Урок "Застосування інтеграла "

Застосування інтеграла до розв’язування прикладних задач

Мета: забезпечити повторення та узагальнення вивчених раніше відомостей про інтеграл; навчити учнів застосовувати інтеграл до розв’язування  задач практичного змісту; показати зв'язок з іншими загальноосвітніми предметами;

 розвинути логічне мислення;

 виховати почуття колективізму ‚ відповідальності.

Тип уроку: урок вивчення нової теми.

Обладнання: ноутбук ‚ проектор, картки-завдання. , листки само, взаємо-оцінювання, кросворд, тест.

План уроку

1.Організаційний момент(1хв.)

2. Актуалізація опорних знань(7 хв.)

3.Вивчення нової теми(18 хв.)

4.Закріплення вивченого матеріалу(15 хв.)

5.  Підсумок уроку. Домашнє завдання(4 хв.)

Хід уроку

1. Організаційний момент. Коли учні заходять в клас, то витягують номерки , за якими вони сідають за пронумеровані столи. Так можна поділити учнів  на групи, в яких вони працюватимуть протягом уроку.

Перевірка відсутніх.

Сьогодні ми з вами розширимо знання про практичне застосування  інтеграла. Записуємо тему уроку в зошити.(слайд №1) Повторимо вивчений раніше матеріал про інтеграл.

2.Актуалізація опорних знань.

Працюючи разом, я сподіваюсь на вашу увагу і підтримку, і кожному з вас хочу побажати успіху, щоб ви були…(учні називають слова , які починаються на кожну букву слова успіх. Ті слова, які найкраще характеризують їх, для того щоб досягти успіху на уроці).

У –уважними;

С- сміливими;

П- повними сил;

І- інтелектуальними;

Х- хоробрими;

У – усміхненими;

А  зараз хочу  вам запропонувати смайлики, які ви  в кінці уроку виберете, в залежності від того який настрій матиме кожен з вас на кінець уроку. Якщо посмішок в кінці уроку буде більше,  то урок досяг мети.

☺   - гарний настрій ;

☺   - середній  настрій;

☻    - поганий  настрій;

Завдання. Встановити відповідність між визначеними інтегралами та їх значеннями.(картки на столі у кожної групи), (додаток 1)

Після виконання завдань, учні обмінюються розв’язками з сусідніми групами для перевірки і виставляють оцінку за роботу.(слайд № 2)

3.Вивчення нового матеріалу.

 З попереднього уроку ви вже можете розповісти про застосування інтеграла. Де саме застосовувався інтеграл?

- для обчислення площ плоских фігур та об’ємів  тіл.

Інтеграл виник з практичної потреби знаходити площі неплоских фігур.(слайд №3) Найбільший внесок у вивченні інтегрального числення вніс Архімед. Одного разу, прийшовши з рибалки, Архімед захотів визначити найбільш точно площу поверхні риби. Розбивши поверхню риби на прямокутники, він знайшов їх площі, причому чим більшою була кількість прямокутників, тим точнішим було значення площі.(слайд №4)

Зараз ви розгляните застосування інтеграла в інших галузях. Опрацьовуємо матеріал підручника «Алгебра і початки аналізу. 10,11 класи»  в групах  по 3-4 учні у кожній. (10 хв.) Учні між собою розподіляють  ролі: керівник групи ‚ секретар ‚ посередник. Керівник групи вибирає учня з групи ‚ який  пояснює опрацьований матеріал перед всіма учнями. Кожна мікрогрупа отримує різні завдання: «Обчислення пройденого шляху за відомим законом зміни швидкості», «Обчислення роботи змінної сили», «Обчислення маси неоднорідного стержня», «Обчислення кількості електрики», «Застосування інтеграла в економіці», «Застосування інтеграла в техніці». «Застосування інтеграла в хімії», «Застосування інтеграла в біології». Учні інших груп записують в зошити матеріал, який опрацьовувала їхня група і решта груп. Керівник групи слідкує за  роботою кожного учня в їхній групі і виставляє оцінки за кожен вид роботи на уроці у листок самооцінювання. В кінці уроку зачитує оцінки і аргументує їх, а вчитель за потреби корегує виставлені оцінки. Листок самооцінювання має такий вигляд. (додаток 2)

