застосування визначеного інтеграла при розв*язуванні прикладних задач

Компетентний (з латинської «здатний», «відповідний») – це той, хто вміє застосовувати набуті знання та досвід.

«Немає значення, що шукаєш. Важливо, що знаходиш». Блез Паскаль

Математика, шановний – це складна наука! Щоб засвоїти її, не чухай за вухом, Нахиляйся – й до роботи, пізнай невідоме, Якщо хочеш вийти в світ й стати відомим Щоб чогось міг досягти, не лінись учитись. . . . тобі в житті може знадобитись.

Формула Ньютона-Лейбніца Таблиця інтегралів Визначений інтеграл Правила обчислення інтегралів Криволінійна трапеція Первісна Інтеграл

Таблиця інтегралів

Правила обчислення інтегралів

Обчислення площ

Об’єми фігур обертання

«Не досить оволодіти премудрістю, потрібно також уміти користуватися нею» Цицерон

«Математику не можна вивчати, спостерігаючи, як це робить сусід» (Американський математик А. Нівен )

Застосування інтеграла Тільки той себе вважає сильним, Кому з математикою дружити стильно. Без інтегралів можна прожити, Та чи не краще все охопити? знаходження величини заряду визначення роботи визначення маси обчислення шляху знаходження об’ємів обчислення площ економічні задачі

«Будівельники» «Столяри» «Фізики-електрики» «Дизайнери» «Служба автосервісу» «Економісти»

«Знання збільшуються, а вміння вдосконалюються, якщо ними ділишся»

«Будівельники» Розрахувати витрати цегли і розчину для зведення арки товщиною дві цеглини (цегла одинарна 250*120*65, товщина шва 10 мм). Якщо на 1 м3 кладки витрачається 400 штук цегли і 0,25 м3 розчину. Зовнішню частину арки задано функцією f(x)= -Ѕ х2+ 4х – 6, а внутрішню f(x) =-x2+8x-15.

S= S1 – S2= 4м2 Висота-товщина дві цеглини Витрата цегли

«Cтоляри» Розрахувати витрати деревини для виготовлення заготовки боковини стільця, якщо товщина дошки 2 см, а конфігурацію боковини задано лініями у1=х3 + 4, у2= -2х2 +2, у3=0, х=1,6.

S = S1-S2 = 0,128м2-0,027м2 = 0,101м2 V1 = Sh = 0,101·0,02 = 0,00202м3 – витрати деревини на одну боковинку V= 12·0,00202м3=0,02424м3

«Фізики електрики» «Алгебра щедра. Дуже часто вона дає більше ніж у неї просять»

Знайти роботу, яку необхідно витратити на викачування води з резервуара, якщо він завглибшки 2м і має форму циліндра радіуса 1м (ρв=103кг/м3) Спрямуємо вісь ОХ вздовж діючої сили. Значення сили F(х), що діє на переріз циліндра визначається вагою шару води, що знаходиться вище від цього перерізу. Отже, оскільки S=πr2=π, то для х є [0;2] F(x)=πρg(2 - x), g=9,8м/с2 Так як , то Протягом 7с величина струму в провіднику змінювалась за законом I(t)=3t2+2t. Знайти кількість електрики, що пройшла через провідник за цей час. Оскільки , то q=

яка обертається навколо осі абсцис. Обчислити об’єм тіла, утвореного в результаті обертання цієї фігури. «Дизайнери» Створити дашок над пісочницею, знайти яку кількість матеріалу потрібно, якщо математичною моделлю даного виробу є фігура обмежена параболою у=х2, та у= ,

Знаходимо межі інтегрування: , х4=х, х(х-1)(х2+х+1)=0, х1=0, х2=1. Застосуємо формулу V= , маємо:

«Служба автосервісу» Тіло рухається прямолінійно зі змінною швидкістю за законом v(t)=3t2+2t+10(км/год). Знайти, який шлях проходить тіло за проміжок часу t0=0, t1=1год. Оскільки s= , то s= км

За скільки часу подолає цю відстань машина, якщо вона рухається за законом Отже, 12= Звідси

«Економісти»

1. Продуктивність праці робітничої бригади визначається в залежності від часу t функцією П(t)=4 t3+1. Знайти обсяг продукції, тобто як працювали робітники за другу і третю години робочого дня.

2. Чисті інвестиції змінюються в залежності від часу t за законом I(t)=200t(3t+2). Визначити приріст капіталу за 5 років. Через скільки років приріст капіталу становитиме 220000. Для відповіді на друге питання позначимо шукану кількість років через Т, тоді матимемо рівняння для його визначення: тобто 220000=200( Т3+Т2), звідси Т3+Т2=11000, Т=10 років.

Застосування інтеграла Тільки той себе вважає сильним, Кому з математикою дружити стильно. Без інтегралів можна прожити, Та чи не краще все охопити? знаходження величини заряду визначення роботи визначення маси обчислення шляху знаходження об’ємів обчислення площ економічні задачі

«Покажи мені – і я запам’ятаю. Дай мені діяти самому і я навчуся.»

1. Сила струму в провіднику з часом змінюється за законом І(t)=t2-t+1. Яка кількість електрики пройде через поперечний переріз провідника за час від третьої до шостої секунди? 2. Швидкість тіла υ з часом t змінюється за наступним законом: υ =20-3t. Знайти шлях, що пройшло тіло за четверту секунду свого руху. 3. Знайти масу неоднорідного стрижня довжиною 50см, якщо його лінійна густина змінюється за законом ρ(x)= =6x2+1( кг/м). 4. Знайдіть об’єм тіла обертання, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури обмеженої лініями у= 4-х2, у=0, х=1,х=-1.

«Найкраща помилка та, яку допускаєш під час навчання» Г.С. Сковорода

Фізика вивчає залежності між величинами та описує їх мовою математики; математика систематизує та узагальнює способи розв’язування різноманітних задач, створюючи математичні моделі та методи їх дослідження.  Сила і загальність методу диференціального й інтегрального числення такі, що не ознайомившись з ними, не можна як слід зрозуміти все значення математики для природознавства і техніки і навіть оцінити всю красу і принадність самої математичної науки. А.М.Колмогоров

Математика цікава тоді, коли живить нашу винахідливість і здатність міркувати Д. Пойа Чи відтворили знання про інтеграл? Чи змогли удосконалити свою компетентність з даного питання? Де можна застосувати дану інформацію? Чого навчилися, готуючи даний матеріал? Що було важким і незрозумілим на уроці?

«Дві людини, які обмінялися золотими монетами, не стали багатшими. Але якщо вони обмінялися думками, то кожний з них став вдвоє багатшим. Адже обидва стали тепер розумнішими»