Презентація Показникова функція

Показникова функція. Показникові рівняння, нерівності та їх системи.

Показникова функція y=ax, a>0, a ≠ 0 Функцію виду y=ax, a>0, a ≠ 0, називають показниковою. Основні властивості: Область визначення – множина всіх дійсних чисел R. Область значень – (0; + нескінченності). Якщо х=0, то y=0. Функція не є парною ні не парною. Якщо a>0, тоді функція y=ax зростає; якщо 01 і х>0, ax>1; при x<0, ax<1. При 00; ax>1 при x>0. Графік функції y=ax зображено на мал. 1.

1 0 y мал. 1 y=ax a>0 x 0 x y y=ax 0

Показникові рівняння Показникові рівняння – рівняння, в яких невідоме міститься в показнику степеня при сталих основах. Наприклад: рівняння 2x + 3 = 0; 3(x+1) – 3x – 1 = 0, є показниковими.

1 1 0 0 х1 х2 y = ax y = ax y = b y = b y x y x мал. 2 y y x x y = b y = b b < 0 b < 0 y = ax y = ax мал. 3 1 1 0 0 Найпростішим показниковим рівнянням є рівняння ax = b, де a > 0, а ≠ 0. Оскільки множина значень функції y = a^x – множина додатніх чисел, то рівняння a^x = b: 1. має один корінь, якщо b > 0 (мал. 2) 2. не має коренів, якщо b ≤ 0 (мал. 3)

Для того щоб розв’язати рівняння y=ax, a>0, a ≠ 0, b > 0, треба подати b у вигляді b = ac, будемо мати: ax = ac, звідси x = c. Приклади: 1. Розв’язати (1/7)x = 49 2. Розв’язати 15 (x^2-5x-6) = 1 3. Розв’язати 2(x-2) = -2 Розв’язання Оскільки 49 = 72 = (1/7)-2, то (1/7)x = (1/7)-2, звідси x = -2. Розв’язання Розв’язання Оскільки 1 = 150, то 15(x^2-5x-6) = 150, x2-5x-6 = 0, звідси х1 = 2, х2 = 3. Оскільки 2(x-2) > 0 при всіх значеннях х, то рівняння коренів не має.

Існує декілька способів розв’язування показникових рівняннь Приведення рівняння до спільної основи, тобто до рівняння af(x) = ag(x), випливає що f(x) = g(x) : І спосіб. ІІ спосіб. Винесення спільного множника за дужки : 2x * 5x = 0.1(10x(-1))3; 10x = 10-1 * 10(3x-3); 10x = 10(3x-4); x = 3x – 4; x = 2. 3x – 2 * 3(x – 2) = 63; 3(x-2) * (32 – 2) =63; 3(x-2) * 7 = 63; 3(x-2) = 9; x – 2 = 2; x = 4.

ІІІ спосіб. Приведення рівняння до квадратного. ІV спосіб. Графічний. 49^x – 8 * 7x + 7 = 0; (72)x – 8 * 7x + 7 = 0; (7x)2 – 8 * 7x + 7 = 0; Нехай 7х = t, тоді t2 – 8t + 7 = 0; t1 = 1, t2 = 7; Отже, 1) 7x = 1; 2) 7x = 7; x1 = 1; x2 = 0 y x 1 0 y = x + 1 y = (1/3)x Побудуємо графіки функцій y = (1/3)x та y = x + 1, в одній системі координат. Вони перетинаються в точці, абсцисса якої х = 0.

Системи показникових рівняннь При розв’язуванні систем показникових рівняннь використовують способи розв’язування показникових рівняннь та систем рівняннь.

a – b = 2, a + b = 16. 2a = 18, -2b = -14. a = 9, b = 7. Отже, 3x = 9, 7y = 7. x = 2, y = 1. Приклади: 1. 2x + 2y = 6, x + y = 3. 2(3-y) + 2y = 6, x = 3 – y. 8 / 2y + 2y = 6, x = 3 – y. (2y)2 – 6 * 2y + 8 =0, x = 3 – y. 2y = 4, x = 3 – y. 2y = 2, x = 3 – y. або y = 2, x = 3 – y. y = 1, x = 3 – y. або Отже, y = 2, x = 1. y = 1, x = 2. і є розв’язками системи. 2. 3x – 7y = 2, 3x + 7y = 16. Зробимо заміну, 3x = a, 7y = b, тоді маємо систему :

Показникові нерівності Розв’язування показникових нерівносетй часто зводяться до розв’язування нерівностей ax > ab (ax ≥ ab) або ax < ab (ax ≤ ab). Ці нерівності розв’язують, використовуючи монотонність (зростання, спадання) функції.

3x < 27, Запишемо дану нерівність у вигляді 3x < 33. Оскільки 3 > 1, то функція y = 3t є зростаючою, то x < 3, х є (-∞; 3) 6(x^2 +2x) > 63, Показникова функція y = 6t зростає, тому дана нерівністьрівносильна нерівності x2 +2x > 3, розв’яжемо її за допомогою методу інтервалів: + – + 1 -3 2. 1. Відповідь: xє(-∞;-3)U(1;+∞) Розглянемо приклади:

Кінець! Тепер Ви знаєте, що таке показникова функція, як розв’язуються системи, рівняння та нерівності такого виду! Дякую всім за увагу!