1 група. Обчислення пройденого шляху за відомим законом зміни швидкості. Раніше було встановлено, що закон руху s=s(t) є первісною для функції, яка виражає закон зміни швидкості. Оскільки шлях, який пройде тіло за проміжок часу від t₁ доt₂ є приростом функції  s=s(t) (приріст первісної),який виражається через інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца, то s= за умови , що функція  є неперервною. Наприклад. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю, яка змінюється за законом (м/с). Знайти шлях, який пройшло тіло за проміжок часу від t₁=1 с доt₂=3с.

Розв’язання. S==(2)³₁=(9+3-(1+1))+10 (м).

2 група.Обчислення роботи змінної сили. Нехай тіло, що розглядається як матеріальна точка, рухається під дією змінної сили F(x), направленої вздовж осі Ох. Знайдемо формулу  для обчислення роботи при переміщенні тіла з точки х=а у точку х=в. Нехай А(х) – робота при переміщенні тіла з точки а у точку х. Надамо  х приросту ∆х. Тоді А(х+∆х)-А(х)- робота , яка виконується силою F(х) при переміщенні тіла з точки х у точку х+∆х. За умови ∆х→0 силу F(х) на відрізку[х;х+∆х] вважатимемо сталою і такою, що дорівнює F(х). Тому А(х+∆х)-А(х)≈F(х)∆х, звідки F(х). Тоді F(х), або за означенням похідної Аꞌ(х)=F(х).Остання рівність означає, що А(х) є первісною для функції  F(х). Тоді за формуло Ньютона-Лейбніца,оскільки А(а)=0. Отже, робота, що виконується змінною силою F(х) при переміщенні тіла з точки а в точку в, дорівнює А=

Наприклад. Обчислити роботу, яку треба виконати, щоб викачати воду з ями 4м завглибшки, що має квадратний переріз зі стороною 2м. Густина води 10³ кг/м³.

Розв’язання. Спрямуємо вісь Ох вздовж діючої сили. Значення сили F(х), що діє на переріз прямокутного паралелепіпеда площею 4 м², визначають вагою шару води, що знаходиться вище цього перерізу. Отже, F(х)=4

хє[0;4], =9,8 м/с ² . Тоді А== 4 =4⁴₀ =4(16-8)=3210³ 9,8=313,610³(Дж)≈3,110⁵(Дж).

3 група. Обчислення маси неоднорідного стержня.

За означенням лінійна густинанеоднорідного стержня дорівнює похідній функції m=m(l), що виражає масу стержня як функцію його довжини. Отже, mꞌ(l), тобто функція m=m(l) є первісною для . Звідси випливає, що масу стержня на відрізку [l₁;l₂] можна обчислити за формулою m=.

Наприклад. Знайти масу стержня завдовжки 35 см, якщо лінійна густина змінюється за законом 4+3 (кг/м).

Розв’язання. m==(2²+3)₀^0,35=1,295≈1,3 (кг).

4 група. Обчислення кількості електрики.

За означенням сила струму є похідною від кількості електрики q=q(t), де t-час, тобто I(t)=qꞌ(t). Тоді функція q=q(t) є первісною для функціїI=I(t), і кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за час від t₁ до t₂ можна знайти за формулою q=.

Наприклад. Знайти кількість електрики, що проходить через поперечний переріз провідника за 10 с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(4t+1) (A).

Розв’язання.q==(2t²+t) ¹⁰₀=210 (Кл). 

5 група. Застосування інтеграла в економіці.

Інтеграл широко застосовується не тільки при розв’язанні фізико-технічних задач різного характеру, а й задач економічного змісту.

Наприклад. Експериментально встановлено, що продуктивність праці робітника наближено виражається функцією f(t)=-0,0033t²-0,089t+20,96, де t- робочий час робітника у годинах. Обчислити обсяг випуску продукції за квартал, вважаючи робочий день восьмигодинним, а кількість робочих днів у кварталі 62.

