Квадратична функція в задачах з параметрами

Про матеріал
Квадратична функція є основною в шкільному курсі математики. Тому, природно, вона формує великий клас задач з параметрами, різноманітних за формою і змістом, але об’єднаних однією ідеєю – в основі їх розв’язання лежать властивості функції .
Перегляд файлу

 

Квадратична функція в задачах з параметрами.

Квадратична функція є основною в шкільному курсі математики. Тому, природно, вона формує великий клас задач з параметрами, різноманітних за формою і змістом, але об’єднаних однією ідеєю – в основі їх розв’язання лежать властивості функції .

§1. «Каркас» квадратичної функції.

Фактично всі важливі властивості квадратичної функції задаються таблицею, що представлена на малюнку 26.

Наведена схема демонструє, що дискримінант , старший коефіцієнт відповідного функції квадратного тричлена, абсциса вершини параболи конструюють «каркас», на якому будується теорія квадратичної функції.

 

А. Дискримінант, старший коефіцієнт.

3.1. Знайти всі значення параметра , при яких система рівнянь має розв’язки.

Розв’язання:

Друге рівняння запишемо у вигляді: або . Якщо , то перше рівняння набуває вигляду і дійсних коренів немає.

Отже, , тоді . Необхідно і достатньо, щоб .

Відповідь: .

3.2. Знайти всі значення , для яких нерівність виконується для всіх значень .

Розв’язання:

Якщо , то умова задачі не виконується.

При маємо - розв’язків немає.

При необхідно і достатньо, щоб , тобто .

Відповідь: .

3.3. При яких значеннях нерівність виконується для всіх ?

Розв’язання:

Перепишемо дану нерівність у вигляді: . Оскільки для всіх , то остання нерівність еквівалентна системі: . Для того, щоб ця система виконувалась для всіх , дискримінанти відповідних квадратних тричленів повинні бути невід’ємними:

.

Відповідь: .

3.4. Знайти всі цілі значення , при яких нерівність виконується при будь-якому .

Розв’язання:

Переходимо до еквівалентної нерівності: . Необхідно, щоб . Загальний розв’язок . З якого легко отримуємо

Відповідь: .

3.5. При яких значеннях параметра для будь-якого виконується нерівність ?

Розв’язання:

Оскільки , то .

Розглянемо два випадки:

1) . Маємо: . З урахуванням умови остання нерівність не може виконуватись для всіх .

2) . Тоді . Необхідно: або .

Відповідь: або .

3.6. Дано два многочлена: та . При яких значеннях один із многочленів має корінь, а інший ні?

Розв’язання:

Умові задачі відповідає сукупність двох систем нерівностей: . Випадок розглянемо окремо. В цьому випадку - коренів немає; - корінь є.

Відповідь: або .

3.7. Знайти найменше , при якому існує розв’язок рівняння .

Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді і розглянемо його як квадратне відносно . Для існування розв’язку необхідно вимагати, щоб . Маємо: . Тепер залишається знайти такі , при яких отримана квадратна нерівність має хоча б один розв’язок. Звернення до малюнку 26 дає змогу знайти необхідну умову: . Найменше значення .

Відповідь: .

3.8. При яких значеннях параметра існує єдина пара чисел , що задовольняє співвідношення ?

Розв’язання:

Запишемо рівняння у вигляді: і розглянемо його як квадратне відносно . Для коректності цього кроку спочатку розглянемо значення . Тоді і будь-яка пара є розв’язком, тобто єдиності немає. Якщо , то . При для будь-якого , отже дане рівняння має безліч розв’язків. При дискримінант стає недодатнім, і існування єдиності розв’язку забезпечується лише умовою .

Відповідь: .

3.9. Знайти при яких система має єдиний розв’язок.

Розв’язання:

З першого рівняння маємо: . Друге рівняння набуває вигляду: . Це рівняння має один розв’язок за умов: або . Крім того, якщо квадратне рівняння має два розв’язки, один з яких , то система має єдиний розв’язок. Це можливо за умови .

Відповідь: .

3.10. Знайти , при яких система має розв’язки для будь-яких .

Розв’язання:

Підставляючи в перше рівняння, отримаємо: , звідки . Знаходимо . Залишається з’ясувати, при яких нерівність виконується при будь-яких . Очевидно, що це відбувається лише за умови .

