Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 5 клас
1. |
У гаманці в Семена три купюри : 1 гривня, 2 гривні і 5 гривень. Яку ціну, із запропонованих у відповіді, Семен не може заплатити без здачі? Відповідь поясни. А : 3 гривні; Б : 4 гривні; В : 6 гривень; Г: 7 гривень; Д : 8 гривень. |
7 б |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
За квадратний стіл можуть сісти четверо людей ( з кожного боку по одному ). Школярі до дня іменинника зсунули разом сім однакових столів так, що вони утворили один довгий прямокутний стіл. Скільки учнів може сісти за цей стіл? |
7 б |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Куб, виміри якого 10 см х 10 см х 10 см помістили в посудину з фарбою. Після того , як він висох, його розрізали на кубики з ребром 1 см . Скільки кубиків мають тільки дві пофарбовані грані? |
7 б |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Відновити пропущені цифри.
|
7 б |
(рос)
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 5 клас
1. |
В кармане у Семёна три купюры: 1 гривна, 2 гривны и 5 гривен. Какую из предложенных вариантов цены он не сможет заплатить без сдачи. Ответ обоснуй. А : 3 грн; Б : 4 грн; В : 6 грн ; Г: 7 грн ; Д : 8 грн . |
7 б |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
За квадратным столом могут сесть 4 человека(с каждой стороны по одному). Школьники на день именинника сдвинули 7 столов.Сколько человек может поместиться за этим большим столом? |
7 б |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Куб, измерения которого 10 см х 10 см х 10 см поместили в посудину с краской. После того как он высох,его разрезали на кубики с ребром 1см. Сколько кубиков имеют только две окрашенные грани? |
7 б |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Восстанови пропущенные цифры.
|
7 б |
(рос)
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 6 клас
|
В феврале какого-то года 2419200 секунд. Высокосный ли этот был год? ( В високосном году 366 дней, в других – 365 дней). |
7б |
|
Натуральные числа от 1 до 12 размещены на вершинах фигуры,таким образом, что суммы четырёх чисел на одной прямой равны. На какой вершине будет находиться число 7?
|
7б |
|
На аллее от дома до озера растет 17 деревьев. Юрий, уходя из дома к озеру, отметил мелом первое дерево, а затем каждое второе дерево. На обратном пути к дому он снова отметил первое дерево (от озера), а затем каждое третье дерево. Сколько деревьев осталось неотмеченный?
|
7б |
|
Есть две кучки камней по 13 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только с одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто обеспечит себе победу в этой игре?
|
7б |
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 6 клас
1 |
У лютому деякого року 2419200 секунд. Чи високосним був цей рік? (У високосному році 366 днів, в інших – 365 днів). |
7б |
2 |
Натуральні числа від 1 до 12 розміщені на вершинах фігури, зображеної на малюнку таким чином, що суми довільних чотирьох чисел, розміщених на одній прямій, є однаковими. Де знаходиться число 7?
|
7б |
3 |
На алеї від будинку до озера росте 17 дерев. Юрко, ідучи з дому до озера, відмітив крейдою перше дерево, а потім кожне друге дерево. На зворотному шляху до будинку він знову відмітив перше дерево (від озера), а потім кожне третє дерево. Скільки дерев залишилось невідміченими?
|
7б |
4 |
Є дві купки камінців по 13 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, кому нема що брати. Хто може забезпечити собі перемогу в цій грі?
|
7б |
(рос)
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 7 клас
|
Есть две кучки камней по 13 в каждой. За ход разрешается взять любое количество камней, но только с одной кучки. Проигрывает тот, кому нечего брать. Кто обеспечит себе победу в этой игре?
|
7б |
|||||||||
|
Какой день недели был вчера, если четверг был за четыре дня до послезавтра ?
|
7б |
|||||||||
|
Фигуры 1, 2, 3, 4, 5 - квадраты. Периметр квадрата 1 равна 12 см. Найдите периметр квадрата 5.
|
7б |
|||||||||
4. |
Решите уравнение: |14 - |2x+3||=5.
|
7б
|
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 7 клас
|
Є дві купки камінців по 13 в кожній. За хід дозволяється взяти будь-яку кількість камінців, але тільки з однієї купки. Програє той, кому нема що брати. Хто може забезпечити собі перемогу в цій грі?
|
7б |
|||||||||
|
Який день тижня був учора, якщо четвер був за чотири дні до післязавтра?
|
7б |
|||||||||
|
Фігури 1, 2, 3, 4, 5 – квадрати. Периметр квадрата 1 дорівнює 12 см. Знайдіть периметр квадрата 5.
