знаходження площі плоскої фігури за допомогою інтеграла

Тема. Обчислення площі плоскої фігури за допомогою інтеграла.

Мета.

навчальна: формувати в учнів вміння застосовувати інтеграл до знаходження площ плоских фігур;

розвиваюча: розвивати логічне мислення, пам'ять, увагу, математичну грамотність, уміння лаконічно й чітко формулювати думку.

виховна: виховувати акуратність, наполегливість, толерантність, інтерес до вивчення                    математики.

Тип уроку: формування вмінь і навичок.

Обладнання та наочність: презентація « Обчислення площ плоских фігур»,

Хід уроку.

І. РОЗМИНКА.

Переконана, що для кожнонг, хто тут присутній, незаперечним фактом є те, що для пізнання  нового використовують відомості, уміння, навички попередні. А в математиці – особливо. Тому пропоную пригадати терміни, поняття, що згадувались на попередніх уроках, за допомогою ХМАРИ СЛІВ, яку ви маєте завантажено на ваших гаджетах. (Учні називають і коментують). - Чи є серед даних понять те, що ми  ще не згадували?(площа плоскої фігури)

Так дійсно, саме з цим поняттям ми сьогодні ознайомимось.

Запишемо тему: Знаходження площі плоскої фігури, обмеженої лініями, за допомогою інтеграла

І пропоную спочатку розглянути ваше домашнє завдання.

 В домашньому завданні вам потрібно було знайти площі деяких фігур.

Д/З. перевірка (слайд 1)

На рис. зображено графіки функцій (пряма РК) і   х = - 3 (пряма РМ). Установіть відповідність між фігурами (1-4) і числовими значеннями їх площ (А-Д).

1.               МРКО                             А. 4
2.               NOK                                Б. 4,5
3.               MNP                                B.
4.                PKN (затушована)          Г.

                                                           Д. 7,5

Запитання до класу:

• Чи усі фігури є криволінійними трапеціями? ( остання ні)
• Як ви знайшли площу зафарбованої фігури? (як різницю між першою і сумою другої і третьої)
• Чи не задовгий шлях?
• Чим обмежена дана фігура? Чи замітили  ви різницю між криволінійною трапецією і фігурою , що не нею?

ІІ. ОБГРУНТУВАННЯ НАВЧАННЯ

Давайте розглянемо подібні фігури у загальному вигляді і спробуємо скласти формулу для знаходження її площі, використовуючи відомі нам знання – площу криволінійної трапеції.

 (слайд 2)

Запитання

• Що спільного у всіх малюнках? Що відмінного?

А)     Б)

                          В)

А) S=S_f-S_g  =  _{-- =}

Б) S=S_f+S_g =  + (- ) = _{­- =}

В) S=S_g-S_f =(- ) – (- ) = _{­- =}

Отже, формула       S= дає можливість  знаходити   площі

плоских фігур, що не є криволінійними трапеціями і обмежені лініями, за допомогою інтеграла.

І давайте повернемось до домашнього завдання. Знайдемо площу замальованої фігури за отриманою формулою.( слайд 3) На рис. зображено графіки функцій (пряма РК) і   х = - 3 (пряма РМ).

ІІІ. УСВІДОМЛЕННЯ ЗМІСТУ.

ЗАВДАННЯ 1.

(Слайд 4). Записати формулу знаходження площі зафарбованої фігури.

Запитання до класу:

• Як знайти значення с, якщо б не було задано?
• Як знайти точку перетину двох графіків функцій?

ЗАВДАННЯ 2.

(Слайд 5). Вибрати правильну відповідь

ЗАВДАННЯ 3.

(Слайд 6). Знайти площу фігури, обмежену лініями 

Запитання:

• де і яка функція зображена?
• Які межі інтегрування?
• Як знайти межі інтегрування? (прирівняти дві функції і розв’язати рівняння)

Учні знаходять межі, записують формулу для знаходження площі фігури і обчислюють інтеграл.

Сформулюємо алгоритм знаходження площі фігури, обмеженої лініями:

1.Знайти точки перетину графіків ( їх абсциси є межами інтегрування).

2. побудувати графіки даних функцій і замалювати фігуру.

3. знайти площу за допомогою інтеграла.

ЗАВДАННЯ 4. Підручник № 11.10 (11) авт.. Мерзляк, Полонський

Знайти площу фігури, обмеженої лініями у=х² і  у=х³.

ПІДСУМОК.

 З чим ознайомились?

Що вчились робити?

Що склали? (алгоритм)

Прошу прорангувати складність виконання кроків алгоритму по складності саме для вас. (проговорюємо найважчий крок)

Д / З. Розв’язати  № 11.10 (1,2), виконати вправу за посиланням

Повернемось до слів В. Кілпатріка

Поставимо перед собою завдання розв’язати задачу практичного характеру: Обчислити площу перерізу серповидної опори,  в якої верхній і нижній контури є параболами. Серповидна опора задовольняє початковим умовам: (слайд 10)

Розв'язання

1. Перенесемо рисунок задачі в декартову систему координат (слайд 11)

2. Згідно умови переріз  опори є  параболічний сегмент. Отже потрібно задати формули парабол, які обмежують даний сегмент: (слайд 12)

- загальний вигляд контурів опори. Причому, використовуючи теорію перетворення та умову задачі можемо записати, що рівняння набуває вигляду , Залишається знайти значення коефіцієнта а_i:  за побудовою графіки проходить через  точку . Отже, координати цієї точки повинні задовольняти рівнянням обох парабол: Знайдемо рівняння, яке задає нижній контур: . Отже нижня опора задається рівнянням .

• Знайдемо рівняння верхньої опори.

. Отримали, що верхня опора задається рівнянням:          

3.    Чи є побудована фігура криволінійною трапецією? ( Відповідь: ні)

КОМЕНТАР. Від площі перерізу опори звичайно залежить міцність опори, площа опори впливає на її об’єм , а об’єм такої фігури також знаходиться за допомого інтеграла. Але про це ми поговоримо  на наступних уроках.

(Слайд 14). Записати формулу площі зафарбованої фігури та знайти площу.