Зразок роботи Малої академії наук з математики

ТЕЗИ

науково-дослідницької роботи «Математика і література»

Автор – Макаренко Ірина, КЗ «Тетіївський ОЦ-ОЗЗСО І-ІІІ ступенів №3», 10 клас.

Науковий керівник – Гергель Олександр Іванович, учитель математики КЗ «Тетіївський ОЦ-ОЗЗСО І-ІІІ ступенів №3», спеціаліст першої кваліфікаційної категорії.

 Математика відома з давніх часів. Якщо згадати такі великі держави минулого як Древній Рим, Древня Греція, Османська імперія в Туреччині, то можна помітити, що усі архітектурні і художні шедеври створювалися з використанням математики. Знання математики були потрібні не лише при будівництві, але і при створенні літературно - художніх творів. Не дарма О.С.Пушкін говорив: "Натхнення треба в геометрії не менше, ніж в поезії". Грамотне використання математичних фактів робить художній твір достовірним і реальним.  Під час вивчення цієї теми я звернула увагу на те, що більшість поетів, учених цікавляться  математикою і вивчають її за допомогою поезії. А математики пишуть вірші,  які досягають великих успіхів.  Наприклад, англійський математик Дж. Сільвестер написав сонет „Небесна муза”, який присвятив першій російській жінці-математику Софії Ковалевській.

 Спираючись на всі ці факти, я вирішила проаналізували зв’язок математики з поезією.

 Дане дослідження виходить з тези «математика – це мова, якою написана книга природи».  В процесі своїх пошуків я зрозуміла і довела, що література і математика—це два могутніх знаряддя пізнання світу, частиною якого є й сама людина.

  Література і математика, що може об'єднати ці віддаленні області знань? Поєднання непоєднуваного є звичайною роботою нашої уяви, коли ми шукаємо пояснення до незрозумілого. Література прагне гармонії між людською душою і природою. Математика створила адекватні методи математичного опису законів природи. Багато хто думає, що математика і література це зовсім різні речі, але це не так. Адже саме математика дала нам такі слова, як гармонія, симетрія, пропорції.

 Я вибрала цю тему не випадково, а тому що писати вірші дозволяє студентам пов’язати свої емоції чи почуття зі словником. Там може бути туга, визначення чи гумор.

 Метою даної роботи є дослідження взаємозв’язку математики і літератури; уміння чітко, логічно і точно висловити свою точку зору, використовувати адекватні мовні засоби; цілеспрямованість в пошуках і прийнятті рішень, винахідливості і інтуїції, розвитку просторових уявлень; здатність сприймати красу і гармонію світу;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 Математика завжди супроводжувала людину в житті. Тим не менш, ставлення людей до слова "математика" є двократним: деякі майже ненавидять і вважають, що вона не буде корисною в житті, інші відчувають радісне почуття від вирішення складної проблеми. Ясно одне: немає байдужих до математики. Математика є частиною загальної освіти. Сьогодні жодна сфера людської діяльності не може обійтися без математики, як без специфічних математичних знань і інтелектуальних якостей, що розвиваються в ході освоєння цієї академічної дисципліни. Багато хто знає фразу "фізика текстів", яка підкреслює, як різні точні науки, зокрема математики, відрізняються від гуманітарних наук. Однак останнім часом ми можемо чути, що математика мова, наша друга мова, яку неможливо не вчити. "Перша мова є рідною, друга мова є математичною, а потім є іноземна мова. Тобто математику потрібно вчити, аби зрозуміти існуючі тексти будь-якого роду.

 Математика невичерпна і значуща. Математика гідна віршів і співати пісні про це, тому що вона збагачує велику і могутню російську мову. Складно уявити собі літературні твори, тексти без цифр. А скільки загадок, приказок, прислів'їв втратило б їх значення, якби не їх зміст і цифри!

 Поезія математики являє собою своєрідний сплав науки і мистецтва. Розкрити зв'язок між математикою і літературою, сприяти освіті "почуттів і розуму"- це й є метою мого дослідження.

 Предмет дослідження: зв’язок математики і літератури; аналіз літературних творів.

