Зразки розв’язування завдань. Алгебраїчні рівняння та системи рівнянь.

Зразки розв’язування завдань.

Алгебраїчні рівняння та системи рівнянь.

 

1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Для розв’язання даного рівняння помножимо кожен із доданків на 2.

.

 

2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Зведемо рівняння до спільного знаменника.

.

3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Розкриємо модульні дужки.

 

4. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Для розв’язання даного рівняння виконаємо множення у лівій частині рівняння і зведемо подібні доданки.

Відповідь: 0,9; 3.

 

5. Розв’язати рівняння  .

Розв’язання:

Розкладемо чисельник на множники

Скоротимо вираз на знаменник.

Відповідь; 1,2.

 

6. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Для розв’язання даного рівняння введемо заміну і розв’яжемо отримане квадратне рівняння.

Відповідь: 85.

 

7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Використаємо властивості степенів.

Введемо заміну

Повернемось до заміни

Відповідь: .

8. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

По групуємо і винесемо спільні множники за дужки.

Розкладемо перший множник, як різницю квадратів

Відповідь: -2; 1; 2.

 

9. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Погрупуємо доданки.

Розкладемо вираз у перших дужках, як різницю кубів, а з других дужок винесемо спільний множник.

або

Відповідь: ; 1; .

 

10.                    Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Введемо заміну

Повернемось до заміни

Відповідь: ; .

 

11.                    Знайти квадрат відстані між точками, що задовольняють систему рівнянь

.

Розв’язання:

Додамо перше рівняння системи до другого.

або
 

aбо

-

.

Відповідь: 200.

 

12.                    Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання:

Для розв’язання даної системи рівнянь замінимо перше рівняння сумою першого і третього, а друге – сумою подвоєного другого і потроєного третього рівнянь.

      

Помножимо перше рівняння на 13, а друге на 7 і знайдемо їх різницю.

1

З першого рівняння системи визначимо

З першого рівняння системи визначимо

1

Відповідь: (1; -1; -1)

13.                    Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Для того, щоб розв’язати дане рівняння, введемо заміну

Тоді рівняння набуде вигляду

За теоремою Вієта

Повернемось до заміни

;

або

.

 

14.                    Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Для того, щоб розв’язати дане рівняння, введемо заміну

    тоді

Отримаємо рівняння

Повернемось до заміни

Ø

Відповідь: 0,5; 2.

 

15.                    Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Розв’язання даного рівняння зводиться до розв’язання системи

Відповідь: .

 

16.                    Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

 

 

17.                    Обчислити , якщо розв’язки системи .

Розв’язання:

.

 

 

18.                    Визначити координати точки перетину прямих

    і      .

Розв’язання:

Знайдемо координати точки перетину заданих прямих розв’язавши систему рівнянь

Щоб розв’язати дану систему рівнянь скористаємось способом додавання

Відповідь: .

 

19.                    При якому значенні параметра а пряма проходить через точку .

Розв’язання:

Підставимо координати точки А у рівняння прямої, отримаємо

 

Відповідь: Пряма проходить через точку .

 

20.                    Обчислити , якщо розв’язки  системи .

Розв’язання:

 

21.                    Обчислити , якщо розв’язки  системи .

Розв’язання:

Додамо рівняння системи

=6

 

22.                    Обчислити значення , якщо .

Розв’язання:

Додамо рівняння системи

 

23.                    Обчислити добуток тих значень параметра а, при яких рівняння має один корінь.

Розв’язання:

Рівняння має один корінь, коли його дискримінант рівний нулю.

 

24.                    Обчислити , якщо .

Розв’язання:

 

25.                    Розв’язати рівняння

Розв’язання:

ОДЗ: .

Введемо заміну

Повернемось до заміни

або

 

Ø

Відповідь: .

 

26.                    Знайти цілі розв’язки рівняння .

Розв’язання:

Введемо заміну

Повернемось до заміни

або

Відповідь:  ;

 

27.                    Розв’язати у цілих числах систему рівнянь

Розв’язання:

Для розв’язання даної системи, перенесемо у першому рівнянні усі доданки у ліву частину і по групуємо їх

Введемо заміну

Повернемось до заміни

Помножимо перше рівняння на 7, а друге на 4.

або

Помножимо перше рівняння на 8, а друге на 3

Відповідь: 

 

28.                    Обчислити , якщо

Розв’язання:

 Виконаємо множення у другому рівнянні , перенесемо вирази зі змінними у ліву частину та виділимо повний квадрат

або

Відповідь:

 

29.                    Знайти розв’язки рівняння .

Розв’язання:

Введемо заміну

За теоремою Вієта

.

Відповідь: -2; -1; 1; 2.

 

 

30.                    Обчислити , якщо .

Розв’язання:

Додамо до першого рівняння потроєне друге

Відповідь: .