Застосування визначеного інтеграла

 

Тема: Застосування визначеного інтеграла.

     (11 клас, рівень стандарт)

 

Мета уроку: 

Тип уроку:  урок узагальнення та систематизації навчального матеріалу.

Обладнання: навчальний клас, дошка, крейда, екран, проектор, комп’ютер, презентація в редакторі PowerPoint.

Очікувані результати:  учням необхідно

знати:  таблицю первісних елементарних функцій,   правила знаходження первісних, формулу Ньютона – Лейбниця, таблицю інтегралів;

вміти: знаходити первісну з використанням таблиці  первісних та  правил знаходження первісних, застосовувати формулу Ньютона – Лейбниця до обчислення  визначеного інтеграла, обчислювати за допомогою інтеграла площу криволінійної  трапеції, застосовувати інтеграл до розв’язування задач стереометрії, фізики, економіки, техніки.

ДЕВІЗ УРОКУ: «Світ, що нас оточує – це світ інтегрального і диференціального числення. Тож давайте його пізнавати»  Х. Гюйгенс

 

 

ХІД УРОКУ

 

І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ     1хв

       Добрий день. Щоб розпочати урок ми з вами зробимо гімнастику для розуму, скажіть мені, будь-ласка, слова які ми вивчили в останньому розділі на уроках алгебри та яку він мав назву.  (Учні називають  терміни,   які  вони  вивчили  протягом  теми. Використати метод «Мікрофон»).

(Інтеграл, диференціал, межі інтегрування, криволінійна трапеція, область інтегрування, первісна.)

 

ІІ. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ  1хв

       Ми з вами сьогодні спробуємо за допомогою математики розв’язати  проблеми, що виникають на уроках фізики, економіки та інших сфер діяльності людини. До речі, задача (англ. problem) означає "проблема". Проблема розв’язування задач ускладнюється в тому випадку, якщо вміння побачити єдину математичну модель у різних ситуаціях недостатньо розвинене. Можливість розвивати ці уміння ви й матимете сьогодні, розв’язуючи задачі, пов’язані з геометрією, фізичними явищами, економічними процесами. І ви матимете чудову  нагоду закріпити і розвинути навички знаходити визначений інтеграл, застосовувати його при розв’язуванні практичних задач.

      Отже, відкрили зошити, записали дату і тему уроку «Застосування визначеного інтеграла»

ІІІ. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ  3 вх

За готовим розв’язанням на екрані.

№ 202

Знайдіть шлях, пройдений автобусом за час від початку гальмування (t=0) до повної його зупинки, якщо при гальмуванні швидкість автобуса змінювалась за законом v=20 - 4t, де v – швидкість , м/с; t – час, с.

Розв’язання:

Відповідь: .

 

IV. АКТУАЛІЗАЦІЯ ОПОРНИХ ЗНАНЬ

Фронтальне опитування із завданнями

	Що називають первісною даної функції?	Первісною для функції f(x) називається така функція  F(x),  похідна якої F’(x) дорівнює f(x).
	Як називається рівність  dx= F(в) – F(а) ?	формула Ньютона-Лейбниця
	Яка головна відмінність визначеного інтегралу від невизначеного?	Невизначений інтеграл – це  функція, а визначений – число

V. Самостійна робота    (5 хвилин)

 

А зараз ми ще раз звернемося до визначених інтегралів й перевіримо, як ви вмієте їх знаходити.

Вставте пропущені символи, щоб рівність була правильною.

 

 

ПІ _________________________________________

ПІ _________________________________________

 

VІ. УЗАГАЛЬНЕННЯ ТА СИСТЕМАТИЗАЦІЯ ВМІНЬ ТА НАВИЧОК

 

Девізом нашого уроку будуть слова голландського вченого Х. Гюйгенса

«Світ, що нас оточує – це світ інтегрального і диференціального числення.

Тож давайте його пізнавати».

Поняття інтеграла – важливе  як у шкільному курсі математики, так і в курсі вищої математики, що розгалужується на низку цікавих, хоч і складних, математичних дисциплін. Назву вам лише кілька з них:

• математичний аналіз,
• функціональний аналіз,
• теорія функції комплексної змінної,
• диференціальні рівняння,
• теорія ймовірностей,
• теорія оптимізації математичних процесів.