|
7б |
|||||||||
4. |
Розв’язати рівняння: |14 - |2x+3||=5.
|
7б
|
(рос)
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 8 клас
|
Клоун сказал, что количество котят, которые живут у него равно их количества и еще котенка. Слова «котенка» вызвали смех. Однако клоун сказал правду. Сколько котят живет у нем?
|
7б |
|
Саша, Борис и Василий собирали грибы. Борис нашел грибов на 20% больше, чем Саша, но на 20% меньше, чем Василий. На сколько процентов больше грибов нашел Василий, чем Саша?
|
7б |
|
Решите уравнение: в зависимости от а. |
7б |
|
В прямоугольном треугольнике катет длиной 12см прилегает к углу Найти длину биссектрисы второго острого угла треугольника.
|
7б |
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 8 клас
1 |
Клоун сказав, що кількість кошенят, які мешкають у нього дорівнює їх кількості і ще кошеняти. Слова « кошеняти» викликали сміх. Проте клоун сказав правду. Скільки кошенят мешкає у нього?
|
7б |
2 |
Сашко, Борис і Василь збирали гриби. Борис знайшов грибів на 20% більше, ніж Сашко, але на 20% менше, ніж Василь. На скільки відсотків більше грибів знайшов Василь, ніж Сашко?
|
7б |
3 |
Розв’язати рівняння: залежно від а. |
7б |
4 |
У прямокутному трикутнику катет завдовжки 12см прилягає до кута Знайти довжину бісектриси другого гострого кута трикутника.
|
7б |
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики 9 клас
|
Зал кінотеатру містить місць, які поділені між трьома секторами – центральним та двома однаковими – правим та лівим. Усі сектори містять по рядів. В центральному секторі по 28 місць в кожному ряду. Скільки місць у кожному ряду в правому та лівому секторах, якщо їх однакова кількість у кожному ряду? |
7б |
|
При яких значень параметра а рівняння 2х2-4(+1)х+4+1=0 має єдиний розв’язок?
|
7б |
|
На автомобілі нові шини. Шина на задньому колесі витримує пробіг 16000 км , а на передньому – 24000 км. Який максимальний шлях можна проїхати на цих шинах?
|
7б |
|
Дано трикутник АВС зі сторонами Провели бісектриси зовнішніх кутів при вершинах А та С і з вершини В на них опустили перпендикуляри ВМ і BN. Знайти довжину відрізка MN.
|
7б |
Завдання І етапу Всеукраїнських учнівських олімпіад з математики
10клас
1. |
Четверо хлопців помітили, що якщо вони складуть всі свої гроші без першого, то зберуть 90 грн, без другого - 85, без третього - 80, без четвертого - 75 грн.. Скільки у кожного грошей? |
7б |
2. |
Розв’яжи рівняння
|x-1|+|x-2|=x+3.
|
7б |
3. |
При яких значень параметра а рівняння 2х2-4(+1)х+4+1=0 має єдиний розв’язок?
|
7б |
4. |
Дві висоти ромба, проведені з вершин його тупих кутів, перетинаються та діляться у відношенні 1:2. Знайти кути ромба. |
7б |
ВІДПОВІДІ:
клас |
№ завдання |
Відповідь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 клас |
1. |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
12*8=96 Вказівки:у кожного ребра 8 (10-2=8два при вершині у них зафарбовано 3 сторони) таких кубів,всього ребер 12. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Відповідь:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 клас |
|
Відповідь: ні,не високосний. Число 2419200 ділиться на 7 (перевіряється безпосередньо). Отже, у лютому 28 днів, а рік – звичайний.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
В точці Е |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Другий гравець. Розв’язання. Другий гравець буде повторювати ходи першого, але братиме камінці з іншої купки. (Метод симетричної стратегії).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 клас |
|
Другий гравець. Розв’язання. Другий гравець буде повторювати ходи першого, але братиме камінці з іншої купки. (Метод симетричної стратегії).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
П’ятниця
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Відповідь: 96 см. Розв’язання: Якщо периметр квадрата 1 дорівнює 12 см, то його сторона – 3 см (12 см : 4). Тоді сторона квадрата 2 – 6 см (3 см + 3 см), а сторона квдрата 3 – 9 см (6 см + 3 см). Сторона квадрата 4 – 15 см (9 см + 6 см). Тоді сторона квадрата 5 – 24 см (15 см + 9 см). Периметр квадрата 5 дорівнює 96 см (24 см ∙ 4). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Відповідь: x=3, x= –6, x=8, x= –11
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8 клас |
|
3 кошеняти. Вказівка. Складемо рівняння: . Звідки .