 Мета: дослідження взаємозв’язку математики і літератури.

 Об’єкт дослідження: літературні творі, вірші письменників.

 

 

 

 

 

 

 

 

Я виділила декілька пунктів використання математики в літературі.

1.  Використання математики в літературних творах

Пригадаймо роман Жуля "Таємничий острів", який містить не тільки цікаву, захоплюючу ділянку, але і досить багато математичних міркувань. У цьому романі описаний один із способів вимірювання високих об'єктів.

 "Сьогодні нам потрібно виміряти висоту далекого роду сайт", сказав інженер.

 Вам потрібен інструмент для цього? -  запитав Герберт.

 Ні, вам не доведеться. Ми будемо діяти дещо по-іншому.

 Беручи прямий полюс, 12 футів завдовжки, інженер виміряв його, можливо, більш точно, порівнюючи його з його висотою, яка була добре відома йому. Герберт носив схил позаду нього: просто камінь прив'язав до кінця мотузки. Не доходячи футів 500 до гранітної стіни, яка піднімалася прямовисно, інженер встромив жердину фута на два в пісок і, міцно зміцнивши його, поставив вертикально за допомогою схилу.

Потім він відійшов від жердини на таку відстань, щоб лежачи на піску, можна було на одній прямій лінії бачити і кінець жердини, і край гребеня. Цю точку він ретельно позначив кілочком.

- Тобі знайомі початки геометрії? - запитав він Герберта, піднімаючись з землі.

- Так.

- Пам'ятаєш властивості подібних трикутників?

- Їх подібні сторони пропорційні.

- ... Якщо ми виміряємо дві відстані: відстань від кілочка до заснування жердини і відстань від кілочка до підстави стіни, то, знаючи висоту жердини, зможемо обчислити четвертий, невідомий член пропорції, висоту стіни.

 Дві горизонтальні відстані були виміряні: менше дорівнювало 15 футів, більше - 500 футів.

Після закінчення вимірювань інженер склав наступний запис:

15: 500 = 10: х;

500 х 10 = 5000;

5000: 15 = 333,3.

 Значить, висота гранітної стіни дорівнювала 333 футів.

 Ще один з героїв Жуля Верна підраховував, яка частина його тіла пройшла довший шлях за час навколосвітніх мандрів - голова або ступні ніг. Це дуже повчальна геометрична задача, якщо поставити питання певним чином.

Завдання.

 Уявіть, що ви обійшли земну кулю по екватору. Наскільки при цьому верхівка вашої голови пройшла довший шлях, ніж кінчик вашої ноги?

Розв’язання

 Ноги пройшли шлях 2R, де R - радіус земної кулі. Верхівка ж голови пройшла при цьому 2 (R + 1,7), де 1,7 м - зріст людини. Різниця шляхів дорівнює

2п(R+1,7) – 2пR = 2п*1,7= 10,7 (м).

Отже, голова пройшла шлях на 10,7 м більше, ніж ноги.

Цікаво, що в остаточну відповідь не входить величина радіуса земної кулі. Тому результат вийде однаковий і на Землі, і на Юпітері, і на самій маленькій планеті.

 А тепер пригадаймо книгу «Подорож Гуллівера» Джонатана Свіфта, який з великою обачністю уникнув небезпеки заплутатися в геометричних відносинах. У країні ліліпутів футу відповідав дюйм, а в країні велетнів, навпаки, дюйму - фут. Іншими словами, у ліліпутів всі люди, всі речі, всі твори природи в 12 разів менше нормальних, у велетнів - у стільки ж разів більше. Ці, на перший погляд, прості відносини сильно ускладнювалися, коли доводилося вирішувати такі питання:

• У скільки разів Гуллівер з'їдав за обідом більше, ніж ліліпут?
• У скільки разів Гулліверу потрібно більше сукна на костюм, ніж ліліпутів?
• Скільки важило яблуко в країні велетнів?

