати їх графіки:

а)  

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

Питання для самоконтролю

 

1. Що називається функцією.
2. Як знайти область визначення функції.
3. Як сформулювати означення похідної.
4. Як знайти найбільше і найменше значення функції на відрізку.
5. Яка загальна схема дослідження функції.