Окрім математичних, є науки, що широко використовують математичний апарат і нині дуже популярні, оскільки необхідні для ведення різноманітних справ, для гармонійного розвитку галузей виробництва, тощо. У цих науках також використовується поняття інтеграла. Серед них такі як:

• економіка виробництва,
• фінансова справа,
• електроніка,
• програмування,
• фізика,
• хімія,
• радіофізика, тощо.

Давайте з’ясуємо, як саме ми можемо застосувати визначений інтеграл в таких науках, як геометрія, фізика, економіка.

А зараз, панове, давайте перенесемося в майбутнє, років на 20 вперед. Ви – дорослі, солідні люди, знайшли своє місце в житті: конструктори, інженери, металурги, будівельники, економісти, плановики, вчені. І в процесі своєї роботи ви зустрічаєтеся з різними проблемами, які вам необхідно вирішити.

Ми попередньо розбилися на  групи, кожна з яких отримала певне завдання і зараз по черзі ви будите звітувати про виконану роботу. А всі останні групи будуть оцінювати вашу роботу.

 

І група «Економісти»

Нашій групі було запропонована економіка. Економіка – одна  з найскладніших галузей діяльності. Але економіка най більш пов’язана з математикою. Економічні об’єкти можуть бути описані сотнями, тисячами параметрів, багато з яких носять випадковий характер. Крім того, в економіці присутній людський фактор. Передбачити поведінку людини часом буває важко, а іноді взагалі неможливо. Економіка залежить від соціального впорядкування суспільства, від політики і ще від багатьох факторів. І все ж моделювання економічних явищ, об’єктів, процесів є можливим завдяки математичній операції інтегрування. Ми знайшли одну з най важливіших задач, особливо для підприємців малого бізнесу.

Задача 1.

 Відомо, що попит на деякий товар задається функцією p = 4 - q², де q - кількість товару (у шт.), p - ціна одиниці товару, а рівновага на ринку даного товару досягається при p* = q* = 1. Визначите споживчого надлишку ().

Розв’язання.

                   

                                    .

Відповідь: споживчий надлишок дорівнює .

ІІ група «Фінансисти»

 

Задача 2.

На полі пшениці після приземлення космічного корабля  залишився слід,  який нагадує  фігуру,  обмежену лініями  у = х² – 2х та  у = 3. Необхідно визначити збитки, завдані агрокомплексом, якщо з 1 м² отримують в середньому 3,8 кг пшениці, яка коштує 0,8 грн./кг.

Розв’язання:

Здавалось з такої неселикої ділянки, але втрати достатньо великі.

 

ІІІ група «Фізики»

Досить часто ми зустрічаємо математичні моделі під час розв’язування задач з фізики. У них задається, як правило, деяка фізична система та описуються умови, в яких вона знаходиться. Під час вивчення цієї системи ми повинні зробити припущення про можливу ідеалізацію цієї системи. Наприклад, розглянути деяке реальне фізичне тіло як матеріальну точку. Визначити фізичні закони, які потрібно взяти до уваги під час вивчення системи, і скласти математичну модель.

Задача 3.

Квадратна пластина зі стороною а занурена у воду перпендикулярно її поверхні так, що верхня основа пластини знаходиться на поверхні. Знайдіть тиск води на пластину.

Розв’язання

На маленьку ділянку площею dS, розташовану на глибині х від поверхні, тисне струмінь води у вигляді циліндра з основою dS та висотою х. Тиск dp буде при цьому дорівнювати pxdS, де р ‒ густина води, pxdS ‒ маса циліндра. Візьмемо смужку пластини шириною dx, що знаходиться на глибині х. Її площа dS дорівнює adx. Звідси

dp = pgaxdx. Дістанемо:

Відповідь:

ІІІ група  «Біологи та екологи»

Певну суму знань про закономірності розвитку природи, взаємодію суспільства і природного середовища, про проблеми й завдання його охорони та збереження учні дістають, розв’язуючи задачі біологічного та екологічного змістів.

Загальновідомо, що найпростішою функціональною залежністю між двома змінними величинами х та у є лінійна залежність y=kx+b, де ; k та b ‒ параметри.

У біології лінійна залежність між двома змінними зустрічається досить рідко. Проте за певних умов залежність між двома змінними інколи можна описати лінійною функцією.