 Автор впорався з цими завданнями в більшості випадків цілком успішно. Він правильно розрахував, що раз ліліпут ростом менше Гуллівера в 12 разів, то обсяг його тіла менше в 12 х 12 х 12, в 1728 разів. Отже, для насичення тіла Гуллівера потрібно в 1728 разів більше їжі, ніж для ліліпута. Правильно розрахував Свіфт і кількість матеріалу на костюм Гулліверу. Поверхня його тіла більше, ніж у ліліпута, в 12 = 144 рази; в стільки ж разів потрібно йому більше матеріалу. Потреба виробляти подібні розрахунки виникала у Свіфта мало не на кожній сторінці. І, взагалі кажучи, він виконував їх правильно. Якщо у А.С. Пушкіна в «Євгенії Онєгіні», як стверджує поет, «час розраховане за календарем», то в «Подорожах» Свіфта все розміри узгоджені з правилами геометрії. Лише зрідка належний масштаб не витримувався, особливо при описі країни велетнів.

2. Використання математики у віршах.

1.1 Сергій Федін, один з сучасних письменників, володіє цим афоризм: «Кращі вірші написані математиками і називаються теореми». Тепер пригадаємо теорему Піфагора— давньогрецький філософ, математик і містика, творець філософської школи Піфагоранів:

 В прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів : А2+B2=C2.

Вірш:

Якщо нам дано трикутник

і в той же час  з правильним кутом,

то квадрат Гіпотенузи

ми  завжди легко знайдем:

катети в квадрат возводим

суму степенів  знаходим і таким

простим шляхом

до результату ми приходим.

І. Дірченко

Пригаємо ще  теорему Вієта - французький математик, юрист:

Сума коренів зведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену. х1+х2 = -р, х1* х2=q.

Тобто, якщо х1 і х2 – корені зведеного квадратного рівняння  aх2+bх+c=0,  то

х1+х2=-b/а,

х1 * х2=с/а.

Вірш

По праву гідна у віршах бути оспівана

Про властивості коренів теорема Вієта.

Що краще, скажи, постійності такої:

Помножиш ти корінь - і дріб вже й готовий:

 У  чисельнику с, в знаменнику а.

 А сума коренів теж дробу дорівнює.

Хоч з мінусом дріб, що за біда –

У чисельнику b, в знаменнику а.

1.2  Розглянемо вірш Семена Кірсанова Любов математика.

ЛЮБОВ МАТЕМАТИКА

Розчленовані в дужках докладно,

ці формули явно мертві.

Дізнаюся: ця лінія - ви!

Це ви, Катерина Петрівна!

Життя прокреслена гострим кутом,

в тридцять градусів пущений ухил,

і розрізаний навпіл вами,

о, бісектриса моя!

Знаки смерті на таємному особі,

кут рота, хорди очей - розсік!

Це ж ім'я моє - ОBC -

Олександр Борисович Сухий!

І коли я зігнутий дугою,

неизвестною точкою ваблячи,

ви проходите далекої такий

по дотичній повз мене!

Ось пліч-о-пліч поставлені ми

над пюпітрами шкільних тижнів, -

тільки двома паралельними прямими

не зійтися ніколи і ніде!

Семен Кірсанов

 У двох останніх рядках вірша йдеться про паралельні прямі. Явище паралельності прийшло в літературу з геометрії. Паралелізм в поезії - це "композиційний прийом, що підкреслює структурний зв'язок двох або трьох елементів стилю в художньому творі. Елементи розташовуються паралельно в двох або трьох суміжних фразах, віршах, строфах, завдяки чому виявляється їх спільність ". Синтаксичний паралелізм передбачає однакову структуру пропозицій в суміжних віршах:

"Біліє парус самотній

У тумані моря блакитного! ..

Що шукає він в країні далекій?

Що кинув він в краю ріднім? .. "

М.Ю. Лермонтов (1814-1841)

 

"Сад весь в цвіту, вечір у вогні,

Так освіжно радісно мені!

Ось я стою, ось я йду.

Немов таємничої мови я чекаю. "

А.Фет

1.3   Справжні поети завжди прагнули удосконалювати форму своїх творів і вносити в них прихований, зашифрований сенс. Якщо уподібнити перші літери віршів вертикальної прямої, то прикладом внесення сенсу в безглуздість вертикальних буквених рядів можна вважати акровірш, в якому початкові літери кожного вірша при читанні зверху вниз складають слово, іноді фразу. Це була "спроба внести сенс навіть в вертикальну нісенітницю букв, стрункість, порядок - в хаос".