Відповідь: .

3.11. При яких значеннях рівність є тотожністю.

Розв’язання:

Запишемо рівність у вигляді: . Для того, щоб ця рівність була тотожністю (тобто виконувалась при всіх ) необхідно .

Відповідь: , .

3.12. Знайти при яких система має не менше п’яти розв’язків.

Розв’язання:

Перше рівняння системи запишемо у вигляді: . Тому система еквівалентна сукупності двох систем: . Якщо другі рівняння систем квадратні або лінійні, то система не може мати більше чотирьох розв’язків. Тому необхідно: , тоді будь-яке; або , звідки або .

Відповідь: або .

 

 

Б. Вершина параболи.

3.13. При яких значеннях найбільше значення тричлена менше чотирьох?

Розв’язання:

Необхідно, щоб (для цього знову треба звернутись до мал. 26). Координати вершини параболи:

Отримуємо необхідні умови: .

Відповідь: .

3.14. Знайти найменше та найбільше значення функції на відрізку .

Розв’язання:

Дана функція спадає на інтервалі і зростає на інтервалі , де   - координати вершини параболи. Цих міркувань достатньо, щоб записати відповідь. У цьому допоможе мал. 27.

а) Якщо , тобто , то .

б) Якщо , тобто , то .

в) Якщо , тобто , то .

г) якщо , тобто , то .

Відповідь: : ;

                   : ;

                     : ;

                     : .

3.15. Нехай належить множині розв’язків нерівності . Яке при цьому найбільше значення виразу ?

Розв’язання:

Розв’язком нерівності є множина . Абсциса вершини параболи .

Відповідь: якщо , то ;

                   якщо , то ;

                   якщо , то ;

                   якщо , то ;

                   якщо , то ;

                   якщо , то ;

                   якщо , то .

3.16. При яких дійсних найбільше значення функції на відрізку від’ємне?

Розв’язання:

Оскільки , то . Тоді шуканими значеннями параметра будуть ті, при яких найбільше значення функції на відрізку від’ємне. Звернемось до графічного образу (мал. 28).

Необхідно , тобто .

Відповідь: .

3.17. Дійсні числа такі, що . При яких сума приймає найбільше значення?

Розв’язання:

Маємо: . Своє найбільше значення функція приймає при . . Здавалося б, це розв’язок. Але при дана система набуває вигляду і розв’язків немає.

З’ясуємо, при яких система має розв’язки. Підставимо в друге рівняння. Маємо: . Дискримінант цього рівняння . Розв’язком нерівності буде проміжок . Саме при цих дана система має розв’язки. Залишається з’ясувати, при яких функція приймає найбільше значення на відрізку . Абсциса вершини параболи , отже при функція приймає найбільше значення.

Відповідь: .

3.18. Знайти всі значення , при яких вершини двох парабол та  лежать по різні сторони від прямої .

Розв’язання:

Маємо: - вершина параболи ; - вершина параболи . Для параболи ; для параболи . Очевидно, положення парабол, при якому вони лежать по різні сторони від прямої , забезпечується сукупністю: . Ця сукупність рівносильна нерівності: .

Відповідь: .

§2. Корені квадратичної функції.

А. Теорема Вієта.

3.19. Нехай - корені рівняння . Обчислити .

Розв’язання:

За теоремою Вієта: .

.

Відповідь: .

3.20. Знайти всі значення параметра , при яких рівняння має два різних кореня і сума цих коренів від’ємна.

Розв’язання:

Спочатку знайдемо всі , для яких рівняння має два різних розв’язки.

1) . Звідки або . З урахуванням умови маємо .

2) , тому - розв’язок.

3) виконується для всіх , оскільки .

Отже, або .

На цій множині повинна виконуватись умова: .

Відповідь: або або .

3.21. При яких різниця коренів рівняння дорівнює їх добутку?

Розв’язання:

. За теоремою Вієта: .

Відповідь: .

3.22. При яких рівняння має два різних дійсних корені, які задовольняють умову ?

Розв’язання:

Дискримінант рівняння: і .

, і скориставшись теоремою Вієта, отримаємо: .

Відповідь: або .

3.23. Знайти від’ємні корені рівняння .