Розв’язання. Обсяг випуску продукції протягом зміни є первісною від функції, що виражає продуктивність праці. Тому V=. Протягом кварталу обсяг випуску продукції становитиме

V=62=62= 62(-0,0033 - 0,089⁸₀=62(-0,001512-2,848+167,68)=62164,27≈10185 (од.).

6 група. Застосування інтеграла в техніці

Наприклад. Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=18-0,3+0,003²,   де. Визначити середню витрату бензину при швидкості руху 50-60 км/год.

Розв’язання. Середня витрата бензину

m= =₅₀⁶⁰=(1860-0,31800+0,00372000-1850+0,31250-0,00341667)=(1080-540+216-900+375-125)=10,6 (л). Отже, автомобіль на 100км шляху, рухаючись зі швидкістю 50-60 км/год, витрачає в середньому 10,6 л бензину.

7 група. Застосування інтеграла в хімії. Швидкість зміни концентрації речовини, що вступила в реакцію, виражається функцією v=3t+1, t –час(с),v- швидкість (моль/с(м³)). Як зміниться концентрація речовини за час t₁=0 до t₂=5 с?

Розв’язання. Задача розв’язується методом безпосереднього інтегрування. Оскільки , v(t)=C(t), тоC(t) – концентрація  речовини і первісна дляv(t) , томуC(5)-C(0)==()|₀⁵=()=42,5 (моль/м³)/

8 група. Застосування інтеграла в біології. Швидкість зростання популяції пеніцилінових грибів при необмеженості ресурсів живлення описується експотенціальним закономv=ae^kt. Знайдіть приріст чисельності популяції∆P  за проміжок часу∆t=t-t₀.

∆P==_t0^t==P(t)-P(t₀).

4.Закріплення вивченого матеріалу.

Кожна група отримує задачу, але не з своєї теми,  розв’язок якої перевіряє інша група і виставляє оцінку.

№1Знайти масу неоднорідного стрижня, довжина якого 40 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом 2 l²+ 1 (кг/м).             

Розв’язання.m==(2+)|₀^0,4=(2+0,4)=0,443 (кг).

№2 Знайти кількість електрики, яка проходить через поперечний переріз провідника за 20 с, якщо сила струму змінюється за законом I(t)=(2t+1) (A).Розв’язання.q==(t²+t)|₀²⁰=400+20=420 (Кл).

№3. Обчислити роботу, яку потрібно затратити, щоб викачати воду з циліндричної цистерни, радіус основи якої дорівнює 3 м, а висота 4м.

Розв’язання. А==(4х-)|₀⁴=10³9,83,149(44-)=2,2(МДж)

№4.Обчислити роботу, яку потрібно затратити, щоб розтягнути пружину на 0,06м, якщо сила 12Н розтягує її на 0,01 м.

Розв’язання. За законом Гука, сила пропорційна розтягуванню або стисканню. З умови задачі можна знайти к. Оскільки при х=0,01 м сила дорівнює 12Н, то k=, k==1200.  Отже F=kx=1200x. А=dx=1200₀^0,06=1200=2,16( Дж).

№5.Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=18-0,3+0,003²,   де. Визначити середню витрату бензину при швидкості руху 60-80 км/год.

Розв’язання. Середня витрата бензину  

m= =₆₀⁸⁰=(1880-0,33200+0,003170667-1860+0,31800-0,0037200)=(1440-960+512-1080+540-216)=11,8(л). Отже, автомобіль на 100км шляху, рухаючись зі швидкістю 60-80 км/год, витрачає в середньому 11,8 л бензину.

№6. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю (t)(м/с). Обчислити шлях, який пройшло тіло за проміжок часу від t₁до t₂, якщо (t)=5t -3, t₁=0, t₂=3.

Розв’язання. S==(5)|₀³=(5)=13,5 (м).

№7. Завод випускав за рік 15000 верстатів, а потім збільшив їх випуск на 55 верстатів щорічно. Визначити суму амортизаційних відрахувань за 10 років при нормі амортизації 5%, якщо вартість одного верстата становить  175грн. Вказівка випуск верстатів можна виразити формулою v=1500+55t, де t- кількість років.

Розв’язання.