Стратег і тактик він у військовій справі,

Вчив солдат "Науці перемагати",

Взяв Римник, Ізмаїл та в російських вірячи,

Він говорив: "Вітчизна нам як Мати!"

Ревнитель новизни в своєму мистецтві,

Здійснив Альпійський перехід ...

Великий полководець, князь, граф російський,

Щасливий в битвах патріот.

Н.Белостоцкая

1.3 Як геометричну лінію можна уявити в поезії і моновірш, тобто поетичний твір з одного рядка. Звичайно, моновірші самі по собі з геометрією пов'язані слабо, але як витончений "одновірш" Івана Жданова з геометричною назвою - "Стрічка Мебіуса" - і може читатися нескінченно: "Я потрібен тобі для того, щоб ти була мені потрібна . Стрічка (лист) Мебіуса - топологічний об'єкт, найпростіша однобічна поверхня з краєм). Модель стрічки Мебіуса можна легко зробити: треба взяти досить довгу паперову смужку і склеїти протилежні кінці смужки в кільце, попередньо перевернувши один з них.

1.4   Магічними стають і пі-вірші, що складаються з послідовності слів, де кількість букв являє десяткову послідовність числа: 3,14 ... В російській мові  відомо кілька пі-моновіршів: “Что я знаю о кругах”, “Что я тебе и Дарье рассказал”, “Это я знаю и помню прекрасно”, “Это я знаю и знать продолжаю”, и даже двустишие “Где и волк, и выдра властелин – ту страну лютый рок обошел”.Сергієм Федіним написаний прозовий текст, де кількість букв в словах відповідають числу  п = 3,141 592 653 589 793 238 462 643 ... .

  Англійська віршик (20 знаків після коми - 3,14159265358979323846)

I wish I could determine pi

Eureka cried the great inventor

Christmas pudding

Christmas pie

Is the problem's very center.

 Англійська віршик (12 знаків після коми - 3.141592653589):

See I have a rhyme assisting

My feeble brain, its tasks offtimes resisting.

 Французький варіант (3.141592653589793238462643383279):

Que j \ 'aime faire apprendre un nombre utile aux sages!

Immortel Archim \ 'ede, sublime ing \ `enieur,

Qui de ton jugement peut sonder la valeur?

Pour moi ton probl \ 'eme eut de pareils avantages.

1.5 Внутрішньої геометрією володіє і така форма, як паліндром- буквально «біжить назад.   Паліндром - слово, число, набір символів, словосполучення або віршований рядок, що однаково читається в обох напрямках (зліва направо та справа наліво). Приклад паліндрома:

   кит на морі романтик ↔ китнамор іром ан тик

У давнину паліндрому надавали магічний сенс. Найдавнішим з магічних паліндромів вважають такий:

SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS

(Сіяч Арепо насилу тримає колеса).

З нього складається магічний квадрат, де вираз читається як вертикально, так і горизонтально, як зліва направо, зверху вниз, так і навпаки. Через магічних властивостей цей паліндром вважали оберегом від хвороб і злих духів. Українські вірші-паліндроми (або вірш-рак) почав писати ще в XVII столітті Івпн Величковчикий який 1691 року дав визначення віршу-раку: «Рак літеральний єсть вірш, которого літери, і вспак читаючися, той же текст виражають».

У сучасній поезії розрізняють вірш-паліндром і вірш-паліндромон. Вірш-паліндром складається з рядків-паліндромів. Вірш-паліндромон — це єдиний від початку до кінця паліндром.

Прості слова, які однаково читаються як зліва направо, так і справа наліво,— очевидні: око, дід, піп, наган, Пилип, радар, ротатор. Важче придумувати речення, які даватимуть однаковий зміст при прямому та зворотному читанні, як-от: «Я несу гусеня» чи «Де помити мопед?» Проте лише майстрам слова вдається з таких симетричних рядків вибудувати змістовний та образний вірш. Приклади паліндромів у літературі:

Вірші

 «Козак з казок»

Кожен рядок віршу є окремим паліндромом (вірш-паліндром):

Козак з казок.