Розв’язання:

Дискримінант цього рівняння . Корені мають вигляд: . Розглянемо вираз . Якщо , то рівняння має один від’ємний корінь. Отже, при   .

Якщо , то , тому обидва корені повинні бути від’ємними, але .

Якщо , то обидва корені від’ємні.

Відповідь: якщо , то ; якщо , то .

3.24. Знайти всі , при яких система має єдиний розв’язок.

Розв’язання:

Скористаємось геометричною інтерпретацією (мал. 29). З другого рівняння . При або , тому або . Для того, щоб система мала єдиний розв’язок необхідно або . Крім того, може мати один розв’язок, якщо дискримінант рівняння дорівнює нулю. Звідки .

Відповідь: або або .

3.25. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язок:

Нехай . Маємо: . Дискримінант цього рівняння при . Тоді . При єдиний розв’язок.

Корені квадратного рівняння: . При маємо лише одне додатне значення .

Відповідь: або .

3.26. Знайти всі значення параметра , для яких нерівність має хоча б один розв’язок.

Розв’язання:

Нехай . Дискримінант рівняння повинен бути невід’ємним. або . Корені рівняння не повинні бути обидва від’ємними.

При вони обидва додатні.

При необхідно виконання умови , отже для цих обидва корені від’ємні.

Відповідь: .

3.27. При яких рівняння має чотири розв’язки?

Розв’язання:

Розглянемо два випадки.

1) . Маємо: , де . Корені рівняння повинні бути додатними, тому та їх добуток повинен бути менше 1, тобто , звідки .

2) . Маємо: , де . Воно має два розв’язки, якщо .

Відповідь: .

Б. Розташування коренів квадратичної функції відносно заданих точок.

В задачах пункту А на визначення знаків коренів квадратичної функції ми з’ясовували питання про розташування коренів відносно точки . Такий підхід припускає природне узагальнення: не зосереджувати увагу лише на точці і , більш того, піти далі, не обмежуючись тільки цією точкою. Для подібних задач характерна наступна умова: при яких значеннях параметра корені (тільки один корінь) більше (менше, не більше, не менше) заданого числа ; корені розташовані між числами і ; корені не належать проміжку з кінцями в точках і та ін.

З першого погляду здається природним, знайшовши корені квадратичної функції (якщо вони існують), порівняти їх з заданими числами (числом). Відмітимо, що цей шлях виправданий лише в тих випадках, коли нам пощастить – дискримінант квадратичної функції буде повним квадратом. Саме з такого «комфортного» типу задач ми і розпочнемо.

3.28. При яких корені квадратного тричлена більше -2, але менше 0?

Розв’язання:

Дискримінант квадратного тричлена і його корені . Оскільки , то достатньо вимагати, щоб . Крім того, при маємо один корінь, що задовольняє умову.

Відповідь: або .

3.29. При яких будь-який розв’язок нерівності буде також розв’язком нерівності ?

Розв’язання:

Розв’язки першої нерівності знаходимо із сукупності розв’язків двох систем: .

Розглянемо нерівність: . Корені відповідного квадратного тричлена: . Якщо , то умова задачі, очевидно, не виконується, бо . Залишається вимагати, щоб .

Відповідь: .

3.30. З’ясувати, для яких дійсних всі розв’язки нерівності є одночасно розв’язками нерівності .

Розв’язання:

Розв’язки першої нерівності знаходимо з сукупності систем: .

Розглянемо нерівність . Дискримінант квадратного тричлена . Розв’язки нерівності . Необхідно, щоб або   або .

Відповідь: або або .

3.31. При яких значеннях параметра має розв’язки система нерівностей ?

Розв’язання:

Дискримінанти відповідних квадратних тричленів та відповідно. Якщо , то маємо - перетину немає. Якщо , то маємо - перетину немає. Якщо , то . Перетин буде при .

Відповідь: .

3.32. Знайти всі значення параметра , для кожного з яких існує тільки одне значення , яке задовольняє систему рівнянь .

Розв’язання:

Розв’язання першого рівняння спряжене не більше ніж з технічними труднощами. Тому обмежимось лише результатом: або .

Розв’язком другого рівняння будуть . Необхідно, щоб одне з чисел або дорівнювало -1, а інше не потрапляло б до множини . Це можливо при . Далі, якщо , то необхідно, щоб або навпаки.

або .

Відповідь: або або .