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
на 50%. Вказівка. Нехай Борис зібрав х грибів, тоді Сашко – 0,8х, а Василь – 1,2х грибів. Василь зібрав на більше грибів, ніж Сашко.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Запишемо рівняння у вигляді:.Добуток дорівнює нулю при або , тому розглянемо такі випадки:1) при рівняння набуває вигляду , яке коренів не має;2) при дістанемо рівняння , корені якого - всі числа;3) при , тому .Відповідь. При ; при корені рівняння — всі числа; при коренів немає.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вказівка. Нехай в , бісектриса кута В, тобто , тоді рівнобічний і . З тому см, см, см
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9 клас |
|
Відповідь: . Розв’язання.У центральному секторі усього місця. Тому в двох інших секторах – місць, тобто у кожному по . Оскільки там рівно однакових рядів, то у кожному по місць.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Розв’язання. Оскільки в умові не сказано, що рівняння є квадратним, то спочатку розглянемо випадок =0, тобто рівняння -4х+1=0, яке має один розв’язок х =. Решту значень а отримаємо з умови D=0: D=16(+1)2-4.2. (4+1), 22-3-2=0; 1= - і 2 =2. Відповідь: при -, 0; 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Оскільки трикутники прямокутні, мають спільний катет та рівні кути, то вони рівні. Звідси випливає, що . Аналогічно, що . Отже, середня лінія .
. Відповідь: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 клас |
1. |
Розв’язання. Хай в першого - x грн., в другого - y, в третього - z, в четвертого - t. Умови завдання визначають, що має місце система рівняння y + z + t = 90 x + z + t = 80 x + y + t = 85 x + y + z =75 (3б) Склавши всі рівняння , отримуємо, що 3(х + y + z + t) = 330,(4б) так що х + y + z + t = 110. Віднімаємо з 110 послідовно 90, 85, 80, 75 знаходимо х, y, z, t. (5б) (Відповідь: 20, 25, 30, 35 )
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Решение. Корни выражений, стоящих под модулем, — 1 и 2. Числовая ось разбивается точками 1 и 2 на три промежутка, Рассмотрим каждый из этих случаев.
1) Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, неотрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду x-1+x-2=x+3. Решение этого уравнения x=6. Этот корень попадает на промежуток и поэтому является решением исходного уравнения.
2) Поскольку первое выражение, стоящее под модулем, положительно, а второе отрицательно на рассматриваемом промежутке, то исходное уравнение преобразуется к виду x-1+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=-2. Поскольку -2 не попадает на рассматриваемый промежуток [1,2), то этот корень — посторонний.
3) Поскольку оба выражения, стоящие под модулем, отрицательны на рассматриваемом промежутке, исходное уравнение преобразуется к виду 1-x+2-x=x+3. Решение этого уравнения x=0. Этот корень принадлежит промежутку и является решением исходного уравнения.
Ответ. {0;6}.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Розв’язання. Оскільки в умові не сказано, що рівняння є квадратним, то спочатку розглянемо випадок =0, тобто рівняння -4х+1=0, яке має один розв’язок х =. Решту значень а отримаємо з умови D=0: D=16(+1)2-4.2. (4+1), 22-3-2=0; 1= - і 2 =2. Відповідь: при -, 0; 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
Розв’язання. Розглянемо . В нього катет вдвічі менше за гіпотенузу , тому . Тому друга пара кутів ромба складає . ( Відповідь: . )
|
Орієнтовні критерії оцінювання олімпіадної роботи
7 |
Повне правильне розв’язання завдання |
6 |
Повне правильне розв’язання. Є недоліки, які в цілому не впливають на розв’язання |
5 |
Розв’язання в цілому вірне. Однак воно містить ряд помилок, або не розглянуті окремі випадки. Але воно може стати правильним після невеликих виправлень або доповнень |
4 |
Правильно розглянуто один з істотних випадків, вірно проведене дослідження або пояснення, частково розв’язане завдання |
3 |
Доведені допоміжні твердження, вірно розпочато розв’язування |
2 |
Розглянуто окремі важливі елементи розв’язання, або почато розв’язування завдання з подальшим невірним розв’язком |
1 |
Розв’язуване завдання виконано з грубими помилками, які призвели до неправильного результату або присутня лише ідея розв’язку |
0 |
Початок виконання завдання неправильний або до виконання завдання не приступав |