Уже лисі ліси… Лежу.

Уже ребра татар бережу.

Умру. Суму сум — у сурму,

А мене нема…

PALINDROMON-21

Весь вірш є одним суцільним паліндромом (вірш-аліндромон):

І трава, ніч…

О-охи та ахи…

Луджені зорі,

Аромат лексидій,

Юль фото…

Флюїди скель,

та моря,

і роз…

… І не жду лиха,

А — тихо очі на варті…

3. Мнемотехника. Азбука цифр

 Що таке мнемотехнічний прийом, найпростіше ілюструється всім відомої зі шкільних років кодуванням, що допомагає запам'ятати порядок кольорів веселки: "Кожен мисливець бажає знати, де сидить фазан". Кожне слово означає свій колір, оскільки їх перші літери співпадають.

Існують різноманітні способи заучування іноземних слів, професійних термінів і класифікацій, причому кожен може придумати собі свою власну методику. Розглянемо один із способів запам'ятовування цифрової інформації, який користувався популярністю ще 200-300 років тому - абетку цифр.

Варіантів цієї абетки може бути безліч, наведемо один з них і на прикладі подивимося, як його можна використовувати для запам'ятовування історичних дат.

Кожній цифрі приведемо у відповідність деякі букви алфавіту, в даному випадку тільки приголосні, таким чином, щоб були деякі аналогії між буквами і цифрами. наприклад:

0 = л. Буква "л" є останньою згодної в слові "нуль".

1 = р, ф. Ці букви, як і одиниця, містять вертикальну риску.

2 = н, ц. "Н" і "ц" містять по дві паралельні риси.

3 = ж, м, з. Буква "м" має 3 кута, "ж" складена з трьох перекладин, а буква "з" має очевидну подібність із цифрою 3.

4 = до, ч. Буква "ч" не тільки схожа на цифру 4, з неї починається слово "чотири", "до" відповідає квадрату, у якого чотири сторони.

7 = "з", тому що сім, 8 = "в", тому що схожі і в той же час "вісім", 9 = д.

А ось як можна використовувати нашу абетку для запам'ятовування дат історичних подій.

1. Куликівська битва, 1380 рік.

Першу цифру, одиницю, немає потреби шифрувати. Число 380 кодируем нашої азбукою цифр буквами: "з (3) - в (8) - л (0)". Для цих приголосних букв підбираємо слово, яке одночасно б асоціювалася з самою подією, і запам'ятаємо цілу фразу, що містить дане слово. Слово буде "завал", а фраза - "На Поле Куликовому був завал загиблих воїнів".

Запам'ятали? Тепер навряд чи у вас вийде забути, навіть якщо захочете.

2. Полтавська битва, 1709 рік.

Тисячу також запам'ятовуємо, а число 709 переводимо в букви "с - л - д". Можна вибрати слово "солдат" або щось "солодке". Щоб фраза була пов'язана зі змістом події, нехай це буде "Солодка перемога для Петра I".

У літературі мнемотехніку використовують для перекладу поезій на математичну мову:

Тарас Шевченко

Садок вишневий коло хати,

Хрущі над вишнями гудуть,

Плугатарі з плугами йдут,

Співають ідучі дівчата,

А матері вечеряти ждуть. "

13 9 48

15 8 43

512 38

16 30 23

4. Золотий перетин у поезії

 Багато хто погодиться з тим, що вірші звучать красиво, так як мають свою ритміку і навіть музику. Чіткий ритм, чергування ударних і ненаголошених складів, упорядкована розмірність віршів засновані на знанні розділу математики "Комбінаторика".

Математичний аналіз ритміки поетичних творів Пушкіна, Лермонтова, Шиллера, Ш. Руставелі показав, що в багатьох випадках побудова форми творів підкоряється закону Золотого перетину і пов'язаним з ним числам Фібоначчі.