3.33. Знайти всі значення параметра , при яких один з коренів рівняння буде більше 3, а інший менше 3.

Розв’язання:

Зробимо заміну .

Переформулюємо задачу. Знайти всі , при яких число 3 лежить між коренями рівняння .

Як і в попередніх задачах пошук коренів квадратичної функції пов’язаний зі знаходженням дискримінанта. Отже, . Оскільки в умові є пряма вказівка на існування двох різних коренів , то дискримінант додатній. Нехай - корені квадратного рівняння, причому . Тоді шукані значення знайдемо, розв’язавши систему . Зрозуміло, що розв’язання цієї системи пов’язано з великими технічними труднощами. Тому для цієї задачі вибраний підхід не виправданий.

Раціональний шлях розв’язання базується на простій геометричній інтерпретації. Позначимо ліву частину рівняння через . Парабола повинна перетнути вісь абсцис в двох точках, причому вона спрямована догори. Тоді малюнок 30 – переклад умови на графічну мову. Тепер треба знайти аналітичне співвідношення, яке буде описувати цю картинку. Неважко здогадатись, що вимога є і необхідною і достатньою умовою для виконання нерівності . Маємо , звідки . Повернемося до підстановки. або .

Відповідь: або .

Дуже корисно узагальнити розібрану задачу, тобто знайти умови, при яких число лежить між коренями квадратичної функції . Звернемось знову ж таки до геометричної ілюстрації.  Оскільки з умови випливає, що , то в залежності від знака достатньо розглянути два випадки (мал. 31). Кожен з них описується такими умовами: для a) ;

для b) . Відмітимо, що немає необхідності вимагати виконання умови : нерівності системи гарантують існування двох коренів. Оскільки сукупність цих двох систем рівносильна нерівності , то можна стверджувати наступне:

Твердження 1. Для того, щоб число знаходилось між коренями функції , необхідно і достатньо, щоб виконувалась нерівність .

Після цього буде природним спробувати побудувати критерій, який забезпечить положення заданого числа поза кореневим проміжком. Знаходимо умови, при яких корені квадратичної функції будуть менше числа . Для цього достатньо описати малюнки 32, 33. Легко здогадатись, що вимога забезпечить положення числа поза кореневим проміжком. Зрозуміло, що цієї вимоги недостатньо: при точка може опинитись лівіше кореня або при . Остаточно зафіксує точку в потрібному положенні нерівність , де . Отже, наступна система повністю описує мал. 32. .

Проводячи такі ж міркування для мал. 33 маємо: . Це і є необхідна і достатня умова того, що число більше коренів квадратичної функції. Сформулюємо його в такому вигляді:

Твердження 2. Для того, щоб число було більше коренів квадратичної функції необхідно і достатньо виконання наступної системи нерівностей .

Зробимо декілька зауважень.

  1. Якщо в останній нерівності системи поміняти знак , то отримаємо критерій того, що число буде менше коренів квадратичної функції .
  2. Непогано б було пам’ятати твердження 1 і 2. Але спеціально їх запам’ятовувати непотрібно. Головне зрозуміти механізм виникнення необхідних нерівностей і навчитись застосовувати його на конкретних задачах.
  3. Очевидно, що твердження 1 і 2 не описують всі задачі, пов’язані з розташуванням коренів квадратичної функції. Так, в великій кількості задач число може співпадати з одним з коренів. Крім того, отримані критерії сформульовані лише для однієї точки. Але існує великий клас задач на дослідження положення коренів відносно двох (а можливо і більшої кількості) точок або відносно заданого відрізка. Зрозуміло, що для кожного типу прикладів можна побудувати свій критерій. Але навряд чи треба це робити: основна ідея буде повторюватись, а відповідно, простіше не будувати загальну теорію, а вчитись розв’язувати задачі на конкретних прикладах.

 3.34. При яких корені рівняння задовольняють умови ?

Розв’язання:

Вершина параболи має абсцису , яка належить відрізку . Дискримінант квадратного тричлена повинен бути невід’ємним. Старший коефіцієнт більше нуля. Маємо систему: .

Відповідь: .

3.35. Нехай квадратне рівняння має корені . Знайти всі , що задовольняють умови .

Розв’язання:

Умова задачі описується такими системами нерівностей:

- відповідна квадратична функція.