Задача 4.

Знайти площу пелюстка ромашки, який розміщено  між дугами парабол

Розв’язання

Дана фігура обмежена графіками двох функцій: 

Шукана площа за допомогою інтеграла обчислюється так:

Відповідь. кв. од.

 

Задача 5

Широко застосовується інтегрування підчас обчислення розмноження популяції. Зокрема, відомо, що розмноження більшості бактерій описується такою експоненційною показниковою залежністю , де N ‒ кількість бактерій у момент часу t, N₀ ‒ початкова кількість бактерій, k ‒ константа швидкості розмноження бактерій, що визначається експериментальне, е ‒ основа натуральних логарифмів (е -2,71828...). І щоб дізнатись що трапиться з популяцією за певний час використовую інтегрування.

 

ІV група  «Енергетики»

Задача 6.

Навантаження  на Криворізьку теплоелектростанцію задається функцією               f(x) = 3x² + 4x – 2. Визначити витрати електроенергії протягом доби.

Розв’язання:

Відповідь: 14343 кВт·год.

 

V група  «Хіміки»

У хімії теж багато задач розв’язується за допомогою інтегрування. – приріст кількості речовини, яка вступила в хімічну реакцію за проміжок часу [τ₁;τ₂].

Застосувавши поняття інтеграла приходять до висновку: кількість хімічної речовини m, яка вступила в хімічну реакцію за проміжок часу [τ₁;τ₂] дорівнює:

Задача 7.

Швидкість зміни концентрації речовини, що вступила в реакцію, виражається функцією v = 3t + 1, де t – час (с), v – швидкість (моль/см³). Як зміниться концентрація речовини за час t₁=0 до t₂ =5 c?

Розв’язання

Задача розв’язується методом безпосереднього інтегрування. Оскільки v(t)=C`(t) ,то C(t) – концентрація речовини і первісна для v(t), тому

Відповідь. 42,5 моль/м³

VІ група  «Техніки»

Без інтегрування неможливо було б описати, досить велику кількість процесів у техніці.

Задача 8

Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою
Q = 18 – 0,3v + 0,003v², де 30  v  110. Визначити середню витрату бензину при швидкості руху 50-60 км/год.

Розв’язання

Середня витрата бензину становить

Отже, автомобіль на 100 км шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину.

Наведені приклади ‒ це лише невелика частинка того, як математичне моделювання допомагає показати життєву необхідність знань, а таких прикладів можна привести ще дуже багато.

Розв’язання прикладних задач сприяє створенню в учнів піднесеного емоційного настрою, активності в навчанні, формуванню практичних умінь і навичок, необхідних у повсякденному дорослому житті.

VІІ.  Підведення підсумків уроку.

Рефлексія:

Скажіть, будь ласка, що саме ми з вами робили сьогодні на уроці?

На сьогоднішньому уроці ми ще раз переконалися в тому, що математичні теорії є надійним знаряддям в розкритті таємниць природи, законів економічних процесів.

Звертаю вашу увагу, шановні добродії, на програмові вимоги та підборку завдань для підготовки до незалежного зовнішнього тестування, поміщену у вашому Кроці до майстерності з даної теми.

VІІІ. Домашнє завдання.

Я хочу запропонувати вам нетрадиційне домашнє завдання, щоб ви спробували побачити інтеграл нетільки в фізиці, хімії, економіці, а щей в літературі.

Написати казку або твір про застосування визначеного інтегралу.

Орієнтовні теми для написання казок                   Як я брав інтеграли.                   Казка про те, як я стану студентом-математиком.                   Як інтеграл с похідною сперечалися.                   Казка про лисицю економіста та ведмедя-програміста.                   Як Незнайко "брав" інтеграли і що з того вийшло.

Орієнтовна тема  для написання твору: Чи є у математиці таке, що може перевернути все життя?

 

Загальні висновки вчителя:

На уроці досягнута дидактична, виховна, розвивальна мета. План уроку виконаний повністю. Урок націлений на: поглиблення й розширення знань учнів про визначений інтеграл;  міжпредметні зв’язки; майбутню професію; вибір ЗНО з математики; вміння виступати перед аудиторією; чітко формулювати і відстоювати свою думку; інтерес до науки шляхом звернення до історичних джерел; вміння раціонально використовувати робочий час.