«Золотий перетин» - це таке пропорційне ділення відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як сама велика частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього:

с:b=b:а  чи   a:b=b:c.

Відрізки «золотий пропорції» виражаються нескінченними дробами а = 0,618 ..., b = 0,382 ..., якщо з = 1.

Для практичних цілей часто використовують наближені значення 0,62 і 0,38.

Якщо відрізок з прийняти за 100 частин, то більша частина відрізка дорівнює 62, а менша - 38 частинам. При цьому відношення с : b = b : а  1,618.

Числа Фібоначчі - це числа, складові послідовність, кожен член якої, за винятком другої одиниці, дорівнює сумі двох попередніх: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Основна властивість пов'язана з золотим числом або золотим перетином . Відносинам кожного числа Фібоначчі до попереднього поступово наближається до золотого числа - числа Фідія  Ф 1,618:

1/1=1           8/5 =1,6

     2/1=2               13/8 =1,625

            3/2=1,5                       21/13 1,61538

              5/3 1,6667             34/21 1,61905.

 Золотий перетин в поезії проявляється як наявність певного моменту вірші (кульмінація смислового перелому, головної думки твору) в рядку, що припадає на точку ділення загальної кількості рядків вірша в золотій пропорції.

Так, якщо вірш містить 100 рядків, то перша точка золотого перетину доводиться на 62-й рядок (62%), друга - на 38-ю (38%) і т.д.

Звичайній людині на перший погляд може здатися, що величина вірша, тобто кількість рядків в ньому, може змінюватися довільно. Однак виявилося, що це не так.

Аналіз віршів Пушкіна показує, що розміри віршів розподілені нерівномірно: Пушкін вважав за краще розміри в 5, 8, 13, 21 і 34 рядків (числа Фібоначчі).

Розбір роману «Євгеній Онєгін» говорить про те, що найбільш досконалою, найбільш відточеною і емоційно насиченою є 8 глава.

Кульмінацією глави є пояснення Євгена в любові до Тетяни - рядок «бліднуть і гаснуть ... ось блаженство!»

Цей рядок ділить всю 8 главу на2 частини: в першій 477 рядків, а в другій - 295 рядків. Їхнє ставлення дорівнює 1,617!

Найтонша відповідність обсягом золотій пропорції! Це велике чудо гармонії, вчинене генієм Пушкіна!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновок

У роботі представлене використання математики у літературі. Можна зробити висновок, що  у  літературі знайшла відображення не одна математична ідея. Численні приклади того є і в відомих всім з дитинства казках , і в пригодницьких романах, і у віршах. Примітно, що письменники, які працювали в різних жанрах, найчастіше використовували одні й ті ж ідеї.

Використання математики у літературі допомагає у вивченні деяких шкільних предметів.

Мнемотехніка допомагає полегшує процес запам'ятовування, збільшується об'єм пам'яті шляхом утворення додаткових асоціацій. Цілеспрямоване та сплановане використання мнемотехніки дозволяє засвоювати матеріал цікавіше та швидше.

Новизна роботи: Пізнавальний матеріал допомагає розвитку пам'яті, уваги, мислення, а також творчої фантазії; зменшуються стреси від навчання; підвищується інтерес до навчання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список використаних джерел

1. Н. М. Карпушина. Любимые книги глазами математика. – М.: Редакция журнала “Наука и жизнь”, 2011.

 

2. Гик Евгений. Палиндромы // Наука и жизнь. — 2014. — № 4. — С. 118.

 

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. «За страницами учебника математики», изд.Просвещение, М., 1996, с.320.

 

4. Перельман Я.И. «Занимательная геометрия», изд. технико – теоретической литературы, М., 1950, с.296.

 

5. Жуков А. В. О числе π. — М.: МЦМНО, 2002. — 32 с.

 

6. Леонтьев А. Н. Развитие памяти М.-Л., 1931.

 

7. И. Д. Агеева. Занимательные материалы по информатике и математике. – М.: Творческий центр, 2006.

 

8. Білаш О.Н. Мнемотехніка в роботі з дітьми дошкільного віку // «Дитячий садок». - 2015. -№ 23.- С.12-15.