1)        2) .

Перша система розв’язків немає. Для першої нерівності другої системи маємо: , тому

Відповідь: .

3.36. Нехай квадратне рівняння має корені . Знайти всі такі, що задовольняють умови .

Розв’язання:

Записуємо відповідні системи (які отримаємо за допомогою все того ж графічного образу).

1)

2) .

Зауважимо, що остання нерівність другої системи означає, що для будь-яких . Перша нерівність має розв’язки: та . Порівнюємо . Оскільки , то .

Відповідь: або .

3.37. При яких корені рівняння задовольняють умову ?

Розв’язання:

Як і в попередніх прикладах записуємо системи:

1)      або   2)  .

Відповідь: або .

3.38. Знайти всі , для яких всі розв’язки нерівності знаходяться в розв’язках нерівності .

Розв’язання:

Можливі три варіанти, які зображено на мал. 34.

a) ;  b) ;   c) .

Відповідь: .

В. Задачі, які зводяться до дослідження розташування коренів квадратичної функції.

Цей заголовок достатньо повно відображає основну ідею розв’язування прикладів даного пункту. Треба лише додати, що вміння помітити «замасковану» в задачі квадратичну функцію – прийом достатньо поширений і в великій мірі ефективний. Відмітимо ще, що в цьому пункті зберігаються позначення: - квадратична функція; - дискримінант; - вершина параболи.

3.39. При яких система рівнянь   має розв’язки?

Розв’язання:

З другого рівняння системи випливає, що . Тому, якщо хоча б один корінь першого рівняння буде не менше 2, то дана система має розв’язки. Якщо , то . Отже, входить до відповіді. Якщо , то квадратне рівняння зручно записати у вигляді: . Для нього . Якщо , то , тому також входить до відповіді. Якщо , тобто , то шукані значення параметра визначаються сукупністю . (Неважко побудувати відповідну картинку).

Відповідь: .

3.40. Знайти множину всіх , для кожного з яких рівняння має два корені різних знаків.

Розв’язання:

Піднесемо дане рівняння до квадрату (враховуючи, звичайно, що ). . Останнє рівняння має розв’язки , звідки . Залишається виконати умову або .

Відповідь: або .

3.41. При яких значеннях нерівність не має дійсних розв’язків?

Розв’язання:

Для зручності покладемо . Нерівність не має дійсних коренів в таких випадках:

По-перше, якщо дискримінант квадратичної функції недодатній. .

По-друге, якщо рівняння має від’ємні корені. Це можливо, якщо . Повертаємось до параметра . .

Відповідь: .

3.42. Знайти , при яких всі розв’язки рівняння задовольняють умову .

Розв’язання:

При маємо , тобто не є коренем цього рівняння. Поділимо дане рівняння на і зробимо заміну . Маємо: , яке має корені . Тоді або . Для першого рівняння для всіх . Необхідно: .

Для другого рівняння . Він невід’ємний при або . Таким чином, - розв’язок, тому що в цьому випадку дане рівняння має два дійсні корені. Далі, необхідно, щоб .

Відповідь: .

3.43. При яких дійсних значеннях рівняння не має дійсних розв’язків?

Розв’язання:

Знаходимо дискримінант квадратичної функції . Якщо , то рівняння розв’язків не буде мати. . Для дане рівняння не буде мати розв’язків, якщо .

Відповідь: .

3.44. При яких дійсних значеннях параметра рівняння має хоча б один розв’язок?

Розв’язання:

Необхідно, щоб дискримінант квадратичної функції був невід’ємним. . Оскільки , то необхідно, щоб один з коренів квадратичної функції належав відрізку . Вершина параболи належить проміжку . для всіх , отже на корінь є завжди.

Відповідь: або .

3.45. При яких нерівність виконується для всіх ?

Розв’язання:

Зробимо перетворення . Нехай . Оскільки , то . Маємо: . Необхідно, щоб відрізок належав кореневому проміжку квадратичної функції. .

Відповідь: .

3.46. Знайти , при яких нерівність не має розв’язків.

Розв’язання:

При маємо: - розв’язку немає. Далі . Знаходимо дискримінант квадратичної функції. . При дискримінант від’ємний, старший коефіцієнт додатній, отже, розв’язків немає. Якщо , маємо (мал. 35) три можливих положення вершини.

