УРОК-ЗАХИСТ УЧНЯМИ ТВОРЧИХ РОБІТ

Тема:      Арифметична і геометрична прогресії. Нестандартні задачі

Мета: Формувати уміння; застосовувати здобуті знання у нестандарт­них умовах; вчити учнів аналізувати та систематизувати ті знання, які вони отримують на уроках і черпають з додаткової літерату­ри.

Напис на дошці:                                       ... Математика безмежно різно-

манітна, як світ, і присутня, міститься в усьому.

М. П. Єругін

Хід уроку

І. Актуалізація опорних знань (у формі бесіди).

Запитання для бесіди

1.   Сформулювати означення арифметичної прогресії.

2.   Яке число називають різницею арифметичної прогресії?

3.   Якою формулою можна задати будь-яку арифметичну прогресію?

4.   Яка характерна властивість арифметичної прогресії?

5.   Сформулювати означення геометричної прогресії.

6.   Що називають знаменником геометричної прогресії?

7.   Яка характерна властивість геометричної прогресії?

8.   Записати формулу п-ro члена арифметичної прогресії.

9.   Записати формулу п-ro члена геометричної прогресії.

10. Записати формулу суми n перших членів арифметичної прогресії.

11. Записати формулу суми n перших членів геометричної прогресії.

12. Записати формулу суми нескінченної геометричної прогресії, в якої |q| < 1

П. Повідомлення теми та мети уроку. Оголошуються прізвища до­повідачів та порядок їх виступів.

ІІІ. Творче застосування узагальнених знань, навичок та умінь. До­повідачі виступають зі своїми повідомленнями. У кінці кожного виступу учні задають доповідачу запитання.

Перший виступ. З давніх часів відомі задачі та легенди, в результаті розв'язання яких з'являються числа-гіганти. Зрозуміло, що мова йде про задачі, пов'язані з геометричною прогресією (q>1). Одна з найбільш ві­домих легенд — легенда про винахідника шахів. Індійський цар Шерам закликав до себе винахідника шахів і запропонував, щоб він сам вибрав собі нагороду за свій винахід. Царя вразила скромність прохання: дати за першу клітину шахівниці одну пшеничну зернину, за другу — дві, за тре­тю — ще у два рази більше, тобто чотири, за четверту — ще у два рази більше, і так до 64 клітини. Виникає закономірне запитання: скільки зер­нин повинен був одержати винахідник шахів?

       Ця задача вперше трапляється у хорезмського математика Аль-Біруні (973-1050 p.). Кількість зернин, про які йдеться в задачі, є сумою 64 членів геометричної прогресії, у якої перший член дорівнює 1, а знамен­ник — 2.

Знайдемо цю суму (S) дещо іншим способом, ніж у шкільному підруч­нику:

S = 1 + 2 + 2²+2³+... + 2⁶²+2⁶³;

S = 1+2(S-2⁶³); S = 1 + 2S-2⁶⁴;

S = 2⁶⁴-1.

Підраховано, що кількість зернин, які би хотів отримати винахідник шахів, — 18446744073709551615, що приблизно становить 13,8 млрд. 40-тонних вагонів. Ця кількість зерна, розсипана по всій поверхні Землі, утворить шар, в якому на 1 м² припадає 4,3 кг зерна.

Аналогічно можна вивести формулу суми п перших членів геометрич­ної прогресії в загальному вигляді: S = b₁ + b₁q + b₁q² +... + b₁q^n-1;

S = b₁+ q(b₁ + b₁q +... + b₁q^n-2); S = b_l+q(S-b₁q^n-1);

S = b_l+qS-b₁qⁿ; qS-S = b₁qⁿ –b₁; S(q-1) = b₁(qⁿ -1);

Приклад 1. Знайти суму

S = 1-2 + 4-8 + 16-32 + 64-128 + 256-512;

S = 1-2(1-2 + 4-... + 256); S = 1-2(S + 512);

3S = -1023; S = -341.

Приклад 2. Знайти суму

; ; ;

Виступ другий.

Задача 1. Довести, що числа виду де n N, не утворюють арифметичну прогресію.

Доведення. Припустимо, що для деяких n N - арифметична прогресія. Тоді за характерною властивістю арифметичної прогресії +Розв'яжемо отримане рівняння, врахо­вуючи, що nN: ; n²+2n+1=n²+2n; 1=0. Рівняння коренів не має і, значить, для чисел не існує таких n N, щоб вони утворювали арифме­тичну прогресію.

Задача 2. Розв'язати рівняння

(х² +х+1) + (х² +2x + 3) + (x² +3х + 5) + ...+ (х² +20х + 39) = 4500.

Доданки х² +х + 1,  х²+2х + 3, х² +3х + 5,... х² +20х + 39 утворюють арифметичну       прогресію,       у       якої        d = х + 2, n = 20.        Тоді З іншого боку  S20 = 4500. Отже, ((x²+x + l) + (x²+20x + 39))10 = 4500; 2x² +21x - 410 = 0. Корені цьо­го рівняння, а отже, і початкового: х₁ = 10; х₂ = -20,5 .

Виступ третій.

Задача 1. Розв'язати рівняння

2х + 1+х² -х³+х⁴ -^х5 +...= , де |х|<1. Перепишемо дане рівняння так:

2х + 1 + (х2-^+^-;с5 +...)=    (*)

У дужках маємо суму членів нескінченно спадної геометричної про­гресії, де b₁, = х², q = -х. За формулою S = ця сума дорівнює .

Тому рівняння (*) рівносильне такому рівнянню:

; 18x²+5x-7=0

Корені останнього: ;

Задача 2. Розв'язати рівняння

де x < 1

Розв'язання аналогічне попередньому:

; ; .

Обговорення виступів. Учні висловлюють свої враження від захисту творчих робіт, аналізують ці роботи (відповідність темі, повнота розроб­ки, краса та логіка викладу), вносять доповнення, роблять поправки.

IV.  Підсумок уроку. Вчитель підсумовує учнівські виступи та допов­нення до них, вказує на культуру математичного мовлення і мовлення взагалі, на лаконічність та ясність доповідей та відповідей на запитання.

V.  Оцінювання. Оцінки виставляються за основні виступи та за допо­внення до них (з обов'язковим коментарем).