V=|₀¹⁰=150000+2750=152750(грн.). Від одержаної суми знаходимо 5%, що становитиме 7637,5 грн.

№8.Точка рухається прямолінійно з прискоренням a(t)=cos. Знайдіть закон руху точки, якщо в момент часуt= швидкість становить м/с, а координата дорівнює 2м.

Розв’язання.=; =2(-sin)+C=-2sin+C;

=; =-2sin+C; C=+2sin; C=+2; C=2.

=-2sin+2; s(t)=; s(t)=dt=-22(-cos)+2+C=4cos+2+C.  

4cos +2+C; 2=4cos++C; 2=4+4+C; C=-. S(t)=4cos-

Розв’яжемо кросворд(на слайдові №5). По вертикалі ви відгадаєте термін, з яким пов'язаний наш урок.(інтеграл). Учні мають роздрукований кросворд на партах. Коли відгадають(4 хв.), то   правильність виконання перевіряє інша група і виставляє оцінки.

1.Система наук, об’єктами вивчення якої є живі організми і їх взаємодія з оточуючим середовищем – біологія. 

2.Комплекс суспільних наукових дисциплін про господарство, а саме – про організацію та управління матеріальним виробництвом, ефективне використання ресурсів, розподіл, обмін, збут і споживання товарів та послуг- економіка.

3.Фізична величина, що визначає енергетичні затрати при переміщенні фізичного тіла, чи його деформації –робота.

4.Сукупність засобів, створених людством для обслуговування своїх потреб виробничого і невиробничого характеру – техніка

5.Розділ математики(вимірюю, землеміряння), наука про просторові форми, відносини і їхні узагальнення- геометрія

6.Фізична величина, яка характеризує здатність тіл створювати електромагнітні поля та приймати участь в електромагнітній взаємодії- заряд.

7.Фізична величина, яка є однією з основних характеристик матерії, що визначає її інерційні, енергетичні та гравітаційні властивості –маса.

8.Довжина кривої, що задає траєкторію руху тіла- шлях.

9.(по вертикалі) Одна з наук про природу, яка вивчає перетворення матерії, коли в результаті хімічних реакцій з одних речовин утворюються інші, що мають відмінний склад чи будову, а також інші хімічні властивості- хімія. Додаток 3

4.Підсумок уроку. На слайді №6 таблиця формул, з допомогою яких ви розв’язували задачі на обчислення інтеграла. Роздруковану таблицю вклейте  в робочий зошит. Вправа’’ Незакінченеречення. ’’

На уроці я :

- дізнався…

- зрозумів…

- не зрозумів…

- навчився…

- не навчився…

- на наступномууроці я хочу дізнатися про…

Керівники груп оголошують оцінки на основі листка саооцінювання, аргументує їх. Вчитель корегує оцінки (за необхідності).

5.Домашнє завдання.

1 Опрацювати матеріали

2.Так як ви навчаєтесь з професії «Водій автомобіля категорії «В» і «С»» , то вам розв’язати таку задачу. Експериментально встановлено, що залежність витрати бензину автомобілем від швидкості на 100 км шляху визначається формулою Q=18-0,3+0,003²,   де. Визначити середню витрату бензину при швидкості руху 100-110км/год. Розв’язавши дану задачу, і проаналізувавши розв’язані задачі на уроці, зробіть висновок.

3.Підготувати реферат «Застосування інтеграла».

 

 

 

 

Додаток 1

Визначений інтеграл			Значення інтеграла
1.	В
2.	Е		2
3.	А
4.	Д	1
5.	Г	3
6.	Б	6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Додаток 2

П.І.П.	Актуалізація опорних знань.(мах.6 бали)	Вивчення нової теми (мах.10 балів)	Закріплення вивченого матеріалу			Всього отримано балів за урок		Переведення балів у  12 бальну оцінку
			Розв’язування задач (мах.11 балів)	Розгадування кросворда (мах.9 бали)

Всього отримано  балів за урок	Отримана оцінка за урок
1-9	1-3
10-18	4-6
19-27	7-9
28-36	10-12

 

 

 

Додаток 3

 

			1
	2											9
3
			4
				5
		6
			7
			8