Для першого положення , для другого , для третього .                В останньому випадку необхідно, щоб . Маємо: .

При картинка буде подібною і отримаємо аналогічний результат.

Відповідь: .

3.47. Знайти , при яких нерівність має скінчену кількість розв’язків і вказати ці розв’язки.

Розв’язання:

Зробимо заміну , де . Неважко помітити, що при рівняння має скінчену кількість розв’язків. Тому знайдемо всі , при яких система має скінчену кількість розв’язків. Очевидно це можливо лише тоді, коли вона (система) має рівно один розв’язок. Якщо дискримінант відповідного квадратного тричлена від’ємний, то система розв’язків немає. Якщо , тобто або , то розв’язком першої нерівності буде лише точка . З двох значень параметра підходить лише , бо . Звідки . З умови маємо: .

Якщо , то розв’язком нерівності буде міжкореневий проміжок , який повинен мати тільки одну спільну точку з відрізком . Звідки або . Тоді шукані значення параметра знайдемо, розв’язавши наступну сукупність систем: . Легко переконатися, що друга система розв’язків немає. З першої системи при знайденому знаходимо . Тоді або .

Відповідь: якщо , то ; якщо , то .

3.48. Знайти всі дійсні значення , для яких при всіх існують в проміжку розв’язки рівняння .

Розв’язання:

Оскільки , то , а . Зробимо заміну , маємо . Тепер зрозуміло, що треба знайти такі , для яких при всіх рівняння має хоча б один корінь в інтервалі .

Покажемо на цьому прикладі, який вже можна назвати «стандартним», як, використовуючи конкретні властивості задачі, скоротити технічну роботу. Так, абсциса вершини параболи додатна . Отже, при рівняння не має коренів на проміжку . Далі, при , знову ж таки, завдячуючи тому, що , більший корінь рівняння завжди додатній. Тому залишається розглянути випадок, коли менший корінь належить проміжку . Маємо: . Оскільки друга нерівність повинна виконуватись для всіх , то .

Відповідь: .

3.49. Знайти , при яких існують розв’язки системи .

Розв’язання:

Помножимо друге рівняння системи на , отримаємо: . Нехай ;, тоді . Віднімаючи від першого рівняння друге, дістанемо: . Вимога єдиності розв’язку вихідної системи може бути приводом для того, щоб вимагати те саме від отриманого квадратного рівняння. Але, коли маємо подібну ситуацію, важливо не випустити, що в результаті заміни значення нової змінної можуть бути обмежені якою-небудь множиною. Тому питання про кількість розв’язків повинно бути безпосередньо пов’язане з цією множиною. Так, в даній ситуації , . Разом з тим, . Тоді, з урахуванням останньої системи, . Таким чином, треба знайти значення параметра, при яких рівняння має єдиний розв’язок для . Зрозуміло, що . Вимоги знаходимо з сукупності систем: .

Відповідь: .

3.50. При яких значеннях параметра нерівність виконується для всіх дійсних ?

Розв’язання:

Зробимо заміну . Необхідно знайти всі , для яких нерівність виконується для всіх . Маємо сукупність систем: або . Крім того, (це очевидно) нерівність виконується за умови .

Відповідь: .

3.51. При яких значеннях параметра нерівність виконується для всіх дійсних ?

Розв’язання:

Зробимо заміну , при цьому . Зрозуміло, що необхідно, щоб . Якщо , то умова задачі виконується. Звідки - розв’язок. Якщо , то необхідно виконання умов .

Відповідь: .

 

 

1

 

Середня оцінка розробки
Структурованість
5.0
Оригінальність викладу
5.0
Відповідність темі
5.0
Загальна:
5.0
Всього відгуків: 1
Оцінки та відгуки
  1. Мартинюк Ольга Миколаївна
    Дуже гарна розробка. Глибока, містить велику кількість прикладів. Можна використовувати і при викладанні математики на поглибленому рівні
    Загальна:
    5.0
    Структурованість
    5.0
    Оригінальність викладу
    5.0
    Відповідність темі
    5.0
docx
Додано
21 серпня 2019
Переглядів
4804
Оцінка розробки
5.0 (1 відгук)
Безкоштовний сертифікат
про публікацію авторської розробки
Щоб отримати, додайте розробку

Додати розробку