ЗНО. Підготовка. Математика. Тотожні перетворення.

Математика - підготовка до зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО)

Тема 18. ТОТОЖНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ВИРАЗІВ

Співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу sin²а + cos²а = 1, а∈R; tga ∙ ctga = l, а ≠ , n ∈ Z;

1 + tg² а =  , а ≠  + n, n∈Z; l + ctg²a = , а ≠ n, n∈Z.

Приклад 1. Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sin a = - ,  < a < .

Розв'язання

Оскільки cos² a = 1 - sin² a, то cos =   =  =  =  = .

Оскільки кут a лежить у III координатній чверті, то cos a < 0.

Отже, cosa = -.

tga =  = - : (-) =  = ; ctga =  = .

Відповідь: -; ; .

Формули додавання

sin(a±) =sinacos + cosasin; cos(a±P) = cosacos +sinasin;

tg(a±) = , a, , a +  ≠  + n, n ∈ Z.

Формули подвійного кута

sin2a = 2sinacosа; cos2a = cos² a - sin² a;

tg2a = , a ≠  + , a ≠  + n, n ∈ Z.

Формули пониження степеня

sin²a = ; cos²a = ;

(sina + cosa)² = 1 + sin²a.

Формули половинного кута

|cos| = ; |sin| = ; tg =  = , a ≠ k, k∈Z;

ctg =  = , a ≠ k, k∈Z; |tg| = , a ≠ k, k∈Z.

Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток

sina + sin = 2sincos; sina - sin = 2sincos;

cosa + cos = 2coscos; cosa - cos = 2sinins;

tga + tg = , a, ≠  + n, n∈Z; tga – tg , a, ≠  + n, n∈Z;

ctga + ctg = , a, ≠ n, n∈Z; ctga – ctg , a, ≠ n, n∈Z;

Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

sinasin  = (cos(a - ) - cos(a + )); cos acos  = (cos(a - ) + cos(a + ));

sinacos = (sin(а + ) + sin(a - )).

Вираження тригонометричних функцій через тангенс половинного кута

sina =  , a≠ + n, n∈Z; cosa =  , a≠ + n, n∈Z;

tga =  , a≠  + n, a≠  + 2, n∈Z; ctga =  , a≠ , n∈Z;

Формули зведення

Формули зведення запам’ятовувати необов’язково. Для того щоб записати будь-яку з них, можна користуватися таким правилом:

1) у правій частині формули ставиться той знак, який має ліва частина при умові 0 < а < ;

2) якщо в лівій частині формули кут дорівнює   a,   a, то синус замінюється на косинус, тангенс— на котангенс і навпаки. Якщо кут дорівнює k ± а, то заміна не виконується.

Розглянемо приклади.

Приклад 2. Виразимо tg( - а) через тригонометричну функцію кута а. Якщо вважати, що а — кут І чверті, то  - а буде кутом ІІ чверті. У II чверті тангенс від’ємний, отже, у правій частині рівності слід поставити знак «мінус». Для кута k - а назва функції «тангенс» зберігається. Тому tg ( - а) = - tg а.

За допомогою формул зведення знаходження значень тригонометричних функцій будь-якого числа

можна звести до знаходження значень тригонометричних функцій чисел від 0 до .

Приклад 3. Знайдіть значення sin .

Маємо: sin  = sin(2 + ) = sin  = sin ( - ) = sin  = .

Виконайте тест 18

Завдання 1—8 мають по п'ять варіантів відповіді, серед яких лише один правильний. Виберіть правильну, на Вашу думку, відповідь і позначте її у бланку А.

1. Знайдіть значення виразу cos а, якщо sin а = 0,6 і  < а < .

2. Знайдіть значення виразу sin 18° cos 27° + cos 18° sin 27°.

3. Знайдіть значення виразу cos 32° cos 58° - sin 32° sin 58°.

4. Знайдіть значення виразу cos² 15° - sin² 15°.

5. Спростіть вираз cos (a - ) - cos (a + ).

6. Знайдіть значення виразу cos.

7. Знайдіть значення виразу .

8. Спростіть вираз .

У завданні 9 до кожного з чотирьох рядків інформації, позначених цифрами, виберіть один правильний, на Вашу думку, варіант, позначений буквою. Поставте позначки в таблицю відповідей до завдань на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви).

9. Установіть відповідність між заданими тригонометричними виразами (1—4) та виразами, що утворилися внаслідок їх спрощення (А—Д).

Розв’яжіть завдання 10—12. Одержані відповіді запишіть у бланку А.

10. Обчисліть а -  (у градусах), якщо tga = , tg = , а і  — кути І чверті.

11. Спростіть вираз cos(a + ) ∙ cosa + sin(a + p) ∙ sina. Обчисліть його значення, якщо sina = . sin  = ; a i  ∈ (0;).

12. Сирость вираз . Обчисліть його значення, якщо a = 22,5°.

Бланк відповідей А

У завданнях 1-9 правильну відповідь позначайте тільки так: 

У завданнях 10-12 відповідь записуйте тільки десятковим дробом, враховуючи положення коми, по одній цифрі в кожній клітинці.